# Eine maximale Fläche bestimmen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/quadratische-funktionen/maximale-flaeche-mit-quadratischen-funktionen
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-maximum-area/de.mdx

Aus einer geometrischen Nebenbedingung eine quadratische Flächenfunktion aufstellen, ihr Maximum bestimmen und das Ergebnis im Sachzusammenhang deuten.

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## Wie aus einer Nebenbedingung ein Flächenmaximum wird

Bei einer Optimierungsaufgabe suchen wir den besten Wert, der eine vorgegebene Bedingung erfüllt. Aus einem Zaun fester Länge lassen sich zum Beispiel viele Rechtecke bilden. Ihre Flächen sind jedoch unterschiedlich groß. Mit einer quadratischen Funktion können wir alle zulässigen Rechtecke in einem Modell vergleichen.

Entscheidend ist nicht, eine Spezialformel für einen bestimmten Zaun auswendig zu lernen. Wir drücken eine Seitenlänge durch die andere aus, setzen diese Beziehung in die Flächenformel ein und deuten anschließend den Scheitel der entstehenden Parabel.

## Warum eine nach unten geöffnete Parabel ein Maximum besitzt

Eine quadratische Funktion hat die Form

```math
f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0
```

Für $$a<0$$ öffnet sich ihr Graph nach unten. Der Scheitel ist dann der höchste Punkt des Graphen. Liegt er im zulässigen Bereich der Aufgabe, ist sein Funktionswert das Maximum.

Visible text: Für öffnet sich ihr Graph nach unten. Der Scheitel ist dann der höchste Punkt des Graphen. Liegt er im zulässigen Bereich der Aufgabe, ist sein Funktionswert das Maximum.

### Den Scheitel bestimmen

Für $$f(x)=ax^2+bx+c$$ berechnen wir die Scheitelkoordinaten mit

Visible text: Für berechnen wir die Scheitelkoordinaten mit

Component: MathContainer
Children:

```math
x_v=-\frac{b}{2a}
```

```math
y_v=f(x_v)
```

Gleichwertig dazu ist die Darstellung über die Diskriminante:

Component: MathContainer
Children:

```math
\Delta=b^2-4ac
```

```math
y_v=-\frac{\Delta}{4a}
```

Die Rechnung liefert den Scheitel. Ob er in der Aufgabe tatsächlich zulässig ist, entscheidet der Sachzusammenhang. Längen dürfen nicht negativ sein, Stückzahlen müssen unter Umständen ganzzahlig sein und Zeitwerte müssen im beschriebenen Intervall liegen.

## Ausführliches Beispiel: ein rechteckiges Hühnergehege

Ein Landwirt hat $$20\text{ m}$$ Zaunmaterial und möchte damit ein rechteckiges Hühnergehege einzäunen. Welche Seitenlängen ergeben die größtmögliche Fläche?

Visible text: Ein Landwirt hat Zaunmaterial und möchte damit ein rechteckiges Hühnergehege einzäunen. Welche Seitenlängen ergeben die größtmögliche Fläche?

1. **Benenne die Seitenlängen.** Die Länge sei $$p\text{ m}$$, die Breite $$l\text{ m}$$.
2. **Übersetze die Umfangsbedingung.**

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   2p+2l=20
   ```

     
   
   ```math
   p+l=10
   ```

     
   
   ```math
   p=10-l
   ```

   </MathContainer>

3. **Stelle eine Flächenfunktion mit nur einer Variablen auf.**

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   A=p\cdot l
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=(10-l)l
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=10l-l^2
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=-l^2+10l
   ```

   </MathContainer>

4. **Gib den zulässigen Bereich an.** Beide Seitenlängen müssen positiv sein, also gilt $$0<l<10$$. Der Koeffizient $$a=-1$$ ist negativ. Der Flächengraph öffnet sich deshalb nach unten.
5. **Bestimme den Scheitel.**

   
   
   ```math
   l_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-1)}=\frac{-10}{-2}=5
   ```

6. **Berechne die andere Seitenlänge und die Fläche.**

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   p=10-l=10-5=5
   ```

     
   
   ```math
   A(5)=5\cdot5=25
   ```

   </MathContainer>

7. **Prüfe und deute das Ergebnis.** Der Scheitel liegt im Bereich $$0<l<10$$. An den Randwerten fällt das Rechteck zusammen und die Fläche nähert sich $$0$$. Damit liefert der innere Scheitel das globale Maximum.

Visible text: 1. **Benenne die Seitenlängen.** Die Länge sei , die Breite .
2. **Übersetze die Umfangsbedingung.**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Stelle eine Flächenfunktion mit nur einer Variablen auf.**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

4. **Gib den zulässigen Bereich an.** Beide Seitenlängen müssen positiv sein, also gilt . Der Koeffizient ist negativ. Der Flächengraph öffnet sich deshalb nach unten.
5. **Bestimme den Scheitel.**

 
 

6. **Berechne die andere Seitenlänge und die Fläche.**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

7. **Prüfe und deute das Ergebnis.** Der Scheitel liegt im Bereich . An den Randwerten fällt das Rechteck zusammen und die Fläche nähert sich . Damit liefert der innere Scheitel das globale Maximum.

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Flächenmodell $$A(l)=-l^2+10l$$
  Visible text: Flächenmodell
- description: Der Graph ist für $$0\le l\le10$$ dargestellt. Im zulässigen Intervall $$0<l<10$$ erreicht er seinen höchsten Punkt bei $$(5,25)$$.
  Visible text: Der Graph ist für dargestellt. Im zulässigen Intervall erreicht er seinen höchsten Punkt bei .
- showZAxis: false
- cameraPosition: [5, 12, 18]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, l) => ({
x: l,
y: -l * l + 10 * l,
z: 0,
})),
color: "#0d9488",
labels: [
{
text: "Hochpunkt",
at: 5,
offset: [0, 2, 0],
},
],
},
]

Die größtmögliche Fläche beträgt somit $$25\text{ m}^2$$. Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen $$5\text{ m}\times5\text{ m}$$.

Visible text: Die größtmögliche Fläche beträgt somit . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen .

## Das Modell auf einen Blick

| Teil der Aufgabe | Mathematische Aussage | Bedeutung |
| ---------------- | ---------------------- | --------- |
| Fester Umfang | $$2p+2l=20$$ | Jedes zulässige Rechteck nutzt die gesamten $$20\text{ m}$$ Zaun. |
| Modell mit einer Variablen | $$A(l)=-l^2+10l$$ | Zu jeder zulässigen Breite gehört genau eine Fläche. |
| Zulässiger Bereich | $$0<l<10$$ | Beide Seitenlängen bleiben positiv. |
| Scheitel | $$(5,25)$$ | Die Breite $$5\text{ m}$$ ergibt die Fläche $$25\text{ m}^2$$. |

Visible text: | Teil der Aufgabe | Mathematische Aussage | Bedeutung |
| ---------------- | ---------------------- | --------- |
| Fester Umfang | | Jedes zulässige Rechteck nutzt die gesamten Zaun. |
| Modell mit einer Variablen | | Zu jeder zulässigen Breite gehört genau eine Fläche. |
| Zulässiger Bereich | | Beide Seitenlängen bleiben positiv. |
| Scheitel | | Die Breite ergibt die Fläche . |

## Weitere Anwendungen

### Produktionsgewinn

Der Gewinn beim Verkauf von $$x$$ Spielzeugen werde in Tausend Rupiah durch folgende Funktion beschrieben:

Visible text: Der Gewinn beim Verkauf von Spielzeugen werde in Tausend Rupiah durch folgende Funktion beschrieben:

```math
P(x)=-2x^2+100x
```

Wegen $$a=-2<0$$ besitzt das Modell ein Maximum:

Visible text: Wegen besitzt das Modell ein Maximum:

Component: MathContainer
Children:

```math
x_v=-\frac{100}{2(-2)}=25
```

```math
P(25)=-2(25)^2+100(25)=-2(625)+2500=1250
```

Das Modell sagt einen maximalen Gewinn von $$\text{IDR }1\,250\,000$$ beim Verkauf von $$25$$ Spielzeugen voraus. Der Scheitel liegt bereits bei einer ganzen Zahl, daher ist kein Vergleich gerundeter Stückzahlen nötig.

Visible text: Das Modell sagt einen maximalen Gewinn von beim Verkauf von Spielzeugen voraus. Der Scheitel liegt bereits bei einer ganzen Zahl, daher ist kein Vergleich gerundeter Stückzahlen nötig.

### Flughöhe eines Körpers

Die Höhe einer Spielzeugrakete nach $$t\text{ s}$$ werde beschrieben durch

Visible text: Die Höhe einer Spielzeugrakete nach werde beschrieben durch

```math
h(t)=-5t^2+40t
```

Der physikalisch sinnvolle Zeitraum ergibt sich aus den Zeitpunkten, zu denen die Höhe null ist:

Component: MathContainer
Children:

```math
-5t^2+40t=-5t(t-8)=0
```

```math
t=0\text{ s}\quad\text{oder}\quad t=8\text{ s}
```

Das Modell beginnt für $$t=0$$ am Boden und erreicht ihn für $$t=8$$ wieder. Sein physikalischer Zeitbereich ist daher $$0\le t\le8$$. In diesem Intervall liegt das Maximum bei

Visible text: Das Modell beginnt für am Boden und erreicht ihn für wieder. Sein physikalischer Zeitbereich ist daher . In diesem Intervall liegt das Maximum bei

Component: MathContainer
Children:

```math
t_v=-\frac{40}{2(-5)}=\frac{-40}{-10}=4\text{ s}
```

```math
h(4)=-5(4)^2+40(4)=-80+160=80\text{ m}
```

Die Rakete erreicht eine maximale Höhe von $$80\text{ m}$$ nach $$4\text{ s}$$.

Visible text: Die Rakete erreicht eine maximale Höhe von nach .

## Übungsaufgabe

Ein Rechteck hat den Umfang $$60\text{ cm}$$. Bestimme die Länge und Breite, für die seine Fläche maximal wird, und berechne diese maximale Fläche.

Visible text: Ein Rechteck hat den Umfang . Bestimme die Länge und Breite, für die seine Fläche maximal wird, und berechne diese maximale Fläche.

### Ausführliche Lösung

1. Die Länge sei $$p\text{ cm}$$, die Breite $$l\text{ cm}$$.
2. Forme die Umfangsbedingung nach der Länge um.

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   2p+2l=60
   ```

     
   
   ```math
   p+l=30
   ```

     
   
   ```math
   p=30-l
   ```

   </MathContainer>

3. Setze die Beziehung in die Flächenformel ein.

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   A(l)=p\cdot l
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=(30-l)l
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=30l-l^2
   ```

     
   
   ```math
   A(l)=-l^2+30l
   ```

   </MathContainer>

4. Der zulässige Bereich ist $$0<l<30$$. Außerdem gilt $$a=-1<0$$, sodass der Scheitel das Maximum liefert.
5. Berechne die Breite am Scheitel.

   
   
   ```math
   l_v=-\frac{30}{2(-1)}=\frac{-30}{-2}=15\text{ cm}
   ```

6. Berechne die zugehörige Länge und Fläche.

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   p=30-l=30-15=15\text{ cm}
   ```

     
   
   ```math
   A(15)=15\cdot15=225\text{ cm}^2
   ```

   </MathContainer>

Visible text: 1. Die Länge sei , die Breite .
2. Forme die Umfangsbedingung nach der Länge um.

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

3. Setze die Beziehung in die Flächenformel ein.

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

4. Der zulässige Bereich ist . Außerdem gilt , sodass der Scheitel das Maximum liefert.
5. Berechne die Breite am Scheitel.

 
 

6. Berechne die zugehörige Länge und Fläche.

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

Die maximale Fläche beträgt $$225\text{ cm}^2$$. Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen $$15\text{ cm}\times15\text{ cm}$$.

Visible text: Die maximale Fläche beträgt . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen .