# Quadratische Ergänzung

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/quadratische-funktionen/quadratische-ergaenzung-und-scheitelpunktform
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-perfect-square/de.mdx

Verstehe, wie eine quadratische Gleichung zum vollständigen Quadrat wird, und bestimme daraus Schritt für Schritt ihre Lösungen.

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## Was bedeutet quadratische Ergänzung?

Bei der quadratischen Ergänzung wird eine Gleichung der Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ in die Form $$(x + p)^2 = q$$ umgeschrieben. Sobald die linke Seite ein Quadrat ist, lassen sich die Lösungen durch Wurzelziehen bestimmen.

Visible text: Bei der quadratischen Ergänzung wird eine Gleichung der Form in die Form umgeschrieben. Sobald die linke Seite ein Quadrat ist, lassen sich die Lösungen durch Wurzelziehen bestimmen.

Die Identität $$x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2$$ zeigt genau, welche Konstante das Quadrat ergänzt. Lautet der mittlere Term $$2px$$, fehlt der Term $$p^2$$.

Visible text: Die Identität zeigt genau, welche Konstante das Quadrat ergänzt. Lautet der mittlere Term , fehlt der Term .

## Warum diese Methode verwenden?

Manche quadratischen Gleichungen lassen sich nicht über den rationalen Zahlen faktorisieren. Für $$x^2 + 4x + 2 = 0$$ gibt es kein rationales Zahlenpaar mit dem Produkt $$2$$ und der Summe $$4$$.

Visible text: Manche quadratischen Gleichungen lassen sich nicht über den rationalen Zahlen faktorisieren. Für gibt es kein rationales Zahlenpaar mit dem Produkt und der Summe .

Die quadratische Ergänzung funktioniert trotzdem, denn sie setzt ein solches Zahlenpaar nicht voraus.

## Schritte zum Vervollständigen des Quadrats

Für eine quadratische Gleichung $$ax^2 + bx + c = 0$$ gehen wir in dieser Reihenfolge vor:

Visible text: Für eine quadratische Gleichung gehen wir in dieser Reihenfolge vor:

1. Den Koeffizienten von $$x^2$$ auf $$1$$ bringen

   Ist der Koeffizient $$a$$ von $$x^2$$ nicht $$1$$, wird die gesamte Gleichung durch $$a$$ geteilt.

   **Beispiel:** Für die Gleichung $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   \frac{2x^2 + 6x + 3}{2} = \frac{0}{2}
   ```

     
   
   ```math
   x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0
   ```

   </MathContainer>

2. **Die Konstante auf die rechte Seite bringen**

   Der konstante Term wird auf die rechte Seite der Gleichung gebracht.

   **Beispiel:** Aus der Gleichung $$x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0$$

   
   
   ```math
   x^2 + 3x = -\frac{3}{2}
   ```

3. **Den Ergänzungsterm auf beiden Seiten addieren**

   Auf beiden Seiten wird $$\left(\frac{b}{2}\right)^2$$ addiert. Dieser Wert ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $$x$$.

   **Beispiel:** Für die Gleichung $$x^2 + 3x = -\frac{3}{2}$$

   Die Hälfte des Koeffizienten von $$x$$ ist $$\frac{3}{2}$$

   Das Quadrat dieser Zahl ist $$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$.

   Wir addieren es auf beiden Seiten:

   
   
   ```math
   x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
   ```

4. **Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben**

   Die linke Seite hat nun die Form $$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2$$ und lässt sich als $$\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$ schreiben.

   **Beispiel:** Aus der Gleichung $$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   
   
   ```math
   \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
   ```

5. **Die rechte Seite vereinfachen**

   Die Terme auf der rechten Seite werden zusammengefasst.

   **Beispiel:** Für $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}$$

   
   
   ```math
   -\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}
   ```

   Damit lautet die Gleichung:

   
   
   ```math
   \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}
   ```

6. **Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen**

   Durch das Radizieren wird das Quadrat aufgehoben. Dabei müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden.

   **Beispiel:** Aus der Gleichung $$\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$

   
   
   ```math
   x + \frac{3}{2} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}
   ```

7. **Die Variable isolieren**

   Zum Schluss wird die Variable $$x$$ isoliert.

   **Beispiel:** Aus $$x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Für das positive Vorzeichen:

   
   
   ```math
   x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}
   ```

   Für das negative Vorzeichen:

   
   
   ```math
   x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
   ```

   Die Lösungen sind $$x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ und $$x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Visible text: 1. Den Koeffizienten von auf bringen

 Ist der Koeffizient von nicht , wird die gesamte Gleichung durch geteilt.

 **Beispiel:** Für die Gleichung 

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Die Konstante auf die rechte Seite bringen**

 Der konstante Term wird auf die rechte Seite der Gleichung gebracht.

 **Beispiel:** Aus der Gleichung 

 
 

3. **Den Ergänzungsterm auf beiden Seiten addieren**

 Auf beiden Seiten wird addiert. Dieser Wert ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von .

 **Beispiel:** Für die Gleichung 

 Die Hälfte des Koeffizienten von ist 

 Das Quadrat dieser Zahl ist .

 Wir addieren es auf beiden Seiten:

 
 

4. **Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben**

 Die linke Seite hat nun die Form und lässt sich als schreiben.

 **Beispiel:** Aus der Gleichung 

 
 

5. **Die rechte Seite vereinfachen**

 Die Terme auf der rechten Seite werden zusammengefasst.

 **Beispiel:** Für 

 
 

 Damit lautet die Gleichung:

 
 

6. **Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen**

 Durch das Radizieren wird das Quadrat aufgehoben. Dabei müssen beide Vorzeichen berücksichtigt werden.

 **Beispiel:** Aus der Gleichung 

 
 

7. **Die Variable isolieren**

 Zum Schluss wird die Variable isoliert.

 **Beispiel:** Aus 

 Für das positive Vorzeichen:

 
 

 Für das negative Vorzeichen:

 
 

 Die Lösungen sind und .

## Vollständige Lösungsbeispiele

### Gleichung mit führendem Koeffizienten Eins

Betrachten wir die Gleichung $$x^2 + 5x + 6 = 0$$.

Visible text: Betrachten wir die Gleichung .

**Schritt** $$1$$: Der Koeffizient ist bereits $$a = 1$$. Daher ist keine Division nötig.

Visible text: **Schritt** : Der Koeffizient ist bereits . Daher ist keine Division nötig.

**Schritt** $$2$$: Die Konstante auf die rechte Seite bringen.

Visible text: **Schritt** : Die Konstante auf die rechte Seite bringen.

```math
x^2 + 5x = -6
```

**Schritt** $$3$$: Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren.

Visible text: **Schritt** : Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Hälfte des Koeffizienten von } x = \frac{5}{2}
```

```math
\text{Quadrat dieser Zahl} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}
```

```math
x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}
```

**Schritt** $$4$$: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.

Visible text: **Schritt** : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.

```math
\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}
```

**Schritt** $$5$$: Die rechte Seite vereinfachen.

Visible text: **Schritt** : Die rechte Seite vereinfachen.

Component: MathContainer
Children:

```math
-6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}
```

```math
\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
```

**Schritt** $$6$$: Beide Seiten radizieren.

Visible text: **Schritt** : Beide Seiten radizieren.

```math
x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}
```

**Schritt** $$7$$: Nach $$x$$ auflösen.

Visible text: **Schritt** : Nach auflösen.

Component: MathContainer
Children:

```math
x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}
```

```math
x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \quad \text{oder} \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3
```

Die Lösungen sind $$x = -2$$ und $$x = -3$$.

Visible text: Die Lösungen sind und .

### Gleichung mit einem Leitkoeffizienten ungleich eins

Nun betrachten wir $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$ mit einem anderen Leitkoeffizienten.

Visible text: Nun betrachten wir mit einem anderen Leitkoeffizienten.

**Schritt** $$1$$: Alle Terme durch den Koeffizienten $$a = 2$$ teilen.

Visible text: **Schritt** : Alle Terme durch den Koeffizienten teilen.

```math
x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0
```

**Schritt** $$2$$: Die Konstante auf die rechte Seite bringen.

Visible text: **Schritt** : Die Konstante auf die rechte Seite bringen.

```math
x^2 + 3x = -\frac{3}{2}
```

**Schritt** $$3$$: Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren.

Visible text: **Schritt** : Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Hälfte des Koeffizienten von } x = \frac{3}{2}
```

```math
\text{Quadrat dieser Zahl} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
```

```math
x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
```

**Schritt** $$4$$: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.

Visible text: **Schritt** : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.

```math
\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
```

**Schritt** $$5$$: Die rechte Seite vereinfachen.

Visible text: **Schritt** : Die rechte Seite vereinfachen.

Component: MathContainer
Children:

```math
-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}
```

```math
\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}
```

**Schritt** $$6$$: Beide Seiten radizieren.

Visible text: **Schritt** : Beide Seiten radizieren.

```math
x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}
```

**Schritt** $$7$$: Nach $$x$$ auflösen.

Visible text: **Schritt** : Nach auflösen.

Component: MathContainer
Children:

```math
x + \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oder} \quad x + \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
```

```math
x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oder} \quad x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
```

Die Lösungen sind $$x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ und $$x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Visible text: Die Lösungen sind und .

## Prüfungen, die häufige Fehler verhindern

1. **Koeffizient von $$x^2$$ ungleich $$1$$**: Zuerst wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten $$a$$ geteilt. So wird aus $$3x^2 + 6x + 2 = 0$$ die Gleichung $$x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0$$.

2. **Ergänzungsterm**: Das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $$x$$ wird auf beiden Seiten addiert. Für $$x^2 + 8x = 5$$ ist das $$\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$$.

3. **Endform**: Die Gleichung erhält die Form $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$. Zum Beispiel wird aus $$x^2 + 6x + 8 = 0$$ die Gleichung $$\left(x + 3\right)^2 = 1$$.

Visible text: 1. **Koeffizient von ungleich **: Zuerst wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten geteilt. So wird aus die Gleichung .

2. **Ergänzungsterm**: Das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von wird auf beiden Seiten addiert. Für ist das .

3. **Endform**: Die Gleichung erhält die Form . Zum Beispiel wird aus die Gleichung .

## Sonderfälle und Variationen

### Wenn die Diskriminante negativ ist

Ist $$b^2 - 4ac < 0$$, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

Visible text: Ist , hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

**Konkretes Beispiel:** $$x^2 + 2x + 2 = 0$$

Visible text: **Konkretes Beispiel:**

Die quadratische Ergänzung ergibt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 + 2x + 1 = -2 + 1 \quad \text{(1 auf beiden Seiten addieren)}
```

```math
(x + 1)^2 = -1
```

Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht $$-1$$ sein kann, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.

Visible text: Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht sein kann, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.

### Wenn der lineare Term fehlt

Bei Gleichungen der Form $$ax^2 + c = 0$$ ist keine quadratische Ergänzung nötig.

Visible text: Bei Gleichungen der Form ist keine quadratische Ergänzung nötig.

**Konkretes Beispiel:** $$3x^2 - 12 = 0$$

Visible text: **Konkretes Beispiel:**

Component: MathContainer
Children:

```math
3x^2 = 12
```

```math
x^2 = 4
```

```math
x = \pm 2
```

Die Lösungen sind $$x = 2$$ und $$x = -2$$.

Visible text: Die Lösungen sind und .

## Übungen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung:

1. $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
2. $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$
3. $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$
4. $$x^2 - 12x - 15 = 0$$
5. $$\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$$

Visible text: 1. 
2. 
3. 
4. 
5.

### Ausführliche Lösungen

1. $$x^2 + 5x + 6 = 0$$

   1. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

      
      
      ```math
      x^2 + 5x = -6
      ```

   2. Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      \text{Hälfte des Koeffizienten von } x = \frac{5}{2}
      ```

        
      
      ```math
      \text{Quadrat dieser Zahl} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}
      ```

        
      
      ```math
      x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}
      ```

      </MathContainer>

   3. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

      
      
      ```math
      \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}
      ```

   4. Die rechte Seite vereinfachen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      -6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}
      ```

        
      
      ```math
      \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
      ```

      </MathContainer>

   5. Beide Seiten radizieren:

      
      
      ```math
      x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}
      ```

   6. Nach $$x$$ auflösen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}
      ```

        
      
      ```math
      x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \quad \text{oder} \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3
      ```

      </MathContainer>

   Die Lösungen sind $$x = -2$$ und $$x = -3$$.

2. $$2x^2 + 6x + 3 = 0$$

   1. Alle Terme durch den Koeffizienten $$a = 2$$ teilen:

      
      
      ```math
      x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0
      ```

   2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

      
      
      ```math
      x^2 + 3x = -\frac{3}{2}
      ```

   3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      \text{Hälfte des Koeffizienten von } x = \frac{3}{2}
      ```

        
      
      ```math
      \text{Quadrat dieser Zahl} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
      ```

        
      
      ```math
      x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
      ```

      </MathContainer>

   4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

      
      
      ```math
      \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}
      ```

   5. Die rechte Seite vereinfachen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      -\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}
      ```

        
      
      ```math
      \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}
      ```

      </MathContainer>

   6. Beide Seiten radizieren:

      
      
      ```math
      x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}
      ```

   7. Nach $$x$$ auflösen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oder} \quad x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
      ```

      </MathContainer>

   Die Lösungen sind $$x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ und $$x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

3. $$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$$

   1. Alle Terme durch den Koeffizienten $$a = 6$$ teilen:

      
      
      ```math
      x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0
      ```

   2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

      
      
      ```math
      x^2 + \frac{1}{3}x = -\frac{1}{36}
      ```

   3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      \text{Hälfte des Koeffizienten von } x = \frac{1}{6}
      ```

        
      
      ```math
      \text{Quadrat dieser Zahl} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}
      ```

        
      
      ```math
      x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}
      ```

      </MathContainer>

   4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

      
      
      ```math
      \left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}
      ```

   5. Die rechte Seite vereinfachen:

      
      
      ```math
      \left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = 0
      ```

   6. Beide Seiten radizieren:

      
      
      ```math
      x + \frac{1}{6} = 0
      ```

   7. Nach $$x$$ auflösen:

      
      
      ```math
      x = -\frac{1}{6}
      ```

   Die Gleichung hat die doppelte Lösung $$x = -\frac{1}{6}$$.

4. $$x^2 - 12x - 15 = 0$$

   1. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

      
      
      ```math
      x^2 - 12x = 15
      ```

   2. Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      \text{Hälfte des Koeffizienten von } x = -6
      ```

        
      
      ```math
      \text{Quadrat dieser Zahl} = (-6)^2 = 36
      ```

        
      
      ```math
      x^2 - 12x + 36 = 15 + 36
      ```

      </MathContainer>

   3. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

      
      
      ```math
      (x - 6)^2 = 51
      ```

   4. Beide Seiten radizieren:

      
      
      ```math
      x - 6 = \pm\sqrt{51}
      ```

   5. Nach $$x$$ auflösen:

      
      
      ```math
      x = 6 \pm \sqrt{51}
      ```

   Die Lösungen sind $$x = 6 + \sqrt{51}$$ und $$x = 6 - \sqrt{51}$$.

5. $$\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0$$

   1. Alle Terme durch den Koeffizienten $$a = \frac{3}{2}$$ teilen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      x^2 - \frac{16}{3}x - 4 = 0
      ```

      </MathContainer>

   2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

      
      
      ```math
      x^2 - \frac{16}{3}x = 4
      ```

   3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von $$x$$ auf beiden Seiten addieren:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      \text{Hälfte des Koeffizienten von } x = -\frac{8}{3}
      ```

        
      
      ```math
      \text{Quadrat dieser Zahl} = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}
      ```

        
      
      ```math
      x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{64}{9} = 4 + \frac{64}{9}
      ```

      </MathContainer>

   4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

      
      
      ```math
      \left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = 4 + \frac{64}{9}
      ```

   5. Die rechte Seite vereinfachen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      4 + \frac{64}{9} = \frac{36 + 64}{9} = \frac{100}{9}
      ```

        
      
      ```math
      \left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}
      ```

      </MathContainer>

   6. Beide Seiten radizieren:

      
      
      ```math
      x - \frac{8}{3} = \pm\frac{10}{3}
      ```

   7. Nach $$x$$ auflösen:

      <MathContainer>
        
      
      ```math
      x = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \quad \text{oder} \quad x = \frac{8}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{2}{3}
      ```

      </MathContainer>

   Die Lösungen sind $$x = 6$$ und $$x = -\frac{2}{3}$$.

Visible text: 1. 

 1. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

 
 

 2. Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 3. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

 
 

 4. Die rechte Seite vereinfachen:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 5. Beide Seiten radizieren:

 
 

 6. Nach auflösen:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Die Lösungen sind und .

2. 

 1. Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:

 
 

 2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

 
 

 3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

 
 

 5. Die rechte Seite vereinfachen:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 6. Beide Seiten radizieren:

 
 

 7. Nach auflösen:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Die Lösungen sind und .

3. 

 1. Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:

 
 

 2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

 
 

 3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

 
 

 5. Die rechte Seite vereinfachen:

 
 

 6. Beide Seiten radizieren:

 
 

 7. Nach auflösen:

 
 

 Die Gleichung hat die doppelte Lösung .

4. 

 1. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

 
 

 2. Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 3. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

 
 

 4. Beide Seiten radizieren:

 
 

 5. Nach auflösen:

 
 

 Die Lösungen sind und .

5. 

 1. Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 2. Die Konstante auf die rechte Seite bringen:

 
 

 3. Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 4. Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

 
 

 5. Die rechte Seite vereinfachen:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 6. Beide Seiten radizieren:

 
 

 7. Nach auflösen:

 <MathContainer>
 
 

 </MathContainer>

 Die Lösungen sind und .