# Quadratische Funktionen aufstellen

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Stelle quadratische Funktionen aus drei Punkten, einem Scheitelpunkt, Nullstellen, Symmetrie und äquivalenten Formen auf.

---

## Quadratische Funktionsgleichungen aufstellen

Eine quadratische Funktion aufzustellen bedeutet, $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ aus den gegebenen Informationen zu bestimmen. Welche Methode am schnellsten zum Ziel führt, hängt davon ab, ob Punkte, ein Scheitelpunkt, Nullstellen oder eine Symmetrie bekannt sind.

Visible text: Eine quadratische Funktion aufzustellen bedeutet, aus den gegebenen Informationen zu bestimmen. Welche Methode am schnellsten zum Ziel führt, hängt davon ab, ob Punkte, ein Scheitelpunkt, Nullstellen oder eine Symmetrie bekannt sind.

## Formen quadratischer Funktionen

In diesem Kapitel werden drei äquivalente Formen verwendet:

1. **Allgemeine Form**: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
2. **Produktform**: $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$, wenn die reellen Nullstellen $$p$$ und $$q$$ existieren
3. **Scheitelpunktform**: $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$, wobei $$(h, k)$$ der Scheitelpunkt ist

Visible text: 1. **Allgemeine Form**: 
2. **Produktform**: , wenn die reellen Nullstellen und existieren
3. **Scheitelpunktform**: , wobei der Scheitelpunkt ist

Diese drei Formen beschreiben dieselbe Funktion und lassen sich ineinander umformen.

## Methoden zur Konstruktion quadratischer Funktionen

### Drei Punkte

Drei Punkte mit verschiedenen $$x$$-Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens $$2$$. Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient $$a\neq0$$ erfüllt.

Visible text: Drei Punkte mit verschiedenen -Koordinaten bestimmen genau ein Polynom vom Grad höchstens . Es ist nur dann eine quadratische Funktion, wenn der berechnete Koeffizient erfüllt.

Für die Punkte $$(x_1, y_1)$$, $$(x_2, y_2)$$ und $$(x_3, y_3)$$ werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für $$a$$, $$b$$ und $$c$$.

Visible text: Für die Punkte , und werden die Koordinaten in die allgemeine Form eingesetzt. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für , und .

Component: MathContainer
Children:

```math
y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
```

```math
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
```

```math
y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
```

**Beispiel**:

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $$K(-1, 0)$$, $$L(0, -3)$$ und $$M(1, -4)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.

Die Koordinaten in die allgemeine Form einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c
```

```math
L(0, -3): -3 = a(0)^2 + b(0) + c
```

```math
M(1, -4): -4 = a(1)^2 + b(1) + c
```

Die Gleichungen vereinfachen:

Component: MathContainer
Children:

```math
0 = a - b + c
```

```math
-3 = c
```

```math
-4 = a + b + c
```

$$c = -3$$ in die erste und dritte Gleichung einsetzen:

Visible text: in die erste und dritte Gleichung einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
0 = a - b - 3
```

```math
-4 = a + b - 3
```

Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um $$a$$ zu bestimmen:

Visible text: Die beiden Gleichungen vereinfachen und addieren, um zu bestimmen:

Component: MathContainer
Children:

```math
a - b = 3
```

```math
a + b = -1
```

```math
2a = 2
```

```math
a = 1
```

Den ermittelten Wert von $$a$$ in $$a - b = 3$$ einsetzen, um $$b$$ zu bestimmen:

Visible text: Den ermittelten Wert von in einsetzen, um zu bestimmen:

Component: MathContainer
Children:

```math
1 - b = 3
```

```math
b = -2
```

Damit lautet die quadratische Funktion:

```math
f(x) = x^2 - 2x - 3
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$
  Visible text: Graph von
- description: Parabel durch die Punkte $$K(-1, 0)$$,{" "}
$$L(0, -3)$$ und $$M(1, -4)$$.
  Visible text: Parabel durch die Punkte , 
 und .
- cameraPosition: [2, 3, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3
return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [
{
text: $$f(x)=x^2 - 2x - 3$$,
at: 5,
offset: [2, 0.3, 0],
},
{
text: $$L(0, -3)$$,
at: 3,
offset: [-1, 0, 0],
},
{
text: $$M(1, -4)$$,
at: 4,
offset: [0, -0.5, 0],
},
{
text: $$K(-1, 0)$$,
at: 2,
offset: [-1, 0.3, 0],
},
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const x = i - 3; // x-Werte von -3 bis 3
return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [2, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 3,
offset: [-1, 0, 0],
},
{
text: ,
at: 4,
offset: [0, -0.5, 0],
},
{
text: ,
at: 2,
offset: [-1, 0.3, 0],
},
],
},
]

### Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt

Sind der Scheitelpunkt $$(h, k)$$ und ein weiterer Punkt $$(p, q)$$ auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ der Streckfaktor $$a$$ bestimmt werden.

Visible text: Sind der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt auf dem Graphen bekannt, kann mit der Scheitelpunktform der Streckfaktor bestimmt werden.

**Beispiel**:

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $$(2, 0)$$, deren Graph durch $$(4, 4)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.

In der Scheitelpunktform $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ gilt $$h = 2$$ und $$k = 0$$.

Visible text: In der Scheitelpunktform gilt und .

```math
f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2
```

Den Punkt $$(4, 4)$$ einsetzen, um $$a$$ zu bestimmen:

Visible text: Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = a(4 - 2)^2
```

```math
4 = 4a
```

```math
a = 1
```

Damit lautet die quadratische Funktion:

```math
f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = (x - 2)^2$$
  Visible text: Graph von
- description: Parabel mit Scheitelpunkt $$(2, 0)$$ durch den Punkt
$$(4, 4)$$.
  Visible text: Parabel mit Scheitelpunkt durch den Punkt
.
- cameraPosition: [6, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 9 }, (_, i) => {
const x = i - 1; // x-Werte von -1 bis 7
return { x, y: Math.pow(x - 2, 2), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [
{
text: $$f(x)=(x - 2)^2$$,
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(2, 0)$$,
at: 3,
offset: [0, 0.3, 0],
},
{
text: $$(4, 4)$$,
at: 5,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 9 }, (_, i) => {
const x = i - 1; // x-Werte von -1 bis 7
return { x, y: Math.pow(x - 2, 2), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [
{
text: ,
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 3,
offset: [0, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 5,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]

### Nullstellen und ein weiterer Punkt

Sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse, $$p$$ und $$q$$ sowie ein weiterer Punkt $$(r, s)$$ mit $$r\neq p$$, $$r\neq q$$ und $$s\neq0$$ bekannt, lässt sich $$a$$ mit der Produktform $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ bestimmen.

Visible text: Sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der -Achse, und sowie ein weiterer Punkt mit , und bekannt, lässt sich mit der Produktform bestimmen.

**Beispiel**:

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $$x = -2$$ und $$x = 3$$, deren Graph durch $$(1, -6)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und , deren Graph durch verläuft.

In der Produktform $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ gilt $$p = -2$$ und $$q = 3$$.

Visible text: In der Produktform gilt und .

```math
f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
```

Den Punkt $$(1, -6)$$ einsetzen, um $$a$$ zu bestimmen:

Visible text: Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:

Component: MathContainer
Children:

```math
-6 = a(1 + 2)(1 - 3)
```

```math
-6 = a(3)(-2)
```

```math
-6 = -6a
```

```math
a = 1
```

Damit lautet die quadratische Funktion:

```math
f(x) = (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = (x + 2)(x - 3)$$
  Visible text: Graph von
- description: Parabel mit den Nullstellen $$x = -2$$ und{" "}
$$x = 3$$ durch den Punkt{" "}
$$(1, -6)$$.
  Visible text: Parabel mit den Nullstellen und 
 durch den Punkt 
.
- cameraPosition: [4, 5, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 4; // x-Werte von -4 bis 6
return { x, y: (x + 2) * (x - 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [
{
text: $$f(x)=(x + 2)(x - 3)$$,
at: 6,
offset: [3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(-2, 0)$$,
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(3, 0)$$,
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(1, -6)$$,
at: 5,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = i - 4; // x-Werte von -4 bis 6
return { x, y: (x + 2) * (x - 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [
{
text: ,
at: 6,
offset: [3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 7,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 5,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
]

### Symmetrieachse und Diskriminante

Aus der Symmetrieachse, also der $$x$$-Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lässt sich eine Familie quadratischer Funktionen bestimmen.

Visible text: Aus der Symmetrieachse, also der -Koordinate des Scheitelpunkts, und der Diskriminante lässt sich eine Familie quadratischer Funktionen bestimmen.

**Beispiel**:

Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse $$x = 1$$ und der Diskriminante $$D = 16$$.

Visible text: Bestimme eine quadratische Funktion mit der Symmetrieachse und der Diskriminante .

Aus $$x = 1$$ folgt $$-\frac{b}{2a} = 1$$ und damit $$b = -2a$$.

Visible text: Aus folgt und damit .

Aus $$D = 16$$ folgt außerdem $$b^2 - 4ac = 16$$.

Visible text: Aus folgt außerdem .

$$b = -2a$$ in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:

Visible text: in die Gleichung der Diskriminante einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
(-2a)^2 - 4ac = 16
```

```math
4a^2 - 4ac = 16
```

```math
4a(a - c) = 16
```

```math
a(a - c) = 4
```

Viele Paare von $$a$$ und $$c$$ erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird $$a = 1$$ gewählt.

Visible text: Viele Paare von und erfüllen diese Gleichung. Die Angaben bestimmen also keine eindeutige Funktion. Für ein einfaches Beispiel wird gewählt.

Component: MathContainer
Children:

```math
1(1 - c) = 4
```

```math
1 - c = 4
```

```math
c = -3
```

Mit $$a = 1$$, $$b = -2$$ und $$c = -3$$ erhält man:

Visible text: Mit , und erhält man:

```math
f(x) = x^2 - 2x - 3
```

### Symmetrisch liegende Punkte

Auch symmetrisch liegende Punkte können zur Bestimmung einer quadratischen Funktion genutzt werden.

**Beispiel**:

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $$(0, 0)$$, $$(4, 1)$$ und $$(-4, 1)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.

Die Punkte $$(4, 1)$$ und $$(-4, 1)$$ haben denselben $$y$$-Wert und liegen gleich weit von der $$y$$-Achse entfernt. Der Graph ist daher zur $$y$$-Achse symmetrisch. Seine Symmetrieachse ist $$x = 0$$, und der Scheitelpunkt liegt bei $$(0, 0)$$.

Visible text: Die Punkte und haben denselben -Wert und liegen gleich weit von der -Achse entfernt. Der Graph ist daher zur -Achse symmetrisch. Seine Symmetrieachse ist , und der Scheitelpunkt liegt bei .

In der Scheitelpunktform $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ gilt $$h = 0$$ und $$k = 0$$.

Visible text: In der Scheitelpunktform gilt und .

```math
f(x) = ax^2
```

Den Punkt $$(4, 1)$$ einsetzen, um $$a$$ zu bestimmen:

Visible text: Den Punkt einsetzen, um zu bestimmen:

Component: MathContainer
Children:

```math
1 = a(4)^2
```

```math
1 = 16a
```

```math
a = \frac{1}{16}
```

Damit lautet die quadratische Funktion:

```math
f(x) = \frac{1}{16}x^2
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = \frac{1}{16}x^2$$
  Visible text: Graph von
- description: Parabel durch die Punkte $$(0, 0)$$,{" "}
$$(4, 1)$$ und $$(-4, 1)$$.
  Visible text: Parabel durch die Punkte , 
 und .
- cameraPosition: [0, 0.5, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 13 }, (_, i) => {
const x = i - 6; // x-Werte von -6 bis 6
return { x, y: (1 / 16) * x * x, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [
{
text: $$f(x)=\frac{1}{16}x^2$$,
at: 11,
offset: [-2, 0.3, 0],
},
{
text: $$(0, 0)$$,
at: 6,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(4, 1)$$,
at: 10,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: $$(-4, 1)$$,
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 13 }, (_, i) => {
const x = i - 6; // x-Werte von -6 bis 6
return { x, y: (1 / 16) * x * x, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [
{
text: ,
at: 11,
offset: [-2, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 6,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 10,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 2,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
},
]

## Zwischen den Darstellungsformen wechseln

### Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Um $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ in die Scheitelpunktform $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ umzuwandeln:

Visible text: Um in die Scheitelpunktform umzuwandeln:

1. Die $$x$$-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen: $$h = -\frac{b}{2a}$$
2. Den Funktionswert am Scheitelpunkt berechnen: $$k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})$$
3. Alternativ direkt verwenden: $$k = c - \frac{b^2}{4a}$$

Visible text: 1. Die -Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen: 
2. Den Funktionswert am Scheitelpunkt berechnen: 
3. Alternativ direkt verwenden:

### Allgemeine Form in Produktform

Um $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die Diskriminante nichtnegativ ist:

Visible text: Um über den reellen Zahlen in die Produktform umzuwandeln, wird zuerst geprüft, ob die Diskriminante nichtnegativ ist:

1. Die Nullstellen der Gleichung $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit der Lösungsformel bestimmen:

   
   
   ```math
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   ```

2. Für $$D\ge0$$ und die reellen Nullstellen $$p$$ und $$q$$ gilt:

   
   
   ```math
   f(x) = a(x - p)(x - q)
   ```

Visible text: 1. Die Nullstellen der Gleichung mit der Lösungsformel bestimmen:

 
 

2. Für und die reellen Nullstellen und gilt:

Für $$D<0$$ besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.

Visible text: Für besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen und lässt sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen.

### Produktform in allgemeine Form

Die Produktform $$f(x) = a(x - p)(x - q)$$ wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ umgewandelt:

Visible text: Die Produktform wird durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form umgewandelt:

Component: MathContainer
Children:

```math
f(x) = a(x - p)(x - q)
```

```math
f(x) = a(x^2 - qx - px + pq)
```

```math
f(x) = a(x^2 - (p+q)x + pq)
```

```math
f(x) = ax^2 - a(p+q)x + apq
```

Der Vergleich mit der allgemeinen Form liefert:

- $$b = -a(p+q)$$
- $$c = apq$$

Visible text: - 
-

## Aufgaben und ausführliche Lösungen

### Erste Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch $$(-2, 4)$$, $$(1, -5)$$ und $$(3, 7)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion, deren Graph durch , und verläuft.

**Ausführliche Lösung**:

Die Punkte in die allgemeine Form einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c
```

```math
-5 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
```

```math
7 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
```

Aus der zweiten Gleichung folgt $$c = -5 - a - b$$.
Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:

Visible text: Aus der zweiten Gleichung folgt .
Diesen Ausdruck in die erste Gleichung einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)
```

```math
9 = 3a - 3b
```

```math
3 = a - b
```

```math
a = 3 + b
```

Anschließend in die dritte Gleichung einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
7 = 9(3 + b) + 3b + (-5 - (3 + b) - b)
```

```math
7 = 19 + 10b
```

```math
b = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}
```

Danach die verbleibenden Koeffizienten berechnen:

Component: MathContainer
Children:

```math
a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}
```

```math
c = -5 - \frac{9}{5} - (-\frac{6}{5}) = -\frac{28}{5}
```

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

```math
f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}
```

### Zweite Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $$(-1, 4)$$, deren Graph durch $$(2, -5)$$ verläuft.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion mit Scheitelpunkt , deren Graph durch verläuft.

**Ausführliche Lösung**:

In der Scheitelpunktform gilt $$h = -1$$ und $$k = 4$$:

Visible text: In der Scheitelpunktform gilt und :

```math
f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4
```

Den Punkt $$(2, -5)$$ einsetzen:

Visible text: Den Punkt einsetzen:

Component: MathContainer
Children:

```math
-5 = a(2 + 1)^2 + 4
```

```math
-5 = 9a + 4
```

```math
-9 = 9a
```

```math
a = -1
```

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

```math
f(x) = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3
```

### Dritte Aufgabe

Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen $$x = -3$$ und $$x = 2$$ sowie dem Maximalwert $$4$$.

Visible text: Bestimme die quadratische Funktion mit den Nullstellen und sowie dem Maximalwert .

**Ausführliche Lösung**:

In der Produktform gilt $$p = -3$$ und $$q = 2$$:

Visible text: In der Produktform gilt und :

```math
f(x) = a(x - (-3))(x - 2) = a(x + 3)(x - 2)
```

Da die Funktion einen Maximalwert besitzt, muss $$a < 0$$ gelten.

Visible text: Da die Funktion einen Maximalwert besitzt, muss gelten.

Der Scheitelpunkt liegt bei $$x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$$.

Visible text: Der Scheitelpunkt liegt bei .

$$x = -\frac{1}{2}$$ in die Produktform einsetzen und den Maximalwert $$4$$ verwenden:

Visible text: in die Produktform einsetzen und den Maximalwert verwenden:

Component: MathContainer
Children:

```math
f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) = -a\frac{25}{4} = 4
```

```math
a = -\frac{16}{25}
```

Die gesuchte quadratische Funktion lautet:

```math
f(x) = -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) = -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25}
```