# Quadratische Gleichungen
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Löse quadratische Gleichungen durch Faktorisieren, quadratische Ergänzung und die Lösungsformel anhand vollständiger Beispiele und Übungen.
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## Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung in einer Variablen vom Grad $$2$$. Ihre allgemeine Form lautet:
Visible text: Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung in einer Variablen vom Grad . Ihre allgemeine Form lautet:
```math
ax^2 + bx + c = 0
```
wobei $$a \neq 0$$ gilt und $$a, b, c$$ reelle Zahlen sind.
Visible text: wobei gilt und reelle Zahlen sind.
### Ursprünge des Begriffs „quadratisch“
Der Begriff „quadratisch“ geht auf das lateinische Wort _quadratus_ zurück, das „quadratisch“ oder „zum Quadrat erhoben“ bedeutet. Dazu passt die geometrische Deutung von $$x^2$$ als Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $$x$$.
Visible text: Der Begriff „quadratisch“ geht auf das lateinische Wort _quadratus_ zurück, das „quadratisch“ oder „zum Quadrat erhoben“ bedeutet. Dazu passt die geometrische Deutung von als Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge .
## Quadratische Gleichungen lösen
Welche Lösungsmethode am günstigsten ist, hängt von der Form der Gleichung ab. Drei gebräuchliche Methoden sind Faktorisieren, quadratische Ergänzung und die Lösungsformel.
### Faktorisieren
Beim Faktorisieren wird die quadratische Gleichung als Produkt zweier linearer Faktoren geschrieben. Zum Beispiel:
Component: MathContainer
Children:
```math
2x^2 - 3x - 2 = 0
```
```math
(2x + 1)(x - 2) = 0
```
Aus der Produktform folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
- Aus $$2x + 1 = 0$$ folgt $$x = -\frac{1}{2}$$.
- Aus $$x - 2 = 0$$ folgt $$x = 2$$.
Visible text: - Aus folgt .
- Aus folgt .
Die Lösungen sind $$x = -\frac{1}{2}$$ und $$x = 2$$.
Visible text: Die Lösungen sind und .
### Quadratische Ergänzung
Bei dieser Methode wird die linke Seite zu einem binomischen Quadrat ergänzt.
Beispiel:
```math
2x^2 - 3x - 2 = 0
```
Alle Terme durch $$2$$ teilen:
Visible text: Alle Terme durch teilen:
```math
x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0
```
Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:
```math
x^2 - \frac{3}{2}x = 1
```
Auf beiden Seiten $$\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}$$ addieren:
Visible text: Auf beiden Seiten addieren:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}
```
```math
\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}
```
```math
\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2
```
Anschließend die Quadratwurzel ziehen:
Component: MathContainer
Children:
```math
x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}
```
```math
x = \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}
```
```math
x = 2 \text{ oder } x = -\frac{1}{2}
```
### Lösungsformel
Für $$ax^2 + bx + c = 0$$ liefert die Lösungsformel beide Lösungen:
Visible text: Für liefert die Lösungsformel beide Lösungen:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
Beispiel:
```math
2x^2 - 3x - 2 = 0
```
Hier gilt $$a = 2$$, $$b = -3$$ und $$c = -2$$:
Visible text: Hier gilt , und :
Component: MathContainer
Children:
```math
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}
```
```math
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}
```
```math
x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}
```
```math
x = \frac{3 \pm 5}{4}
```
Die beiden Vorzeichen liefern:
```math
x = \frac{3 + 5}{4} = 2 \text{ oder } x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}
```
## Sachsituationen als quadratische Gleichungen modellieren
Quadratische Gleichungen eignen sich für Größen, deren Zusammenhang Produkte oder Quadrate enthält.
### Leseecken in einem Raum
In einem $$4 \text{ m} \times 6 \text{ m}$$ großen Raum werden vier gleich große Leseecken eingerichtet. Jede Ecke ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $$x \text{ m}$$. Für die übrige Fläche gilt:
Visible text: In einem großen Raum werden vier gleich große Leseecken eingerichtet. Jede Ecke ist ein Quadrat mit der Seitenlänge . Für die übrige Fläche gilt:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Gesamtfläche} - \text{Fläche der vier Ecken}
```
```math
4 \times 6 - 4x^2 = 24 - 4x^2
```
Component: QuadraticEquationReadingRoomProblem
Props:
- heightLabel: $$4 \text{ m}$$
- widthLabel: $$6 \text{ m}$$
### Zwei Zahlen aus Summe und Produkt bestimmen
Zwei Zahlen haben das Produkt $$63$$ und die Summe $$16$$. Mit einer quadratischen Gleichung lassen sich beide Zahlen bestimmen.
Visible text: Zwei Zahlen haben das Produkt und die Summe . Mit einer quadratischen Gleichung lassen sich beide Zahlen bestimmen.
Die beiden Zahlen werden mit $$p$$ und $$q$$ bezeichnet. Dann gilt:
Visible text: Die beiden Zahlen werden mit und bezeichnet. Dann gilt:
- $$p + q = 16$$, also $$q = 16 - p$$
- $$p \times q = 63$$
Visible text: - , also
-
Den Wert von $$q$$ in die Produktgleichung einsetzen:
Visible text: Den Wert von in die Produktgleichung einsetzen:
Component: MathContainer
Children:
```math
p(16 - p) = 63
```
```math
16p - p^2 = 63
```
```math
-p^2 + 16p - 63 = 0
```
```math
p^2 - 16p + 63 = 0
```
Die quadratische Gleichung faktorisieren:
Component: MathContainer
Children:
```math
p^2 - 16p + 63 = 0
```
```math
(p - 7)(p - 9) = 0
```
```math
p = 7 \text{ oder } p = 9
```
Die gesuchten Zahlen sind $$7$$ und $$9$$.
Visible text: Die gesuchten Zahlen sind und .
### Geschwindigkeit eines Fahrzeugs
Ein Fahrzeug legt $$320 \text{ km}$$ mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Bei einer um $$24 \text{ km/h}$$ höheren Geschwindigkeit wäre die Fahrzeit um $$3 \text{ Stunden}$$ kürzer. Gesucht ist die ursprüngliche Geschwindigkeit.
Visible text: Ein Fahrzeug legt mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Bei einer um höheren Geschwindigkeit wäre die Fahrzeit um kürzer. Gesucht ist die ursprüngliche Geschwindigkeit.
Die ursprüngliche Geschwindigkeit sei $$v \text{ km/h}$$, die ursprüngliche Fahrzeit $$t \text{ Stunden}$$. Dann gilt:
Visible text: Die ursprüngliche Geschwindigkeit sei , die ursprüngliche Fahrzeit . Dann gilt:
- $$v \times t = 320$$, denn Strecke $$=$$ Geschwindigkeit $$\times$$ Zeit
- $$(v + 24) \times (t - 3) = 320$$ für die zweite Fahrt
Visible text: - , denn Strecke Geschwindigkeit Zeit
- für die zweite Fahrt
Aus der ersten Gleichung folgt $$t = \frac{320}{v}$$.
Visible text: Aus der ersten Gleichung folgt .
Einsetzen in die zweite Gleichung:
```math
(v + 24) \times \left(\frac{320}{v} - 3\right) = 320
```
Mit $$v$$ multiplizieren und vereinfachen:
Visible text: Mit multiplizieren und vereinfachen:
Component: MathContainer
Children:
```math
(v + 24)(320 - 3v) = 320v
```
```math
v^2 + 24v - 2560 = 0
```
```math
(v - 40)(v + 64) = 0
```
Eine negative Geschwindigkeit ist hier ausgeschlossen. Daher beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit $$v = 40 \text{ km/h}$$. Die Fahrt dauert zunächst $$8 \text{ Stunden}$$. Bei $$64 \text{ km/h}$$ dauert sie $$5 \text{ Stunden}$$ und damit genau $$3 \text{ Stunden}$$ weniger.
Visible text: Eine negative Geschwindigkeit ist hier ausgeschlossen. Daher beträgt die ursprüngliche Geschwindigkeit . Die Fahrt dauert zunächst . Bei dauert sie und damit genau weniger.
## Häufige Fehlvorstellungen
Zwei typische Fehler lassen sich leicht vermeiden:
1. Die Summe $$x + 3$$ fälschlich zu $$3x$$ zusammenfassen.
**Konkretes Beispiel**: Ist ein Raum $$x \text{ m}$$ lang und wird um $$3 \text{ m}$$ verlängert, beträgt die neue Länge $$(x + 3) \text{ m}$$ und nicht $$3x \text{ m}$$.
2. Eine Gleichung allein wegen des Terms $$x^2$$ als quadratisch einstufen, ohne ihre Gesamtform zu prüfen.
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung der Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit $$a \neq 0$$.
Visible text: 1. Die Summe fälschlich zu zusammenfassen.
**Konkretes Beispiel**: Ist ein Raum lang und wird um verlängert, beträgt die neue Länge und nicht .
2. Eine Gleichung allein wegen des Terms als quadratisch einstufen, ohne ihre Gesamtform zu prüfen.
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung der Form mit .
## Formen quadratischer Gleichungen
Welche der folgenden Gleichungen sind quadratisch?
1. $$\frac{1}{x} + 2x + 4 = 0$$
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term $$\frac{1}{x}$$ die Variable im Nenner enthält.
2. $$\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-3} = x^2 - 4$$
Dies ist keine quadratische Polynomgleichung, weil die Variable im Nenner steht. Nach dem Beseitigen der Nenner entsteht eine Gleichung höheren Grades.
3. $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$
Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit $$a = 3 \neq 0$$.
4. $$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$$
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term $$\frac{1}{x}$$ die Variable im Nenner enthält.
Visible text: 1.
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term die Variable im Nenner enthält.
2.
Dies ist keine quadratische Polynomgleichung, weil die Variable im Nenner steht. Nach dem Beseitigen der Nenner entsteht eine Gleichung höheren Grades.
3.
Dies ist eine quadratische Gleichung der Form mit .
4.
Dies ist keine quadratische Gleichung, weil der Term die Variable im Nenner enthält.
## Übungsaufgaben
**Quadratische Gleichungen identifizieren**
Entscheide, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind:
1. $$x^3 + x^2 + x = 0$$
2. $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$
3. $$\frac{1}{x} + 5x = 0$$
4. $$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
4.
**Produkte ausmultiplizieren**
Multipliziere die folgenden Produkte aus:
1. $$(x + 2)(x + 3) = 0$$
2. $$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$$
3. $$(2x - 8)(x + 5) = 0$$
Visible text: 1.
2.
3.
### Ausführliche Lösungen
**Quadratische Gleichungen identifizieren**
1. $$x^3 + x^2 + x = 0$$
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn der höchste Exponent ist $$3$$ wegen $$x^3$$. Es handelt sich um eine kubische Gleichung.
2. $$3x^2 + 2x - 1 = 0$$
**Begründung**: Quadratische Gleichung, denn sie hat die Form $$ax^2 + bx + c = 0$$ mit $$a = 3$$, $$b = 2$$ und $$c = -1$$.
3. $$\frac{1}{x} + 5x = 0$$
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn $$\frac{1}{x}$$ enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine Bruchgleichung.
4. $$x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0$$
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn $$\frac{1}{x}$$ enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine rationale Gleichung.
Visible text: 1.
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn der höchste Exponent ist wegen . Es handelt sich um eine kubische Gleichung.
2.
**Begründung**: Quadratische Gleichung, denn sie hat die Form mit , und .
3.
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine Bruchgleichung.
4.
**Begründung**: Keine quadratische Gleichung, denn enthält die Variable im Nenner. Es handelt sich um eine rationale Gleichung.
**Produkte ausmultiplizieren**
1. $$(x + 2)(x + 3) = 0$$
**Rechnung**:
```math
(x + 2)(x + 3) = 0
```
```math
x^2 + 3x + 2x + 6 = 0
```
```math
x^2 + 5x + 6 = 0
```
Ausmultipliziert ergibt sich $$x^2 + 5x + 6 = 0$$.
2. $$\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0$$
**Rechnung**:
```math
\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0
```
```math
\frac{1}{3}x \cdot x + \frac{1}{3}x \cdot 9 - 4 \cdot x - 4 \cdot 9 = 0
```
```math
\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4x - 36 = 0
```
```math
\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0
```
Zur Vereinfachung alle Terme mit $$3$$ multiplizieren:
```math
x^2 - 3x - 108 = 0
```
Ausmultipliziert ergibt sich $$x^2 - 3x - 108 = 0$$ oder äquivalent $$\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0$$.
3. $$(2x - 8)(x + 5) = 0$$
**Rechnung**:
```math
(2x - 8)(x + 5) = 0
```
```math
2x \cdot x + 2x \cdot 5 - 8 \cdot x - 8 \cdot 5 = 0
```
```math
2x^2 + 10x - 8x - 40 = 0
```
```math
2x^2 + 2x - 40 = 0
```
Der erste Faktor $$2x - 8$$ lässt sich außerdem als $$2(x - 4)$$ schreiben:
```math
2(x - 4)(x + 5) = 0
```
Ausmultipliziert ergibt sich $$2x^2 + 2x - 40 = 0$$.
Visible text: 1.
**Rechnung**:
Ausmultipliziert ergibt sich .
2.
**Rechnung**:
Zur Vereinfachung alle Terme mit multiplizieren:
Ausmultipliziert ergibt sich oder äquivalent .
3.
**Rechnung**:
Der erste Faktor lässt sich außerdem als schreiben:
Ausmultipliziert ergibt sich .
**Lösen der resultierenden quadratischen Gleichungen**
Nun werden die Gleichungen aus den ausmultiplizierten Produkten gelöst:
1. $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
**Rechnung**:
Faktorisieren:
```math
x^2 + 5x + 6 = 0
```
```math
(x + 2)(x + 3) = 0
```
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
- Wenn $$x + 2 = 0$$, dann $$x = -2$$
- Wenn $$x + 3 = 0$$, dann $$x = -3$$
Die Lösungen sind $$x = -2$$ und $$x = -3$$.
2. $$x^2 - 3x - 108 = 0$$
**Rechnung**:
Mit der Lösungsformel:
```math
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
```
```math
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}
```
```math
x = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}
```
```math
x = \frac{3 \pm 21}{2}
```
Beide Vorzeichen auswerten:
- $$x = \frac{3 + 21}{2} = 12$$
- $$x = \frac{3 - 21}{2} = -9$$
Die Lösungen sind $$x = 12$$ und $$x = -9$$.
Kontrolle durch Faktorisieren:
```math
x^2 - 3x - 108 = 0
```
```math
(x - 12)(x + 9) = 0
```
3. $$2x^2 + 2x - 40 = 0$$
**Rechnung**:
Zunächst alle Terme durch $$2$$ teilen:
```math
x^2 + x - 20 = 0
```
Faktorisieren:
```math
x^2 + x - 20 = 0
```
```math
(x + 5)(x - 4) = 0
```
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
- Wenn $$x + 5 = 0$$, dann $$x = -5$$
- Wenn $$x - 4 = 0$$, dann $$x = 4$$
Die Lösungen sind $$x = -5$$ und $$x = 4$$.
Visible text: 1.
**Rechnung**:
Faktorisieren:
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
- Wenn , dann
- Wenn , dann
Die Lösungen sind und .
2.
**Rechnung**:
Mit der Lösungsformel:
Beide Vorzeichen auswerten:
-
-
Die Lösungen sind und .
Kontrolle durch Faktorisieren:
3.
**Rechnung**:
Zunächst alle Terme durch teilen:
Faktorisieren:
Nach dem Satz vom Nullprodukt:
- Wenn , dann
- Wenn , dann
Die Lösungen sind und .