# Determinationskoeffizient > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/regression-und-korrelation/bestimmtheitsmass Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-regression/coefficient-of-determination/de.mdx Lerne anhand von Streudiagrammen und Formeln, welchen Anteil der beobachteten Streuung ein lineares Regressionsmodell erfasst. --- ## Was ist der Determinationskoeffizient? Nachdem wir eine lineare Regressionsgerade angepasst haben, stellt sich die nächste Frage: **Wie viel von der beobachteten Streuung erfasst dieses Modell?** Das passende Maß heißt **Determinationskoeffizient** und wird meist mit $$R^2$$ bezeichnet. Für die einfache lineare Regression mit einem Prädiktor und einem Achsenabschnitt, die wir hier betrachten, gilt $$R^2=r^2$$. Wir können den Wert also berechnen, indem wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten quadrieren. Visible text: Das passende Maß heißt **Determinationskoeffizient** und wird meist mit bezeichnet. Für die einfache lineare Regression mit einem Prädiktor und einem Achsenabschnitt, die wir hier betrachten, gilt . Wir können den Wert also berechnen, indem wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten quadrieren. Der Wert $$r^2$$ gibt den **Anteil oder Prozentsatz** der beobachteten Streuung der abhängigen Variablen $$Y$$ an, den das angepasste lineare Modell mithilfe von $$X$$ erfasst. Visible text: Der Wert gibt den **Anteil oder Prozentsatz** der beobachteten Streuung der abhängigen Variablen an, den das angepasste lineare Modell mithilfe von erfasst. ## Bestimmtheitskoeffizient aus einem Streudiagramm Der Wert von $$r^2$$ lässt sich im Streudiagramm daran erkennen, wie dicht die Datenpunkte an der Regressionsgeraden liegen: Visible text: Der Wert von lässt sich im Streudiagramm daran erkennen, wie dicht die Datenpunkte an der Regressionsgeraden liegen: 1. **Hohes $$r^2$$ (nahe $$1$$ oder $$100\%$$)** Hohes $$r^2$$ } description="Datenpunkte liegen sehr nahe an der Regressionslinie." xAxisLabel="Variable X" yAxisLabel="Variable Y" datasets={[ { name: "Daten", color: "var(--chart-1)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 3.1 }, { x: 3, y: 3.9 }, { x: 4, y: 5.2 }, { x: 5, y: 6.1 }, { x: 6, y: 6.8 }, { x: 7, y: 8.1 }, { x: 8, y: 9.0 }, ], }, ]} calculateRegressionLine showResiduals regressionLineStyle={{ color: "var(--chart-4)" }} /> Für diese Punkte ergibt die Rechnung $$R^2\approx0{,}997$$, also $$99{,}7\%$$. Die dichte Lage an der Regressionsgeraden passt zu diesem Wert: Das Modell erfasst fast die gesamte beobachtete Streuung von $$Y$$. 2. **Niedriges $$r^2$$ (nahe $$0$$ oder $$0\%$$)** Niedriges $$r^2$$ } description="Datenpunkte sind weit von der Regressionslinie entfernt." xAxisLabel="Variable X" yAxisLabel="Variable Y" datasets={[ { name: "Daten", color: "var(--chart-2)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 8 }, { x: 3, y: 3 }, { x: 4, y: 6 }, { x: 5, y: 1 }, { x: 6, y: 9 }, { x: 7, y: 4 }, { x: 8, y: 7 }, ], }, ]} calculateRegressionLine showResiduals regressionLineStyle={{ color: "var(--chart-4)" }} /> Für den zweiten Datensatz gilt $$R^2\approx0{,}078$$, also $$7{,}8\%$$. Die längeren Residuen passen zu diesem niedrigen Wert: Das lineare Modell erfasst nur einen kleinen Teil der beobachteten Streuung von $$Y$$. Visible text: 1. **Hohes (nahe oder )** Hohes } description="Datenpunkte liegen sehr nahe an der Regressionslinie." xAxisLabel="Variable X" yAxisLabel="Variable Y" datasets={[ { name: "Daten", color: "var(--chart-1)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 3.1 }, { x: 3, y: 3.9 }, { x: 4, y: 5.2 }, { x: 5, y: 6.1 }, { x: 6, y: 6.8 }, { x: 7, y: 8.1 }, { x: 8, y: 9.0 }, ], }, ]} calculateRegressionLine showResiduals regressionLineStyle={{ color: "var(--chart-4)" }} /> Für diese Punkte ergibt die Rechnung , also . Die dichte Lage an der Regressionsgeraden passt zu diesem Wert: Das Modell erfasst fast die gesamte beobachtete Streuung von . 2. **Niedriges (nahe oder )** Niedriges } description="Datenpunkte sind weit von der Regressionslinie entfernt." xAxisLabel="Variable X" yAxisLabel="Variable Y" datasets={[ { name: "Daten", color: "var(--chart-2)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 8 }, { x: 3, y: 3 }, { x: 4, y: 6 }, { x: 5, y: 1 }, { x: 6, y: 9 }, { x: 7, y: 4 }, { x: 8, y: 7 }, ], }, ]} calculateRegressionLine showResiduals regressionLineStyle={{ color: "var(--chart-4)" }} /> Für den zweiten Datensatz gilt , also . Die längeren Residuen passen zu diesem niedrigen Wert: Das lineare Modell erfasst nur einen kleinen Teil der beobachteten Streuung von . ## Den Determinationskoeffizienten berechnen Im einfachen linearen Modell erhalten wir $$r^2$$, indem wir den bereits bekannten **Korrelationskoeffizienten $$r$$ quadrieren**. Visible text: Im einfachen linearen Modell erhalten wir , indem wir den bereits bekannten **Korrelationskoeffizienten quadrieren**. ```math r^2 = (r)^2 ``` Wenn $$r$$ schon bekannt ist, quadrieren wir den Wert, um $$r^2$$ zu erhalten. Visible text: Wenn schon bekannt ist, quadrieren wir den Wert, um zu erhalten. Für einen definierten Korrelationskoeffizienten gilt $$-1 \le r \le 1$$. Sein Quadrat liegt daher zwischen null und eins: Visible text: Für einen definierten Korrelationskoeffizienten gilt . Sein Quadrat liegt daher zwischen null und eins: ```math 0 \le r^2 \le 1 ``` **Berechnung mit Abweichungssummen:** Wir können $$r^2$$ auch direkt aus denselben Abweichungssummen berechnen, die in der Formel für $$r$$ vorkommen: Visible text: Wir können auch direkt aus denselben Abweichungssummen berechnen, die in der Formel für vorkommen: ```math r^2 = \frac{(SS_{xy})^2}{SS_{xx} SS_{yy}} ``` Dieses Verhältnis setzt Streuung in beiden Variablen voraus, also $$SS_{xx}>0$$ und $$SS_{yy}>0$$. Sind alle $$y$$-Werte identisch, ist die Gesamtstreuung null und das übliche Verhältnis für den Determinationskoeffizienten nicht definiert. Visible text: Dieses Verhältnis setzt Streuung in beiden Variablen voraus, also und . Sind alle -Werte identisch, ist die Gesamtstreuung null und das übliche Verhältnis für den Determinationskoeffizienten nicht definiert. ## Interpretation als Prozentsatz Zur leichteren Deutung wird $$r^2$$ häufig durch Multiplikation mit $$100$$ in Prozent angegeben. Visible text: Zur leichteren Deutung wird häufig durch Multiplikation mit in Prozent angegeben. - Bei $$r^2 = 0{,}81$$ erfasst das lineare Regressionsmodell **$$81\%$$** der beobachteten Streuung von $$Y$$ mithilfe von $$X$$. - Die übrige Streuung, hier $$1 - r^2$$ beziehungsweise $$19\%$$, wird von diesem linearen Modell **nicht erfasst**. Dahinter können nicht berücksichtigte Variablen, ein nichtlinearer Zusammenhang, Messfehler oder zufällige Schwankungen stehen. Aus $$r^2$$ allein lässt sich die Ursache nicht ablesen. Visible text: - Bei erfasst das lineare Regressionsmodell **** der beobachteten Streuung von mithilfe von . - Die übrige Streuung, hier beziehungsweise , wird von diesem linearen Modell **nicht erfasst**. Dahinter können nicht berücksichtigte Variablen, ein nichtlinearer Zusammenhang, Messfehler oder zufällige Schwankungen stehen. Aus allein lässt sich die Ursache nicht ablesen. Ein höheres $$r^2$$ bedeutet, dass dieses Modell mehr von der beobachteten Streuung in $$Y$$ erfasst. Es beweist weder einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang noch automatisch zuverlässige Vorhersagen. Dafür müssen wir zusätzlich die Residuen, den Datenbereich und die Angemessenheit eines linearen Modells prüfen. Visible text: Ein höheres bedeutet, dass dieses Modell mehr von der beobachteten Streuung in erfasst. Es beweist weder einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang noch automatisch zuverlässige Vorhersagen. Dafür müssen wir zusätzlich die Residuen, den Datenbereich und die Angemessenheit eines linearen Modells prüfen.