# Produkt-Moment-Korrelation > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/regression-und-korrelation/produkt-moment-korrelation Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-regression/product-moment-correlation/de.mdx Lerne, wie Pearsons Korrelationskoeffizient Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs misst und wie du seinen Wert mit Streudiagramm und Kontext deutest. --- ## Was ist Produkt-Moment-Korrelation? Die Produkt-Moment-Korrelation, meist **Pearson-Korrelation** genannt, wird mit **$$r$$** bezeichnet. Sie beschreibt die Richtung und Stärke des **linearen Zusammenhangs** zwischen zwei quantitativen Variablen. Visible text: Die Produkt-Moment-Korrelation, meist **Pearson-Korrelation** genannt, wird mit **** bezeichnet. Sie beschreibt die Richtung und Stärke des **linearen Zusammenhangs** zwischen zwei quantitativen Variablen. Das Vorzeichen von $$r$$ zeigt die Richtung: positiv bedeutet gleichgerichtet, negativ bedeutet gegenläufig. Der Abstand von null beschreibt, wie deutlich die Punkte einem geradlinigen Muster folgen. Visible text: Das Vorzeichen von zeigt die Richtung: positiv bedeutet gleichgerichtet, negativ bedeutet gegenläufig. Der Abstand von null beschreibt, wie deutlich die Punkte einem geradlinigen Muster folgen. ## Korrelation aus Streudiagrammen Am anschaulichsten wird $$r$$, wenn wir zuerst die Punktwolke im Streudiagramm betrachten. Visible text: Am anschaulichsten wird , wenn wir zuerst die Punktwolke im Streudiagramm betrachten. ### Starke positive Korrelation Liegt $$r$$ nahe bei $$+1$$, steigen beide Variablen tendenziell gemeinsam an. Visible text: Liegt nahe bei , steigen beide Variablen tendenziell gemeinsam an. Component: ScatterDiagram Props: - title: Beispiel einer starken positiven Korrelation - description: Die Datenpunkte liegen dicht an einem ansteigenden geradlinigen Muster. - xAxisLabel: Variable X - yAxisLabel: Variable Y - datasets: [ { name: "Daten", color: "var(--chart-1)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 3.1 }, { x: 3, y: 3.9 }, { x: 4, y: 5.2 }, { x: 5, y: 6.1 }, { x: 6, y: 6.8 }, { x: 7, y: 8.1 }, { x: 8, y: 9.0 }, ], }, ] - calculateRegressionLine: true - showResiduals: true - regressionLineStyle: { color: "var(--chart-4)" } Steigt die Punktwolke von links unten nach rechts oben und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich $$r$$ nahe bei $$+1$$. Visible text: Steigt die Punktwolke von links unten nach rechts oben und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei . ### Schwach positive Korrelation Ist $$r$$ positiv, aber näher an $$0$$, ist die gleichgerichtete lineare Tendenz schwächer. Visible text: Ist positiv, aber näher an , ist die gleichgerichtete lineare Tendenz schwächer. Component: ScatterDiagram Props: - title: Beispiel einer schwachen positiven Korrelation - description: Die Punkte steigen tendenziell an, streuen aber stärker um eine Gerade. - xAxisLabel: Variable X - yAxisLabel: Variable Y - datasets: [ { name: "Daten", color: "var(--chart-2)", points: [ { x: 1, y: 2 }, { x: 2, y: 8 }, { x: 3, y: 3 }, { x: 4, y: 6 }, { x: 5, y: 1 }, { x: 6, y: 9 }, { x: 7, y: 4 }, { x: 8, y: 7 }, ], }, ] - calculateRegressionLine: true - showResiduals: true - regressionLineStyle: { color: "var(--chart-4)" } Für diese acht Punkte ergibt die Rechnung $$r\approx0{,}279$$. Die lineare Tendenz ist positiv, aber schwach. Genau das zeigt auch die breite Streuung der Punkte. Visible text: Für diese acht Punkte ergibt die Rechnung . Die lineare Tendenz ist positiv, aber schwach. Genau das zeigt auch die breite Streuung der Punkte. ### Starke negative Korrelation Liegt $$r$$ nahe bei $$-1$$, nimmt die eine Variable tendenziell ab, wenn die andere zunimmt. Visible text: Liegt nahe bei , nimmt die eine Variable tendenziell ab, wenn die andere zunimmt. Component: ScatterDiagram Props: - title: Beispiel einer starken negativen Korrelation - description: Die Datenpunkte liegen dicht an einem fallenden geradlinigen Muster. - xAxisLabel: Variable X - yAxisLabel: Variable Y - datasets: [ { name: "Daten", color: "var(--chart-3)", points: [ { x: 1, y: 10 }, { x: 2, y: 8.9 }, { x: 3, y: 8.1 }, { x: 4, y: 6.8 }, { x: 5, y: 6.0 }, { x: 6, y: 5.1 }, { x: 7, y: 4.0 }, { x: 8, y: 3.1 }, ], }, ] - calculateRegressionLine: true - showResiduals: true - regressionLineStyle: { color: "var(--chart-4)" } Fällt die Punktwolke von links oben nach rechts unten und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich $$r$$ nahe bei $$-1$$. Visible text: Fällt die Punktwolke von links oben nach rechts unten und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei . ### Keine lineare Korrelation Liegt $$r$$ nahe bei $$0$$, ist nur ein sehr schwacher oder kein linearer Zusammenhang erkennbar. Visible text: Liegt nahe bei , ist nur ein sehr schwacher oder kein linearer Zusammenhang erkennbar. Component: ScatterDiagram Props: - title: Beispiel für keine lineare Korrelation - description: Die Datenpunkte sind verstreut und bilden kein klares geradliniges Muster. - xAxisLabel: Variable X - yAxisLabel: Variable Y - datasets: [ { name: "Daten", color: "var(--chart-5)", points: [ { x: 1, y: 5 }, { x: 2, y: 2 }, { x: 3, y: 7 }, { x: 4, y: 4 }, { x: 5, y: 9 }, { x: 6, y: 3 }, { x: 7, y: 8 }, { x: 8, y: 1 }, ], }, ] - calculateRegressionLine: true - showResiduals: true - regressionLineStyle: { color: "var(--chart-4)" } Fehlt ein klares geradliniges Muster, liegt $$r$$ nahe bei $$0$$. Ein gekrümmter oder anderer nichtlinearer Zusammenhang kann trotzdem vorhanden sein. Visible text: Fehlt ein klares geradliniges Muster, liegt nahe bei . Ein gekrümmter oder anderer nichtlinearer Zusammenhang kann trotzdem vorhanden sein. ## Wie wird der Korrelationskoeffizient berechnet? Der Pearson-Korrelationskoeffizient ($$r$$) misst, wie **gemeinsam** zwei Variablen ($$X$$ und $$Y$$) von ihren Mittelwerten abweichen, relativ zu ihrer jeweiligen eigenen Streuung. Visible text: Der Pearson-Korrelationskoeffizient () misst, wie **gemeinsam** zwei Variablen ( und ) von ihren Mittelwerten abweichen, relativ zu ihrer jeweiligen eigenen Streuung. **Die Idee in drei Schritten:** 1. **Streuung der einzelnen Variablen:** Jede Variable ($$X$$ und $$Y$$) hat ihre eigene Streuung. $$SS_{xx}$$ misst die quadrierten Abweichungen der $$X$$-Werte von ihrem Mittelwert, $$SS_{yy}$$ entsprechend die der $$Y$$-Werte. 2. **Gemeinsame Abweichung:** Zusätzlich betrachten wir, wie $$X$$ und $$Y$$ _gemeinsam_ abweichen. Steigt $$Y$$ tendenziell, wenn $$X$$ zunimmt, oder fällt es? Die Summe $$SS_{xy}$$ misst diese paarweisen Kreuzabweichungen. Sie ist der Zähler der Kovarianz; je nach Konvention wird für die Kovarianz zusätzlich durch $$n$$ oder $$n-1$$ geteilt. - Ist $$SS_{xy}$$ positiv, haben die gepaarten Abweichungen tendenziell dasselbe Vorzeichen. - Ist $$SS_{xy}$$ negativ, haben die gepaarten Abweichungen tendenziell entgegengesetzte Vorzeichen. - Liegt $$SS_{xy}$$ nahe null, bleibt nur wenig lineare gemeinsame Abweichung übrig. 3. **Standardisierung:** Der Wert von $$SS_{xy}$$ hängt von den Maßeinheiten ab. Wird etwa Körpergröße in Metern statt Zentimetern gemessen, ändert sich die Kreuzabweichungssumme, obwohl der zugrunde liegende Zusammenhang gleich bleibt. Deshalb müssen wir das Maß **standardisieren**. Wir teilen $$SS_{xy}$$ durch die geometrische Verbindung der beiden Streuungsmaße, $$\sqrt{SS_{xx} SS_{yy}}$$. ```math r = \frac{\text{Wie stark variieren X und Y zusammen?}}{\text{Standardisiertes Maß für individuelle X- und Y-Variationen}} = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} SS_{yy}}} ``` Visible text: 1. **Streuung der einzelnen Variablen:** Jede Variable ( und ) hat ihre eigene Streuung. misst die quadrierten Abweichungen der -Werte von ihrem Mittelwert, entsprechend die der -Werte. 2. **Gemeinsame Abweichung:** Zusätzlich betrachten wir, wie und _gemeinsam_ abweichen. Steigt tendenziell, wenn zunimmt, oder fällt es? Die Summe misst diese paarweisen Kreuzabweichungen. Sie ist der Zähler der Kovarianz; je nach Konvention wird für die Kovarianz zusätzlich durch oder geteilt. - Ist positiv, haben die gepaarten Abweichungen tendenziell dasselbe Vorzeichen. - Ist negativ, haben die gepaarten Abweichungen tendenziell entgegengesetzte Vorzeichen. - Liegt nahe null, bleibt nur wenig lineare gemeinsame Abweichung übrig. 3. **Standardisierung:** Der Wert von hängt von den Maßeinheiten ab. Wird etwa Körpergröße in Metern statt Zentimetern gemessen, ändert sich die Kreuzabweichungssumme, obwohl der zugrunde liegende Zusammenhang gleich bleibt. Deshalb müssen wir das Maß **standardisieren**. Wir teilen durch die geometrische Verbindung der beiden Streuungsmaße, . Das Ergebnis ist **$$r$$**, der Pearson-Korrelationskoeffizient. Wenn beide Variablen eine von null verschiedene Streuung besitzen, beschränkt die Standardisierung seinen Wert auf das Intervall von $$-1$$ bis $$+1$$, unabhängig von den ursprünglichen Maßeinheiten. So lassen sich lineare Zusammenhänge verschiedener Variablenpaare vergleichen. Visible text: Das Ergebnis ist ****, der Pearson-Korrelationskoeffizient. Wenn beide Variablen eine von null verschiedene Streuung besitzen, beschränkt die Standardisierung seinen Wert auf das Intervall von bis , unabhängig von den ursprünglichen Maßeinheiten. So lassen sich lineare Zusammenhänge verschiedener Variablenpaare vergleichen. Damit vergleicht $$r$$ die paarweisen Abweichungen von $$X$$ und $$Y$$ mit der getrennten Streuung beider Variablen. Visible text: Damit vergleicht die paarweisen Abweichungen von und mit der getrennten Streuung beider Variablen. ## Produktmoment-Korrelationsformel Für die genaue Berechnung von $$r$$ verwenden wir die folgenden **Abweichungssummen**: Visible text: Für die genaue Berechnung von verwenden wir die folgenden **Abweichungssummen**: ```math r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} SS_{yy}}} ``` **Was sind $$SS_{xy}$$, $$SS_{xx}$$ und $$SS_{yy}$$?** Visible text: **Was sind , und ?** Sie beschreiben die Streuung und gemeinsame Abweichung unserer Daten: 1. **$$SS_{xx}$$ (Quadratsumme für $$x$$):** Misst, wie weit die $$x$$-Daten von ihrem Mittelwert abweichen. ```math SS_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2 = \sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} ``` 2. **$$SS_{yy}$$ (Quadratsumme für $$y$$):** Misst, wie weit die $$y$$-Daten von ihrem Mittelwert abweichen. ```math SS_{yy} = \sum (y - \bar{y})^2 = \sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n} ``` 3. **$$SS_{xy}$$ (Summe der Produkte der Abweichungen für $$x$$ und $$y$$):** Misst, wie $$x$$ und $$y$$ _zusammen_ variieren. ```math SS_{xy} = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = \sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n} ``` Visible text: 1. ** (Quadratsumme für ):** Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen. 2. ** (Quadratsumme für ):** Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen. 3. ** (Summe der Produkte der Abweichungen für und ):** Misst, wie und _zusammen_ variieren. Dabei bedeutet: - $$n$$: Anzahl der Datenpaare $$(x, y)$$. - $$\sum x$$, $$\sum y$$: Summe aller $$x$$ und $$y$$ Werte. - $$\sum x^2$$, $$\sum y^2$$: Summe der Quadrate jedes $$x$$- und $$y$$-Werts. - $$\sum xy$$: Summe des Produkts jedes $$x$$- und $$y$$-Paars. - $$\bar{x}$$, $$\bar{y}$$: Mittelwert der Werte $$x$$ und $$y$$. Visible text: - : Anzahl der Datenpaare . - , : Summe aller und Werte. - , : Summe der Quadrate jedes - und -Werts. - : Summe des Produkts jedes - und -Paars. - , : Mittelwert der Werte und . Nachdem wir die drei $$SS$$-Werte berechnet haben, setzen wir sie in die Formel für $$r$$ ein. Visible text: Nachdem wir die drei -Werte berechnet haben, setzen wir sie in die Formel für ein. Die Formel setzt $$SS_{xx}>0$$ und $$SS_{yy}>0$$ voraus. Ist eine der Variablen konstant, wird der Nenner null und Pearsons $$r$$ ist nicht definiert. Visible text: Die Formel setzt und voraus. Ist eine der Variablen konstant, wird der Nenner null und Pearsons ist nicht definiert. ## Interpretation des Korrelationskoeffizienten Sobald $$r$$ bestimmt ist, bietet die folgende Tabelle eine grobe sprachliche Einordnung. Ihre Grenzen sind Konventionen und keine universellen Naturgesetze. Die praktische Bedeutung hängt vom Fachgebiet, von der Messqualität, vom Stichprobenumfang und vom Sachzusammenhang ab. Deshalb gehört das Streudiagramm immer zur Deutung dazu. Visible text: Sobald bestimmt ist, bietet die folgende Tabelle eine grobe sprachliche Einordnung. Ihre Grenzen sind Konventionen und keine universellen Naturgesetze. Die praktische Bedeutung hängt vom Fachgebiet, von der Messqualität, vom Stichprobenumfang und vom Sachzusammenhang ab. Deshalb gehört das Streudiagramm immer zur Deutung dazu. | Wert von $$r$$ | Korrelationsstärke | Beschreibung | | :------------------------------------ | :-------------------- | :---------------------------------------------------------------- | | $$1$$ | Perfekt positiv | Alle Punkte liegen genau auf einer ansteigenden Linie. | | $$0{,}7 \le r < 1$$ | Stark positiv | Klare und starke positive lineare Beziehung. | | $$0{,}3 < r < 0{,}7$$ | Mäßig positiv | Mäßig sichtbarer positiver linearer Zusammenhang. | | $$0 < r \le 0{,}3$$ | Schwach positiv | Sehr geringe positive lineare Beziehung. | | $$0$$ | Keine lineare Korrelation | Kein lineares Muster; ein nichtlinearer Zusammenhang ist weiterhin möglich. | | $$-0{,}3 \le r < 0$$ | Schwach negativ | Sehr schwacher negativer linearer Zusammenhang. | | $$-0{,}7 < r < -0{,}3$$ | Mäßig negativ | Mäßig sichtbarer negativer linearer Zusammenhang. | | $$-1 < r \le -0{,}7$$ | Stark negativ | Klarer und starker negativer linearer Zusammenhang. | | $$-1$$ | Perfekt negativ | Alle Punkte liegen genau auf einer fallenden Geraden. | Visible text: | Wert von | Korrelationsstärke | Beschreibung | | :------------------------------------ | :-------------------- | :---------------------------------------------------------------- | | | Perfekt positiv | Alle Punkte liegen genau auf einer ansteigenden Linie. | | | Stark positiv | Klare und starke positive lineare Beziehung. | | | Mäßig positiv | Mäßig sichtbarer positiver linearer Zusammenhang. | | | Schwach positiv | Sehr geringe positive lineare Beziehung. | | | Keine lineare Korrelation | Kein lineares Muster; ein nichtlinearer Zusammenhang ist weiterhin möglich. | | | Schwach negativ | Sehr schwacher negativer linearer Zusammenhang. | | | Mäßig negativ | Mäßig sichtbarer negativer linearer Zusammenhang. | | | Stark negativ | Klarer und starker negativer linearer Zusammenhang. | | | Perfekt negativ | Alle Punkte liegen genau auf einer fallenden Geraden. |