# Grundlagen der Trigonometrie > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/trigonometrie/grundidee-der-trigonometrie Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/trigonometry/trigonometry-concept/de.mdx Baue Trigonometrie aus rechtwinkligen Dreiecken, Ähnlichkeit, dem Satz des Pythagoras, sechs Verhältnissen und einem geprüften Schattenmodell auf. --- ## Was ist Trigonometrie? Das Wort Trigonometrie ist aus griechischen Wörtern für Dreieck und Maß gebildet. Rechtwinklige Dreiecke sind ein natürlicher Ausgangspunkt, weil ihre Seitenverhältnisse durch die Winkel bestimmt werden. Später erweitert die Trigonometrie diese Ideen auf den Einheitskreis, periodische Funktionen und viele Situationen außerhalb von Dreiecken. ### Erinnerung an den Satz des Pythagoras Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $$a$$ und $$b$$ sowie der Hypotenuse $$c$$ gilt: Visible text: Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und sowie der Hypotenuse gilt: ```math a^2 + b^2 = c^2 ``` Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der Satz verbindet alle drei Seitenlängen und bildet die Grundlage für die später verwendeten Werte besonderer Dreiecke. ### Verhältnisse und Proportionen verstehen Trigonometrische Funktionen beginnen als Verhältnisse von Seitenlängen. Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Eine Proportion sagt aus, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Ein senkrechtes Lineal und ein senkrechter Baum stehen auf demselben ebenen Boden. Ihre Schatten werden zur gleichen Zeit gemessen. Paralleles Sonnenlicht macht die beiden Höhen-Schatten-Dreiecke ähnlich. Das Lineal sei $$6 \text{ cm}$$ hoch, sein Schatten $$3 \text{ cm}$$ lang und der Baumschatten $$150 \text{ cm}$$ lang. Für die Baumhöhe $$h$$ gilt dann: Visible text: Ein senkrechtes Lineal und ein senkrechter Baum stehen auf demselben ebenen Boden. Ihre Schatten werden zur gleichen Zeit gemessen. Paralleles Sonnenlicht macht die beiden Höhen-Schatten-Dreiecke ähnlich. Das Lineal sei hoch, sein Schatten lang und der Baumschatten lang. Für die Baumhöhe gilt dann: Component: MathContainer Children: ```math \frac{\text{Linealhöhe}}{\text{Linealschatten}} = \frac{\text{Baumhöhe}}{\text{Baumschatten}} ``` ```math \frac{6}{3}=\frac{h}{150} ``` ```math h=\frac{6}{3}\cdot150\text{ cm}=300\text{ cm}=3\text{ m} ``` Die Proportion gilt, weil die beiden Dreiecke dieselben beiden spitzen Winkel haben, nicht allein deshalb, weil beide Objekte einen Schatten werfen. ## Ähnliche Dreiecke Ähnliche Dreiecke haben gleiche entsprechende Winkel und proportionale entsprechende Seiten. Jedes der folgenden Kriterien reicht aus, um Ähnlichkeit zu beweisen: | Kriterium | Ausreichende Angaben | | --- | --- | | WW | Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich. Das dritte Paar ist dann automatisch gleich. | | SSS | Alle drei Paare entsprechender Seiten sind proportional. | | SWS | Zwei Paare entsprechender Seiten sind proportional und ihre eingeschlossenen Winkel sind gleich. | Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, auch wenn ihre Größen verschieden sind. Jede entsprechende Länge wird mit demselben Maßstabsfaktor multipliziert. ### Anwendungen ähnlicher Dreiecke Das Konzept ähnlicher Dreiecke wird im Alltag häufig verwendet: 1. **Höhenmessung**: Schatten oder Sichtlinien können ähnliche Dreiecke für schwer direkt messbare Objekte bilden. 2. **Maßstäbliche Zeichnungen**: Ein Plan oder Modell behält seine Proportionen, wenn jede Länge mit demselben Maßstabsfaktor vergrößert oder verkleinert wird. 3. **Geometrie und Konstruktion**: Indirekte Messungen lassen sich über entsprechende Winkel und proportionale Seiten prüfen. ## Trigonometrische Verhältnisse Trigonometrische Verhältnisse vergleichen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks relativ zu einem gewählten spitzen Winkel. Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel $$\theta$$ (Theta) vor. Wir nennen seine Seiten wie folgt: Visible text: Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel (Theta) vor. Wir nennen seine Seiten wie folgt: - **Hypotenuse**: die Seite gegenüber dem rechten Winkel - **Gegenkathete**: die Seite gegenüber dem Winkel $$\theta$$. - **Ankathete**: die Seite neben dem Winkel $$\theta$$ außer der Hypotenuse. Visible text: - **Hypotenuse**: die Seite gegenüber dem rechten Winkel - **Gegenkathete**: die Seite gegenüber dem Winkel . - **Ankathete**: die Seite neben dem Winkel außer der Hypotenuse. Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Rechtes Dreieck - description: Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel $$\theta$$. Visible text: Rechtwinkliges Dreieck mit Winkel . - angle: 45 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse", } Aus diesen drei Seiten entstehen sechs grundlegende trigonometrische Verhältnisse. Für einen spitzen Winkel in einem nicht entarteten rechtwinkligen Dreieck sind alle drei Seitenlängen positiv, daher sind alle folgenden Verhältnisse definiert: 1. **Sinus** ($$\sin$$): ```math \sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` 2. **Kosinus** ($$\cos$$): ```math \cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` 3. **Tangens** ($$\tan$$): ```math \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} ``` 4. **Kosekans** ($$\csc$$): ```math \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} ``` 5. **Sekans** ($$\sec$$): ```math \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} ``` 6. **Kotangens** ($$\cot$$): ```math \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} ``` Visible text: 1. **Sinus** (): 2. **Kosinus** (): 3. **Tangens** (): 4. **Kosekans** (): 5. **Sekans** (): 6. **Kotangens** (): ### Warum hat jeder Winkel feste Verhältnisse? Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel, zum Beispiel $$\theta=30^\circ$$, haben auch denselben rechten Winkel. Nach dem WW-Kriterium sind sie ähnlich. Werden alle Seiten mit demselben Faktor skaliert, bleiben die Quotienten entsprechender Seitenlängen unverändert. Visible text: Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel, zum Beispiel , haben auch denselben rechten Winkel. Nach dem WW-Kriterium sind sie ähnlich. Werden alle Seiten mit demselben Faktor skaliert, bleiben die Quotienten entsprechender Seitenlängen unverändert. Einfaches Beispiel: - Das Dreieck $$A$$ hat eine Gegenkathete von $$3 \text{ cm}$$ und eine Hypotenuse von $$6 \text{ cm}$$. - Das Dreieck $$B$$ hat eine Gegenkathete von $$5 \text{ cm}$$ und eine Hypotenuse von $$10 \text{ cm}$$. Visible text: - Das Dreieck hat eine Gegenkathete von und eine Hypotenuse von . - Das Dreieck hat eine Gegenkathete von und eine Hypotenuse von . Wenn wir $$\sin \theta$$ für beide Dreiecke berechnen: Visible text: Wenn wir für beide Dreiecke berechnen: - $$\sin \theta$$ für das Dreieck $$A$$ ist $$\frac{3}{6} = 0{,}5$$. - $$\sin \theta$$ für das Dreieck $$B$$ ist $$\frac{5}{10} = 0{,}5$$. Visible text: - für das Dreieck ist . - für das Dreieck ist . Obwohl die Dreiecke verschieden groß sind, bleibt $$\sin \theta$$ gleich. Dieselbe Begründung gilt für die anderen Seitenverhältnisse. Visible text: Obwohl die Dreiecke verschieden groß sind, bleibt gleich. Dieselbe Begründung gilt für die anderen Seitenverhältnisse. Component: UnitCircle Props: - title: Visualisierung trigonometrischer Verhältnisse - description: Verschiebe den Winkel und beobachte, wie Sinus und Kosinus durch den Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt werden. - angle: 30 Auf dem Einheitskreis hat der zu $$\theta$$ gehörende Punkt die Koordinaten $$(\cos \theta,\sin \theta)$$. Diese Definition erweitert Sinus und Kosinus über die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks hinaus. Visible text: Auf dem Einheitskreis hat der zu gehörende Punkt die Koordinaten . Diese Definition erweitert Sinus und Kosinus über die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks hinaus. Für spitze Winkel stimmen die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit den Koordinaten des Einheitskreises überein. Daher gelten dieselben Werte für Dreiecke verschiedener Größe. ## Anwendungen der Trigonometrie im wirklichen Leben Trigonometrie verbindet Winkel mit Längen und periodischen Veränderungen. Deshalb tritt sie in Messung, Navigation, Konstruktion und Wellenmodellen auf. ### Messen der Höhe mithilfe von Schatten Für nahe beieinanderstehende senkrechte Objekte auf ebenem Boden ist Höhe geteilt durch Schattenlänge gleich, wenn alle Schatten zur selben Zeit gemessen werden. Das folgt aus parallelem Sonnenlicht und ähnlichen Dreiecken. Vor mehr als $$2200 \text{ Jahren}$$ schätzte Eratosthenes den Erdumfang, indem er den Sonnenwinkel an zwei Orten verglich und die Winkeldifferenz mit der Entfernung zwischen diesen Orten verband. Die Entfernung war unverzichtbar; die Schatten allein reichten nicht aus. Visible text: Vor mehr als schätzte Eratosthenes den Erdumfang, indem er den Sonnenwinkel an zwei Orten verglich und die Winkeldifferenz mit der Entfernung zwischen diesen Orten verband. Die Entfernung war unverzichtbar; die Schatten allein reichten nicht aus. ### Navigation Die alten Seeleute nutzten die Trigonometrie zur Navigation, indem sie den Winkel zwischen dem Horizont und den Sternen maßen. ### Architektur und Bauwesen Architekten nutzen die Trigonometrie zur Berechnung von Dachneigungen, Turmhöhen und vielen strukturellen Aspekten von Gebäuden. ### Elektronik und Wellen Schallwellen, Radiowellen und elektrische Wechselströme können mithilfe von Sinus- und Kosinusfunktionen modelliert werden. ## Einfaches Experiment Wähle nahe beieinanderstehende senkrechte Objekte auf ebenem Boden und miss ihre Schatten fast gleichzeitig. Dann kann der Sonnenwinkel als gleich betrachtet werden. 1. Miss eine Bezugshöhe $$h_r$$ und ihre waagerechte Schattenlänge $$s_r$$. 2. Berechne das gemeinsame Verhältnis $$k=h_r/s_r$$. 3. Miss die Schattenlänge $$s$$ eines anderen Objekts und schätze seine Höhe mit $$h=ks$$. 4. Berechne bei Bedarf den Sonnenhöhenwinkel mit $$\theta=\arctan k$$. Visible text: 1. Miss eine Bezugshöhe und ihre waagerechte Schattenlänge . 2. Berechne das gemeinsame Verhältnis . 3. Miss die Schattenlänge eines anderen Objekts und schätze seine Höhe mit . 4. Berechne bei Bedarf den Sonnenhöhenwinkel mit . Wirft ein $$1{,}5 \text{ m}$$ hohes Bezugsobjekt einen $$2{,}0 \text{ m}$$ langen Schatten, dann ist $$k=0{,}75$$. Für ein Objekt mit $$8{,}0 \text{ m}$$ Schattenlänge ergibt sich Visible text: Wirft ein hohes Bezugsobjekt einen langen Schatten, dann ist . Für ein Objekt mit Schattenlänge ergibt sich Component: MathContainer Children: ```math h=0{,}75\times8{,}0\text{ m}=6{,}0\text{ m} ``` ```math \theta=\arctan(0{,}75)\approx36{,}87^\circ ``` Ist der Boden geneigt, steht ein Objekt nicht senkrecht oder liegen die Messzeiten weit auseinander, gilt dieses einfache Modell nicht ohne Anpassung.