# Die drei grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/trigonometrie/sinus-kosinus-und-tangens-vergleichen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/trigonometry/trigonometric-comparison-three-primary/de.mdx Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verstehen und mit dem Einheitskreis verknüpfen. --- ## Die drei grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse Für einen festen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck haben entsprechende Seiten stets dieselben Verhältnisse. Die drei grundlegenden Verhältnisse sind Sinus ($$\sin$$), Kosinus ($$\cos$$) und Tangens ($$\tan$$). Visible text: Für einen festen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck haben entsprechende Seiten stets dieselben Verhältnisse. Die drei grundlegenden Verhältnisse sind Sinus (), Kosinus () und Tangens (). Component: MathContainer Children: ```math \sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` ```math \cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` ```math \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} ``` ### Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks verstehen Zuerst müssen wir die drei Seiten eindeutig benennen: 1. **Hypotenuse**: die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel $$90^\circ$$ gegenüber. 2. **Gegenkathete**: die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel $$\theta$$. 3. **Ankathete**: die Kathete, die am betrachteten Winkel $$\theta$$ anliegt. Visible text: 1. **Hypotenuse**: die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. 2. **Gegenkathete**: die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel . 3. **Ankathete**: die Kathete, die am betrachteten Winkel anliegt. Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Visualisierung von Dreiecksseiten - description: Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich Gegenkathete und Ankathete mit dem betrachteten Winkel ändern. - angle: 30 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse", } ## Sinus Der Sinus des Winkels $$\theta$$ ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Visible text: Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. ```math \sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Visualisierung von Sinus ($$\sin \theta$$) Visible text: Visualisierung von Sinus () - description: Beobachte, wie sich $$\sin \theta$$ mit dem Winkel verändert. Visible text: Beobachte, wie sich mit dem Winkel verändert. - angle: 30 - labels: { opposite: "Gegenkathete (bestimmt den Sinuswert)", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse (Divisor)", } ### Beispiele für Sinuswerte | Winkel | Exakter Sinuswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | $$0^\circ$$ | $$0$$ | $$0$$ | | $$30^\circ$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$0{,}5$$ | | $$45^\circ$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$0{,}71$$ | | $$60^\circ$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$0{,}87$$ | | $$90^\circ$$ | $$1$$ | $$1$$ | Visible text: | Winkel | Exakter Sinuswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Kosinus Der Kosinus des Winkels $$\theta$$ ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Visible text: Der Kosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. ```math \cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} ``` Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Visualisierung von Kosinus ($$\cos \theta$$) Visible text: Visualisierung von Kosinus () - description: Beobachte, wie sich $$\cos \theta$$ mit dem Winkel verändert. Visible text: Beobachte, wie sich mit dem Winkel verändert. - angle: 60 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete (bestimmt den Kosinuswert)", hypotenuse: "Hypotenuse (Divisor)", } ### Beispiele für Kosinuswerte | Winkel | Exakter Kosinuswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | $$0^\circ$$ | $$1$$ | $$1$$ | | $$30^\circ$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$0{,}87$$ | | $$45^\circ$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$0{,}71$$ | | $$60^\circ$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$0{,}5$$ | | $$90^\circ$$ | $$0$$ | $$0$$ | Visible text: | Winkel | Exakter Kosinuswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Tangens Der Tangens des Winkels $$\theta$$ ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Er ist außerdem der Quotient aus Sinus und Kosinus, sofern $$\cos \theta\ne0$$ gilt. Visible text: Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Er ist außerdem der Quotient aus Sinus und Kosinus, sofern gilt. ```math \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta\ne0 ``` Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Visualisierung des Tangens ($$\tan \theta$$) Visible text: Visualisierung des Tangens () - description: Beobachte, wie sich $$\tan \theta$$ mit dem Winkel verändert. Visible text: Beobachte, wie sich mit dem Winkel verändert. - angle: 45 - labels: { opposite: "Gegenkathete (Zähler)", adjacent: "Ankathete (Nenner)", hypotenuse: "Hypotenuse", } ### Beispiele für Tangenswerte | Winkel | Exakter Tangenswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | $$0^\circ$$ | $$0$$ | $$0$$ | | $$30^\circ$$ | $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ | $$0{,}58$$ | | $$45^\circ$$ | $$1$$ | $$1$$ | | $$60^\circ$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$1{,}73$$ | | $$90^\circ$$ | $$\text{nicht definiert}$$ | $$\text{nicht definiert}$$ | Visible text: | Winkel | Exakter Tangenswert | Dezimale Näherung | | ------------------------- | ---------------------------------------- | -------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $$1$$. Mit ihm lassen sich die drei Verhältnisse auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks deuten. Visible text: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius . Mit ihm lassen sich die drei Verhältnisse auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks deuten. Component: UnitCircle Props: - title: Einheitskreis und trigonometrische Verhältnisse - description: Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich $$\sin \theta$$, $$\cos \theta$$ und $$\tan \theta$$ auf dem Einheitskreis verändern. Visible text: Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich , und auf dem Einheitskreis verändern. - angle: 45 Im Einheitskreis: - Die $$x$$-Koordinate auf dem Einheitskreis ist $$\cos \theta$$. - Die $$y$$-Koordinate auf dem Einheitskreis ist $$\sin \theta$$. - Für $$\cos \theta\ne0$$ ist $$\tan \theta$$ die Steigung der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Einheitskreis. Bei $$90^\circ$$ ist diese Gerade senkrecht, daher sind ihre Steigung und der Tangens nicht definiert. Visible text: - Die -Koordinate auf dem Einheitskreis ist . - Die -Koordinate auf dem Einheitskreis ist . - Für ist die Steigung der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Einheitskreis. Bei ist diese Gerade senkrecht, daher sind ihre Steigung und der Tangens nicht definiert. ## Relationen zwischen den drei trigonometrischen Verhältnissen Zwischen den drei Verhältnissen gelten insbesondere diese beiden Beziehungen: Component: MathContainer Children: ```math \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta\ne0 ``` ```math \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ``` ## Übung Das folgende rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von $$30^\circ$$ und die Hypotenuse $$1$$. Bestimme die exakten Längen von Gegenkathete und Ankathete und berechne anschließend $$\sin 30^\circ$$, $$\cos 30^\circ$$ und $$\tan 30^\circ$$. Visible text: Das folgende rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von und die Hypotenuse . Bestimme die exakten Längen von Gegenkathete und Ankathete und berechne anschließend , und . Component: Triangle Props: - title: Dreieck mit einem Winkel von $$30^\circ$$ Visible text: Dreieck mit einem Winkel von - description: Rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von $$30^\circ$$ Visible text: Rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von - angle: 30 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse", } ### Lösung Die exakten Verhältnisse des besonderen Winkels liefern die beiden Kathetenlängen direkt: Component: MathContainer Children: ```math \text{Gegenkathete}=1\cdot\sin 30^\circ=\frac{1}{2} ``` ```math \text{Ankathete}=1\cdot\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \tan 30^\circ=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577 ``` Werden zuerst die exakten Werte verwendet und erst am Ende gerundet, bleibt die Identität $$\tan \theta=\sin \theta/\cos \theta$$ erhalten. So entsteht kein zusätzlicher Fehler durch das Dividieren bereits gerundeter Dezimalzahlen. Visible text: Werden zuerst die exakten Werte verwendet und erst am Ende gerundet, bleibt die Identität erhalten. So entsteht kein zusätzlicher Fehler durch das Dividieren bereits gerundeter Dezimalzahlen.