# Anwendungen des Tangensverhältnisses > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/trigonometrie/tangens-anwenden Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/trigonometry/trigonometric-comparison-tan-usage/de.mdx Nutze den Tangens, ähnliche Dreiecke und Höhenwinkel, um Höhen, Schattenlängen und schwer zugängliche Entfernungen zu bestimmen. --- ## Was ist der Tangens? In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens des Winkels $$\theta$$ das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Der Sinus vergleicht dagegen die Gegenkathete mit der Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete mit der Hypotenuse. Visible text: In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens des Winkels das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Der Sinus vergleicht dagegen die Gegenkathete mit der Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete mit der Hypotenuse. Component: Triangle Props: - title: Visualisierung des Tangens ($$\tan \theta$$) Visible text: Visualisierung des Tangens () - description: Bewege den Regler und beobachte, wie sich $$\tan$$ mit dem Winkel verändert. Visible text: Bewege den Regler und beobachte, wie sich mit dem Winkel verändert. - angle: 30 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse", } Wenn wir beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $$\theta$$ haben, dann gilt: Visible text: Wenn wir beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel haben, dann gilt: ```math \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} ``` Der Tangenswert ändert sich mit dem Winkel. Zum Beispiel gilt $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$$. Visible text: Der Tangenswert ändert sich mit dem Winkel. Zum Beispiel gilt . ## Anwendungen des Tangens Mit dem Tangens lassen sich insbesondere folgende Größen bestimmen: 1. Höhe von Objekten, die schwer direkt zu messen sind 2. Abstand zwischen zwei Punkten, auf die nicht zugegriffen werden kann 3. Länge des Schattens eines Objekts 4. Neigung einer Fläche ### Messung der Höhe durch Schatten Angenommen, ein Baum oder Gebäude steht senkrecht auf ebenem Boden. Werden die Sonnenstrahlen als parallel betrachtet, bilden das Objekt, sein Schatten und ein Sonnenstrahl ein rechtwinkliges Dreieck. Dann können wir: 1. die waagerechte Schattenlänge als Ankathete messen, 2. den Sonnenhöhenwinkel $$\theta$$ messen oder übernehmen und 3. mit $$\tan \theta$$ die senkrechte Höhe als Gegenkathete berechnen. Visible text: 1. die waagerechte Schattenlänge als Ankathete messen, 2. den Sonnenhöhenwinkel messen oder übernehmen und 3. mit die senkrechte Höhe als Gegenkathete berechnen. Component: MathContainer Children: ```math \text{Objekthöhe} = \text{Schattenlänge} \times \tan \theta ``` Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Anwendung des Tangens bei einer Messung - description: Beispiel eines Dreiecks, das bei der Höhenmessung mit Schatten entsteht. - angle: 30 - labels: { opposite: "Objekthöhe", adjacent: "Schattenlänge", hypotenuse: "", } ## Methoden zum Berechnen mit Tangens Es gibt zwei Möglichkeiten, Probleme mithilfe des Tangens zu lösen: ### Ähnlicher Dreiecksvergleich Wir können das Prinzip ähnlicher Dreiecke nutzen, um Probleme zu lösen. Wenn wir zwei Dreiecke mit derselben Form (ähnlich) haben, dann ist das Verhältnis ihrer Seiten gleich. Wenn wir beispielsweise Schatten von drei Objekten unterschiedlicher Höhe (Kind, Teenager und Erwachsener) haben, können wir die Gleichung erstellen: ```math \frac{\text{Größe des Kindes}}{\text{Schattenlänge des Kindes}} = \frac{\text{Größe eines Teenagers}}{\text{Schattenlänge eines Teenagers}} = \frac{\text{Körpergröße eines Erwachsenen}}{\text{Schattenlänge eines Erwachsenen}} ``` Stehen ein Kind und ein Jugendlicher gleichzeitig auf demselben ebenen Boden, haben ihre Höhen-Schatten-Dreiecke wegen des Sonnenlichts denselben spitzen Winkel. Das Kind sei $$114 \text{ cm}$$ groß und werfe einen $$200 \text{ cm}$$ langen Schatten. Der Jugendliche sei $$148 \text{ cm}$$ groß. Dann gilt: Visible text: Stehen ein Kind und ein Jugendlicher gleichzeitig auf demselben ebenen Boden, haben ihre Höhen-Schatten-Dreiecke wegen des Sonnenlichts denselben spitzen Winkel. Das Kind sei groß und werfe einen langen Schatten. Der Jugendliche sei groß. Dann gilt: Component: MathContainer Children: ```math \frac{114 \text{ cm}}{200 \text{ cm}} = \frac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} ``` ```math x = \frac{148\times200}{114}\text{ cm} \approx 259{,}65 \text{ cm} ``` Für das gemessene Bezugsdreieck ist $$\tan \theta=114/200=0{,}57$$. Der zugehörige Sonnenhöhenwinkel beträgt daher $$\theta=\arctan(0{,}57)\approx29{,}68^\circ$$. Visible text: Für das gemessene Bezugsdreieck ist . Der zugehörige Sonnenhöhenwinkel beträgt daher . ### Verwendung der Tangensformel Direkter geht es mit dem Tangensverhältnis: ```math \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} ``` Betrachte nun eine andere Situation mit einem exakten Sonnenhöhenwinkel von $$30^\circ$$ und einer Körpergröße von $$148 \text{ cm}$$: Visible text: Betrachte nun eine andere Situation mit einem exakten Sonnenhöhenwinkel von und einer Körpergröße von : Component: MathContainer Children: ```math \tan \theta = \frac{\text{Größe eines Teenagers}}{\text{Schattenlänge eines Teenagers}} ``` ```math \tan 30^\circ = \frac{148 \text{ cm}}{x \text{ cm}} ``` ```math \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{148}{x} ``` ```math x = 148\sqrt{3}\text{ cm} \approx 256{,}34 \text{ cm} ``` Dieser Schatten ist etwas kürzer als $$259{,}65 \text{ cm}$$, weil $$30^\circ$$ etwas größer ist als der gemessene Bezugswinkel $$29{,}68^\circ$$. Bei gleicher Höhe führt ein größerer Höhenwinkel zu einem kürzeren Schatten. Visible text: Dieser Schatten ist etwas kürzer als , weil etwas größer ist als der gemessene Bezugswinkel . Bei gleicher Höhe führt ein größerer Höhenwinkel zu einem kürzeren Schatten. Component: ContentBlock Children: Component: Triangle Props: - title: Winkel $$30^\circ$$ mit Tangens $$1/\sqrt{3}$$ Visible text: Winkel mit Tangens - description: Visualisierung des Dreiecks mit dem Winkel $$30^\circ$$ aus dem Rechenbeispiel. Visible text: Visualisierung des Dreiecks mit dem Winkel aus dem Rechenbeispiel. - angle: 30 - labels: { opposite: "Größe eines Teenagers", adjacent: "Schattenlänge eines Teenagers", hypotenuse: "", }