# Trigonometrisches Verhältnis: Tangens

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Berechne den Tangens als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und nutze ihn für Höhen, Steigungen und Winkel.

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## Was ist Tangens in trigonometrischen Verhältnissen?

Beim Studium der Trigonometrie stoßen wir auf verschiedene Arten von Verhältnissen. Eines der grundlegendsten ist das Tangensverhältnis, das oft als $$\tan$$ geschrieben wird.

Visible text: Beim Studium der Trigonometrie stoßen wir auf verschiedene Arten von Verhältnissen. Eines der grundlegendsten ist das Tangensverhältnis, das oft als geschrieben wird.

### Tangens verstehen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete, jeweils bezogen auf den betrachteten Winkel.

```math
\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
```

Component: ContentBlock
Children:
Component: Triangle
Props:
- title: Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- description: Das Verhältnis $$\tan$$ vergleicht die Gegenkathete mit der Ankathete.
  Visible text: Das Verhältnis vergleicht die Gegenkathete mit der Ankathete.
- angle: 30
- labels: {
opposite: "Gegenkathete",
adjacent: "Ankathete",
hypotenuse: "Hypotenuse",
}

In einem rechtwinkligen Dreieck können wir Folgendes beobachten:

- Die Gegenkathete liegt dem Winkel $$\theta$$ gegenüber.
- Die Ankathete ist die Seite neben dem Winkel $$\theta$$ außer der Hypotenuse.
- Der Tangens entsteht, indem die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Ankathete geteilt wird.

Visible text: - Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
- Die Ankathete ist die Seite neben dem Winkel außer der Hypotenuse.
- Der Tangens entsteht, indem die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Ankathete geteilt wird.

### Beispiele für Tangenswerte

Tangenswerte besonderer Winkel lassen sich exakt angeben. Die Dezimalzahlen sind nur Näherungen:

- $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$$
- $$\tan 45^\circ = 1$$
- $$\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}732$$

Visible text: - 
- 
-

Diese Werte folgen aus den Seitenverhältnissen der zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke.

## Tangenswerte berechnen

### Beispiel zur Berechnung des Tangens

Betrachte ein exaktes $$30^\circ$$-Dreieck mit Gegenkathete $$15 \text{ cm}$$, Ankathete $$15\sqrt{3} \text{ cm}$$ und Hypotenuse $$30 \text{ cm}$$.

Visible text: Betrachte ein exaktes -Dreieck mit Gegenkathete , Ankathete und Hypotenuse .

Component: Triangle
Props:
- title: Beispieldreieck mit $$30^\circ$$ Winkel
  Visible text: Beispieldreieck mit Winkel
- description: Verhältnis der Gegenkathete ($$15 \text{ cm}$$) zur
Ankathete ($$15\sqrt{3} \text{ cm}$$).
  Visible text: Verhältnis der Gegenkathete () zur
Ankathete ().
- angle: 30
- labels: {
opposite: $$15\,\mathrm{cm}$$,
adjacent: $$15\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$$,
hypotenuse: $$30\,\mathrm{cm}$$,
}
  Visible text: {
opposite: ,
adjacent: ,
hypotenuse: ,
}

Der Tangenswert dieses Winkels ist:

```math
\tan 30^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15}{15\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577
```

### Anwendungen im Alltag

Der Tangens ist unter anderem nützlich für:

1. Berechnen der Höhe von Objekten (z. B. Gebäuden, Bäumen) aus einer bestimmten Entfernung
2. Bestimmung der Neigung (Steigung) von Straßen oder Treppen
3. In der Architektur zur Berechnung von Dachwinkeln
4. Navigation und Richtungsbestimmung

## Übungsaufgabe

Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck. Der spitze Winkel ist $$\theta$$, die Gegenkathete ist $$15 \text{ cm}$$ lang und die Ankathete $$7 \text{ cm}$$.

Visible text: Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck. Der spitze Winkel ist , die Gegenkathete ist lang und die Ankathete .

Component: Triangle
Props:
- title: Dreieck mit dem Winkel $$\theta$$
  Visible text: Dreieck mit dem Winkel
- description: Dreieck mit der Gegenkathete $$15 \text{ cm}$$ und der
Ankathete $$7 \text{ cm}$$.
  Visible text: Dreieck mit der Gegenkathete und der
Ankathete .
- angle: 65
- labels: {
opposite: $$15\,\mathrm{cm}$$,
adjacent: $$7\,\mathrm{cm}$$,
hypotenuse: "Hypotenuse",
}
  Visible text: {
opposite: ,
adjacent: ,
hypotenuse: "Hypotenuse",
}

Bestimme $$\tan \theta$$ und erkläre, welche beiden Seiten das Verhältnis bilden.

Visible text: Bestimme und erkläre, welche beiden Seiten das Verhältnis bilden.

### Ausführliche Lösung

Bezogen auf $$\theta$$ ist die $$15 \text{ cm}$$ lange Seite die Gegenkathete und die $$7 \text{ cm}$$ lange Seite die Ankathete. Der Tangens vergleicht genau diese beiden Seiten:

Visible text: Bezogen auf ist die lange Seite die Gegenkathete und die lange Seite die Ankathete. Der Tangens vergleicht genau diese beiden Seiten:

```math
\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15 \text{ cm}}{7 \text{ cm}} = \frac{15}{7} \approx 2{,}14
```

Die Zentimetereinheiten kürzen sich, weil der Tangens ein Verhältnis ist. Somit gilt $$\tan \theta \approx 2{,}14$$. Der Wert ist größer als $$1$$, was zur längeren Gegenkathete passt.

Visible text: Die Zentimetereinheiten kürzen sich, weil der Tangens ein Verhältnis ist. Somit gilt . Der Wert ist größer als , was zur längeren Gegenkathete passt.

Zur Kontrolle gilt $$\theta=\arctan(15/7)\approx65{,}0^\circ$$. Das stimmt mit dem spitzen Winkel im Diagramm überein.

Visible text: Zur Kontrolle gilt . Das stimmt mit dem spitzen Winkel im Diagramm überein.