# Spezielle Winkel in trigonometrischen Vergleichen

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Leite die exakten Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° aus besonderen Dreiecken und dem Einheitskreis her.

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## Was sind Sonderwinkel?

Sonderwinkel sind Winkel, deren trigonometrische Werte sich ohne Taschenrechner exakt angeben lassen. Es geht nicht nur darum, eine Tabelle auswendig zu lernen. Die Werte folgen aus zwei bekannten rechtwinkligen Dreiecken und aus den Koordinaten auf dem Einheitskreis.

Die gebräuchlichsten Sonderwinkel sind $$0^\circ$$, $$30^\circ$$, $$45^\circ$$, $$60^\circ$$ und $$90^\circ$$.

Visible text: Die gebräuchlichsten Sonderwinkel sind , , , und .

Component: UnitCircle
Props:
- title: Visualisierung spezieller Winkel auf dem Einheitskreis
- description: Stelle den Schieberegler auf $$0^\circ$$,{" "}
$$30^\circ$$, $$45^\circ$$,{" "}
$$60^\circ$$ oder $$90^\circ$$, um die
Lage dieser Sonderwinkel zu vergleichen.
  Visible text: Stelle den Schieberegler auf , 
, , 
 oder , um die
Lage dieser Sonderwinkel zu vergleichen.
- angle: 45

## Woher die exakten Werte kommen

### Das $$45^\circ$$-Dreieck

Visible text: ### Das -Dreieck

Teilt man ein Quadrat entlang einer Diagonalen, entstehen gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Sind beide Katheten $$1$$ lang, liefert der Satz des Pythagoras die Hypotenuse $$\sqrt{2}$$:

Visible text: Teilt man ein Quadrat entlang einer Diagonalen, entstehen gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Sind beide Katheten lang, liefert der Satz des Pythagoras die Hypotenuse :

Component: MathContainer
Children:

```math
1^2+1^2=(\sqrt{2})^2
```

```math
\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
```

```math
\tan 45^\circ=\frac{1}{1}=1
```

### Das $$30^\circ$$- und $$60^\circ$$-Dreieck

Visible text: ### Das - und -Dreieck

Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $$2$$, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten gegenüber $$30^\circ$$, gegenüber $$60^\circ$$ und entlang der Hypotenuse haben die Längen $$1$$, $$\sqrt{3}$$ und $$2$$:

Visible text: Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge , entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten gegenüber , gegenüber und entlang der Hypotenuse haben die Längen , und :

Component: MathContainer
Children:

```math
\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}
```

```math
\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}
```

```math
\cos 30^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
```

Die Werte bei $$0^\circ$$ und $$90^\circ$$ stammen von den Einheitskreispunkten $$(1,0)$$ und $$(0,1)$$. Weil der Tangens $$\sin \theta/\cos \theta$$ ist, ist $$\tan 90^\circ$$ nicht definiert: Sein Nenner ist null.

Visible text: Die Werte bei und stammen von den Einheitskreispunkten und . Weil der Tangens ist, ist nicht definiert: Sein Nenner ist null.

## Tabelle der exakten Werte

Die Herleitungen ergeben diese Tabelle:

| Verhältnis | $$0^\circ$$ | $$30^\circ$$ | $$45^\circ$$ | $$60^\circ$$ | $$90^\circ$$ |
| --------------------------------- | ------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------- | ------------------------- |
| $$\sin \theta$$ | $$0$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$1$$ |
| $$\cos \theta$$ | $$1$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$0$$ |
| $$\tan \theta$$ | $$0$$ | $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ | $$1$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$\text{nicht definiert}$$ |

Visible text: | Verhältnis | | | | | |
| --------------------------------- | ------------------------ | ------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------- | ------------------------- |
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