# Gleiche Vektoren

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/vektoren-und-operationen/aequivalente-vektoren
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/vector-operations/equivalent-vector/de.mdx

Lerne, wann Vektoren gleich sind, wie ihre Darstellung vom Ort unabhängig bleibt und wie sich die Gleichheit an den Komponenten erkennen lässt.

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## Wann sind Vektoren gleich?

Zwei Vektoren sind gleich, oder werden durch äquivalente gerichtete Strecken dargestellt, wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Für Vektoren ungleich null bedeutet das zugleich: gleicher Betrag und gleiche Richtung. Für $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$ schreiben wir $$\vec{a} = \vec{b}$$.

Visible text: Zwei Vektoren sind gleich, oder werden durch äquivalente gerichtete Strecken dargestellt, wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Für Vektoren ungleich null bedeutet das zugleich: gleicher Betrag und gleiche Richtung. Für und schreiben wir .

Gleiche Vektoren dürfen an verschiedenen Stellen einer Ebene oder des Raums eingezeichnet sein. Betrag und Richtung bleiben dabei unverändert.

Component: Vector3d
Props:
- title: Beispiel für gleiche Vektoren
- description: Der violette und der orangefarbene Vektor haben denselben Betrag und dieselbe Richtung. Deshalb sind sie trotz ihrer unterschiedlichen Positionen gleich.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#7c3aed",
label: $$v_1$$,
},
{
from: [1, 1, 1],
to: [4, 3, 2],
color: "#ea580c",
label: $$v_2$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#7c3aed",
label: ,
},
{
from: [1, 1, 1],
to: [4, 3, 2],
color: "#ea580c",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [8, 5, 8]

## Bedingungen für gleiche Vektoren

Zwei Vektoren ungleich null, $$\overrightarrow{CD}$$ und $$\overrightarrow{PQ}$$, sind gleich, wenn:

Visible text: Zwei Vektoren ungleich null, und , sind gleich, wenn:

1. Beide Vektoren haben die gleiche Länge: $$|\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{PQ}|$$
2. Beide Vektoren haben die gleiche Richtung

Visible text: 1. Beide Vektoren haben die gleiche Länge: 
2. Beide Vektoren haben die gleiche Richtung

## Gleiche Vektoren darstellen

### In Komponentenform

In der zweidimensionalen kartesischen Ebene sind $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$ genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen:

Visible text: In der zweidimensionalen kartesischen Ebene sind und genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen:

```math
\vec{a} = \vec{b} \quad\Longleftrightarrow\quad (a_1, a_2) = (b_1, b_2)
```

wobei $$a_1 = b_1$$ und $$a_2 = b_2$$

Visible text: wobei und

Im dreidimensionalen Raum sind die Vektoren $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$ genau dann gleich, wenn:

Visible text: Im dreidimensionalen Raum sind die Vektoren und genau dann gleich, wenn:

```math
\vec{a} = \vec{b} \quad\Longleftrightarrow\quad (a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3)
```

wobei $$a_1 = b_1$$, $$a_2 = b_2$$ und $$a_3 = b_3$$

Visible text: wobei , und

Component: Vector3d
Props:
- title: Gleiche Vektoren in Komponentenform
- description: Zwei Vektoren mit denselben Komponenten sind gleich, auch wenn sie an unterschiedlichen Stellen im Raum eingezeichnet sind.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 3, 1],
color: "#c026d3",
label: $$a=(2, 3, 1)$$,
},
{
from: [3, 0, 2],
to: [5, 3, 3],
color: "#0891b2",
label: $$b=(2, 3, 1)$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 3, 1],
color: "#c026d3",
label: ,
},
{
from: [3, 0, 2],
to: [5, 3, 3],
color: "#0891b2",
label: ,
},
]

### Mit Anfangs- und Endpunkten

Hat $$\overrightarrow{AB}$$ den Anfangspunkt $$A(x_1, y_1)$$ und den Endpunkt $$B(x_2, y_2)$$, ergeben sich seine Komponenten aus Endpunkt minus Anfangspunkt:

Visible text: Hat den Anfangspunkt und den Endpunkt , ergeben sich seine Komponenten aus Endpunkt minus Anfangspunkt:

```math
\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
```

Die Vektoren $$\overrightarrow{AB}$$ und $$\overrightarrow{CD}$$ sind gleich, wenn:

Visible text: Die Vektoren und sind gleich, wenn:

```math
(x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (x_4 - x_3, y_4 - y_3)
```

wobei $$C(x_3, y_3)$$ und $$D(x_4, y_4)$$

Visible text: wobei und

## Eigenschaften der Vektorgleichheit

### Reflexive Eigenschaft

Jeder Vektor ist sich selbst gleich.

```math
\vec{a} = \vec{a}
```

### Symmetrische Eigenschaft

Ist der Vektor $$\vec{a}$$ gleich dem Vektor $$\vec{b}$$, dann ist auch der Vektor $$\vec{b}$$ gleich dem Vektor $$\vec{a}$$.

Visible text: Ist der Vektor gleich dem Vektor , dann ist auch der Vektor gleich dem Vektor .

```math
\text{Wenn} \vec{a} = \vec{b} \text{, dann} \vec{b} = \vec{a}
```

### Transitive Eigenschaft

Ist der Vektor $$\vec{a}$$ gleich dem Vektor $$\vec{b}$$ und der Vektor $$\vec{b}$$ gleich dem Vektor $$\vec{c}$$, dann ist auch der Vektor $$\vec{a}$$ gleich dem Vektor $$\vec{c}$$.

Visible text: Ist der Vektor gleich dem Vektor und der Vektor gleich dem Vektor , dann ist auch der Vektor gleich dem Vektor .

Component: ContentStack
Children:

```math
\text{Wenn} \vec{a} = \vec{b} \text{und} \vec{b} = \vec{c} \text{, dann} \vec{a} = \vec{c}
```

Component: Vector3d
Props:
- title: Transitive Eigenschaft gleicher Vektoren
- description: Drei gleiche Vektoren: Aus $$a = b$$ und{" "}
$$b = c$$ folgt $$a = c$$.
  Visible text: Drei gleiche Vektoren: Aus und 
 folgt .
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#d97706",
label: $$a$$,
},
{
from: [1, 1, 2],
to: [3, 3, 2],
color: "#059669",
label: $$b$$,
},
{
from: [2, 0, 1],
to: [4, 2, 1],
color: "#db2777",
label: $$c$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#d97706",
label: ,
},
{
from: [1, 1, 2],
to: [3, 3, 2],
color: "#059669",
label: ,
},
{
from: [2, 0, 1],
to: [4, 2, 1],
color: "#db2777",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [7, 5, 7]

## Beispiele für gleiche Vektoren

### Erstes Beispiel

Der Vektor $$\overrightarrow{AB}$$ mit $$A(2, 3)$$ und $$B(5, 7)$$ ist gleich dem Vektor $$\overrightarrow{CD}$$ mit $$C(1, 1)$$ und $$D(4, 5)$$.

Visible text: Der Vektor mit und ist gleich dem Vektor mit und .

Beweis:

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{AB} = (5-2, 7-3) = (3, 4)
```

```math
\overrightarrow{CD} = (4-1, 5-1) = (3, 4)
```

Da $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (3, 4)$$ gilt, ist der Vektor $$\overrightarrow{AB}$$ gleich dem Vektor $$\overrightarrow{CD}$$.

Visible text: Da gilt, ist der Vektor gleich dem Vektor .

Component: Vector3d
Props:
- title: Vektoren $$AB$$ und $$CD$$
  Visible text: Vektoren und
- description: Darstellung der im Raum gleichen Vektoren{" "}
$$AB(3,4,0)$$ und $$CD(3,4,0)$$.
  Visible text: Darstellung der im Raum gleichen Vektoren 
 und .
- vectors: [
{
from: [2, 3, 0],
to: [5, 7, 0],
color: "#7c3aed",
label: $$AB$$,
},
{
from: [1, 1, 0],
to: [4, 5, 0],
color: "#ca8a04",
label: $$CD$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [2, 3, 0],
to: [5, 7, 0],
color: "#7c3aed",
label: ,
},
{
from: [1, 1, 0],
to: [4, 5, 0],
color: "#ca8a04",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [10, 10, 10]

### Zweites Beispiel

Der Vektor $$\overrightarrow{PQ}$$ mit $$P(0, 0)$$ und $$Q(2, 2)$$ ist gleich dem Vektor $$\overrightarrow{RS}$$ mit $$R(3, 1)$$ und $$S(5, 3)$$.

Visible text: Der Vektor mit und ist gleich dem Vektor mit und .

Beweis:

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{PQ} = (2-0, 2-0) = (2, 2)
```

```math
\overrightarrow{RS} = (5-3, 3-1) = (2, 2)
```

Da $$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS} = (2, 2)$$ gilt, ist der Vektor $$\overrightarrow{PQ}$$ gleich dem Vektor $$\overrightarrow{RS}$$.

Visible text: Da gilt, ist der Vektor gleich dem Vektor .

Component: Vector3d
Props:
- title: Vektoren $$PQ$$ und $$RS$$
  Visible text: Vektoren und
- description: Darstellung der im Raum gleichen Vektoren{" "}
$$PQ(2,2,0)$$ und $$RS(2,2,0)$$.
  Visible text: Darstellung der im Raum gleichen Vektoren 
 und .
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#0d9488",
label: $$PQ$$,
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [5, 3, 0],
color: "#e11d48",
label: $$RS$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#0d9488",
label: ,
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [5, 3, 0],
color: "#e11d48",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [8, 6, 8]

## Anwendungen gleicher Vektoren

Gleiche Vektoren treten in verschiedenen Anwendungen auf:

1. In der Physik zur Berechnung der Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Objekten
2. In der Navigation zur Bestimmung der Richtung und der Fahrstrecke
3. In der Computergrafik zur Objekttransformation
4. In der Elektrotechnik zur Darstellung magnetischer und elektrischer Kräfte