# Vektorkonzept

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Verstehe Vektoren mithilfe einer Windkarte und lerne Betrag, Richtung, Schreibweisen und die Darstellung als Pfeil kennen.

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## Was ist ein Vektor?

Stell dir eine Wetterkarte mit Pfeilen vor, die den Wind an verschiedenen Orten zeigen. Die Richtung jedes Pfeils zeigt, **wohin der Wind weht**. Seine Länge oder Dicke kann zeigen, **wie schnell der Wind weht**.

Die Windgeschwindigkeit ist ein **Vektor**, weil sie einen **Betrag** und eine **Richtung** hat. Der Betrag entspricht der Geschwindigkeit, zum Beispiel $$30 \text{ km/h}$$. Die Richtung gibt an, wohin der Wind weht.

Visible text: Die Windgeschwindigkeit ist ein **Vektor**, weil sie einen **Betrag** und eine **Richtung** hat. Der Betrag entspricht der Geschwindigkeit, zum Beispiel . Die Richtung gibt an, wohin der Wind weht.

## Vektoren zeichnen und schreiben

Ein Vektor ist eine abstrakte Größe. Üblicherweise stellen wir ihn durch eine gerichtete Strecke, also einen Pfeil, dar.

Component: VectorChart
Props:
- title: Vektordiagramm
- description: Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem mit waagerechter{" "}
$$x$$-Achse und senkrechter $$y$$-Achse.
  Visible text: Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem mit waagerechter 
-Achse und senkrechter -Achse.
- vectors: [
{
id: "vector_1",
name: "Vektor 1",
points: [
{ x: 0, y: 0 },
{ x: 6, y: 8 },
],
},
{
id: "vector_2",
name: "Vektor 2",
points: [
{ x: 1, y: 1 },
{ x: 5, y: 2 },
],
direction: "backward",
},
{
id: "vector_3",
name: "Vektor 3",
points: [
{ x: 2, y: 0 },
{ x: 4, y: 7 },
],
direction: "backward",
},
]

- **Vektor** $$1$$: Richtung des Vektors vom Punkt $$(0, 0)$$ zum Punkt $$(6, 8)$$
- **Vektor** $$2$$: Richtung des Vektors vom Punkt $$(5, 2)$$ zum Punkt $$(1, 1)$$
- **Vektor** $$3$$: Richtung des Vektors vom Punkt $$(4, 7)$$ zum Punkt $$(2, 0)$$

Visible text: - **Vektor** : Richtung des Vektors vom Punkt zum Punkt 
- **Vektor** : Richtung des Vektors vom Punkt zum Punkt 
- **Vektor** : Richtung des Vektors vom Punkt zum Punkt

### Wesentliche Bestandteile eines Vektors

1.  **Anfangspunkt:** Der Startpunkt des Vektors.
2.  **Endpunkt:** Der Endpunkt des Vektors, markiert mit einer Pfeilspitze.
3.  **Betrag:** Die Länge des Pfeils stellt den Betrag des Vektors dar. Den Betrag des Vektors $$\overrightarrow{AB}$$ schreibt man als $$|\overrightarrow{AB}|$$.
4.  **Richtung:** Die Richtung, in die die Pfeilspitze zeigt.

Visible text: 1. **Anfangspunkt:** Der Startpunkt des Vektors.
2. **Endpunkt:** Der Endpunkt des Vektors, markiert mit einer Pfeilspitze.
3. **Betrag:** Die Länge des Pfeils stellt den Betrag des Vektors dar. Den Betrag des Vektors schreibt man als .
4. **Richtung:** Die Richtung, in die die Pfeilspitze zeigt.

### Schreibweisen für Vektoren

Vektoren lassen sich auf verschiedene Arten schreiben:

1.  **Zwei Großbuchstaben mit einem Pfeil darüber:** Sie geben Anfangs- und Endpunkt an. $$\overrightarrow{AB}$$ bezeichnet den Vektor vom Punkt $$A$$ zum Punkt $$B$$.
2.  **Ein Kleinbuchstabe mit einem Pfeil darüber:** Beispiel: $$\vec{a}$$.
3.  **Ein fett gedruckter Kleinbuchstabe:** Beispiel: **a**.

Visible text: 1. **Zwei Großbuchstaben mit einem Pfeil darüber:** Sie geben Anfangs- und Endpunkt an. bezeichnet den Vektor vom Punkt zum Punkt .
2. **Ein Kleinbuchstabe mit einem Pfeil darüber:** Beispiel: .
3. **Ein fett gedruckter Kleinbuchstabe:** Beispiel: **a**.

## Übung

Stellen die folgenden Zeichnungen jeweils einen einzelnen Vektorpfeil dar? Begründe deine Antwort.

Component: VectorChart
Props:
- title: Kartesisches Koordinatensystem
- description: Waagerechte $$x$$-Achse und senkrechte{" "}
$$y$$-Achse.
  Visible text: Waagerechte -Achse und senkrechte 
-Achse.
- vectors: [
{
id: "shape_1",
name: "Form 1",
points: [
{ x: 0, y: 0 },
{ x: 1, y: 9 },
{ x: 3, y: 4 },
{ x: 6, y: 8 },
],
},
{
id: "shape_2",
name: "Form 2",
points: [
{ x: 1, y: 1 },
{ x: 2, y: 6 },
{ x: 5, y: 2 },
],
direction: "backward",
},
{
id: "shape_3",
name: "Form 3",
points: [
{ x: 2, y: 0 },
{ x: 4, y: 7 },
],
direction: "both",
},
]

In der dargestellten Form ist keine der drei Zeichnungen die übliche Darstellung eines einzelnen Vektors:

1. **Form** $$1$$: Der gekrümmte Linienzug beschreibt einen Weg, keine einzelne gerichtete Strecke. Die gesamte Verschiebung ließe sich dennoch durch einen Pfeil vom Anfangs- zum Endpunkt darstellen.
2. **Form** $$2$$: Auch die geknickte Linie beschreibt einen Weg aus mehreren Teilstrecken. Ein einzelner Vektorpfeil würde den Anfangspunkt direkt mit dem Endpunkt verbinden.
3. **Form** $$3$$: Die Strecke trägt an beiden Enden eine Pfeilspitze und legt deshalb keine eindeutige Orientierung fest. Ein einzelner Vektor braucht genau einen Anfangs- und einen Endpunkt.

Visible text: 1. **Form** : Der gekrümmte Linienzug beschreibt einen Weg, keine einzelne gerichtete Strecke. Die gesamte Verschiebung ließe sich dennoch durch einen Pfeil vom Anfangs- zum Endpunkt darstellen.
2. **Form** : Auch die geknickte Linie beschreibt einen Weg aus mehreren Teilstrecken. Ein einzelner Vektorpfeil würde den Anfangspunkt direkt mit dem Endpunkt verbinden.
3. **Form** : Die Strecke trägt an beiden Enden eine Pfeilspitze und legt deshalb keine eindeutige Orientierung fest. Ein einzelner Vektor braucht genau einen Anfangs- und einen Endpunkt.

Die übliche Pfeildarstellung eines einzelnen Vektors hat deshalb diese Eigenschaften:

- Sie besteht aus genau einer geraden Strecke
- Eine Pfeilspitze zeigt ihre Richtung an
- Anfangs- und Endpunkt sind eindeutig festgelegt