# Ortsvektor > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/vektoren-und-operationen/ortsvektoren Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/vector-operations/position-vector/de.mdx Lerne, wie Ortsvektoren Punkte vom Ursprung aus festlegen, wie sie mit Verschiebungen zusammenhängen und wie sie in Koordinatensystemen dargestellt werden. --- ## Definition des Ortsvektors Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung $$O$$ eines Koordinatensystems und endet an einem anderen Punkt. Er beschreibt damit eindeutig die Lage dieses Punktes im gewählten Koordinatensystem. Visible text: Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung eines Koordinatensystems und endet an einem anderen Punkt. Er beschreibt damit eindeutig die Lage dieses Punktes im gewählten Koordinatensystem. Component: Vector3d Props: - title: Ortsvektoren in der Koordinatenebene - description: Beispiele für Ortsvektoren vom Ursprung $$O$$ zu den Punkten{" "} $$A$$ und $$B$$. Visible text: Beispiele für Ortsvektoren vom Ursprung zu den Punkten und . - vectors: [ { from: [0, 0, 0], to: [-3, 2, 0], color: "#db2777", label: $$OA$$, labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [7, 5, 0], color: "#7c3aed", label: $$OB$$, labelPosition: "end", }, ] Visible text: [ { from: [0, 0, 0], to: [-3, 2, 0], color: "#db2777", label: , labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [7, 5, 0], color: "#7c3aed", label: , labelPosition: "end", }, ] - cameraPosition: [10, 6, 10] ### Eigenschaften von Ortsvektoren Jeder Ortsvektor hat die folgenden Eigenschaften: - Beginnt immer im Ursprung $$O$$ des Koordinatensystems - Endet an einem bestimmten Punkt im Koordinatensystem - Hat dieselben Koordinaten wie sein Endpunkt Visible text: - Beginnt immer im Ursprung des Koordinatensystems - Endet an einem bestimmten Punkt im Koordinatensystem - Hat dieselben Koordinaten wie sein Endpunkt ## Ortsvektoren darstellen Liegt ein Punkt $$P$$ mit den Koordinaten $$(x, y)$$ in einer Ebene, dann lautet sein Ortsvektor vom Ursprung $$O$$ zum Punkt $$P$$: $$\overrightarrow{OP} = (x, y)$$. Visible text: Liegt ein Punkt mit den Koordinaten in einer Ebene, dann lautet sein Ortsvektor vom Ursprung zum Punkt : . Hat der Punkt $$P$$ im dreidimensionalen Raum die Koordinaten $$(x, y, z)$$, dann ist sein Ortsvektor $$\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$$. Visible text: Hat der Punkt im dreidimensionalen Raum die Koordinaten , dann ist sein Ortsvektor . In der folgenden Darstellung bezeichnen $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ und $$OD$$ die Ortsvektoren vom Ursprung $$O$$ zu den Punkten $$A$$, $$B$$, $$C$$ und $$D$$. Visible text: In der folgenden Darstellung bezeichnen , , und die Ortsvektoren vom Ursprung zu den Punkten , , und . Component: Vector3d Props: - title: Ortsvektoren im dreidimensionalen Raum - description: Vier Ortsvektoren zeigen vom Ursprung zu verschiedenen Punkten im dreidimensionalen Raum. - vectors: [ { from: [0, 0, 0], to: [4, 0, 0], color: "#e11d48", label: $$OA$$, labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [0, 4, 0], color: "#16a34a", label: $$OB$$, labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [0, 0, 4], color: "#2563eb", label: $$OC$$, labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [3, 3, 3], color: "#ca8a04", label: $$OD$$, labelPosition: "end", }, ] Visible text: [ { from: [0, 0, 0], to: [4, 0, 0], color: "#e11d48", label: , labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [0, 4, 0], color: "#16a34a", label: , labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [0, 0, 4], color: "#2563eb", label: , labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [3, 3, 3], color: "#ca8a04", label: , labelPosition: "end", }, ] - cameraPosition: [6, 8, 8] ## Beispiele für Ortsvektoren In der Koordinatenebene liegen die Punkte $$A$$ und $$B$$: Visible text: In der Koordinatenebene liegen die Punkte und : - Punkt $$A$$ mit Koordinaten $$(-3, 2)$$ - Punkt $$B$$ mit Koordinaten $$(7, 5)$$ Visible text: - Punkt mit Koordinaten - Punkt mit Koordinaten Ihre Ortsvektoren lauten: - $$\overrightarrow{OA} = (-3, 2)$$ - $$\overrightarrow{OB} = (7, 5)$$ Visible text: - - ## Wozu Ortsvektoren dienen Ortsvektoren helfen in Mathematik und Anwendungen bei mehreren Aufgaben: 1. Die Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem festlegen 2. Andere Vektoren wie Verschiebungsvektoren berechnen 3. Aufgaben zu Positionen und Ortsänderungen übersichtlich lösen 4. Einen Ort relativ zu einem gewählten Koordinatenursprung darstellen, auch wenn die Koordinaten aus einem Navigationssystem wie GPS stammen ## Zusammenhang mit Verschiebungsvektoren Der Verschiebungsvektor ergibt sich aus der Differenz zweier Ortsvektoren. Sind $$\overrightarrow{OA}$$ und $$\overrightarrow{OB}$$ gegeben, dann ist der Verschiebungsvektor von $$A$$ nach $$B$$: Visible text: Der Verschiebungsvektor ergibt sich aus der Differenz zweier Ortsvektoren. Sind und gegeben, dann ist der Verschiebungsvektor von nach : ```math \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ``` Component: ContentBlock Children: Component: Vector3d Props: - title: Zusammenhang zwischen Ortsvektoren und Verschiebung - description: Der Verschiebungsvektor $$AB$$ ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren $$OB$$ und{" "} $$OA$$. Visible text: Der Verschiebungsvektor ergibt sich aus der Differenz der Ortsvektoren und . - vectors: [ { from: [0, 0, 0], to: [-3, 2, 0], color: "#db2777", label: $$OA$$, labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [7, 5, 0], color: "#7c3aed", label: $$OB$$, labelPosition: "end", }, { from: [-3, 2, 0], to: [7, 5, 0], color: "#0d9488", label: $$AB$$, labelPosition: "middle", }, ] Visible text: [ { from: [0, 0, 0], to: [-3, 2, 0], color: "#db2777", label: , labelPosition: "end", }, { from: [0, 0, 0], to: [7, 5, 0], color: "#7c3aed", label: , labelPosition: "end", }, { from: [-3, 2, 0], to: [7, 5, 0], color: "#0d9488", label: , labelPosition: "middle", }, ] - cameraPosition: [10, 6, 10] Für das vorherige Beispiel ergibt sich der Verschiebungsvektor von $$A$$ nach $$B$$ so: Visible text: Für das vorherige Beispiel ergibt sich der Verschiebungsvektor von nach so: ```math \begin{align} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\ &= (7, 5) - (-3, 2) \\ &= (7-(-3), 5-2) \\ &= (10, 3) \end{align} ``` Um vom Punkt $$A$$ zum Punkt $$B$$ zu gelangen, bewegen wir uns $$10 \text{ Einheiten}$$ nach rechts und $$3 \text{ Einheiten}$$ nach oben. Visible text: Um vom Punkt zum Punkt zu gelangen, bewegen wir uns nach rechts und nach oben.