# Skalarmultiplikation von Vektoren > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/vektoren-und-operationen/skalare-multiplikation Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/vector-operations/scalar-multiplication/de.mdx Lerne, wie die Skalarmultiplikation Betrag und Richtung eines Vektors verändert, und wende sie in Rechnungen, Physik und Geometrie an. --- ## Definition der Skalarmultiplikation von Vektoren Bei der Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl, der Skalar, mit einem Vektor $$\vec{v}$$ multipliziert. Der Betrag des neuen Vektors wird mit dem Betrag des Skalars vervielfacht. Ist der ursprüngliche Vektor nicht null, bestimmt das Vorzeichen des Skalars, ob die Richtung gleich bleibt oder sich umkehrt. Visible text: Bei der Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl, der Skalar, mit einem Vektor multipliziert. Der Betrag des neuen Vektors wird mit dem Betrag des Skalars vervielfacht. Ist der ursprüngliche Vektor nicht null, bestimmt das Vorzeichen des Skalars, ob die Richtung gleich bleibt oder sich umkehrt. Ist $$k$$ ein reeller Skalar und $$\vec{v}$$ ein Vektor, schreiben wir die Skalarmultiplikation als $$k \cdot \vec{v}$$. Visible text: Ist ein reeller Skalar und ein Vektor, schreiben wir die Skalarmultiplikation als . ## Eigenschaften der Skalarmultiplikation von Vektoren Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat mehrere wichtige Eigenschaften: 1. Wenn $$k > 0$$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung. 2. Wenn $$k < 0$$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung. 3. Wenn $$k = 0$$, dann ist der resultierende Vektor ein Nullvektor. 4. Der Betrag des Ergebnisvektors entsteht, indem der ursprüngliche Betrag mit $$|k|$$ multipliziert wird. Visible text: 1. Wenn und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung. 2. Wenn und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung. 3. Wenn , dann ist der resultierende Vektor ein Nullvektor. 4. Der Betrag des Ergebnisvektors entsteht, indem der ursprüngliche Betrag mit multipliziert wird. ## Darstellung der Skalarmultiplikation von Vektoren ### Geometrisch Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor $$|k|$$. Für einen Vektor ungleich null hängt die Richtung vom Vorzeichen von $$k$$ ab: Visible text: Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor . Für einen Vektor ungleich null hängt die Richtung vom Vorzeichen von ab: - Wenn $$k > 0$$, bleibt die Richtung des Vektors unverändert - Wenn $$k < 0$$, ist die Richtung des Vektors entgegengesetzt zum ursprünglichen Vektor Visible text: - Wenn , bleibt die Richtung des Vektors unverändert - Wenn , ist die Richtung des Vektors entgegengesetzt zum ursprünglichen Vektor In beiden Fällen und auch für $$k=0$$ gilt für den Betrag: Visible text: In beiden Fällen und auch für gilt für den Betrag: ```math |k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}| ``` ### Algebraisch Wenn $$\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$$ ein Vektor im $$3$$-dimensionalen Raum ist, dann: Visible text: Wenn ein Vektor im -dimensionalen Raum ist, dann: Component: MathContainer Children: ```math k \cdot \vec{v} = k(v_1, v_2, v_3) = (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3) ``` In Einheitsvektornotation: Component: MathContainer Children: ```math k \cdot \vec{v} = k(v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}) = k \cdot v_1\vec{i} + k \cdot v_2\vec{j} + k \cdot v_3\vec{k} ``` ## Beispiele für die Skalarmultiplikation von Vektoren ### Erstes Beispiel Gegeben ist der Vektor $$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$$. Bestimme das Ergebnis der Multiplikation $$2\vec{a}$$. Visible text: Gegeben ist der Vektor . Bestimme das Ergebnis der Multiplikation . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math 2\vec{a} = 2(2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}) ``` ```math = 4\vec{i} + 6\vec{j} + 10\vec{k} ``` ### Zweites Beispiel Gegeben ist der Vektor $$\vec{v} = (4, -2, 3)$$. Bestimme das Ergebnis von $$-3\vec{v}$$. Visible text: Gegeben ist der Vektor . Bestimme das Ergebnis von . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math -3\vec{v} = -3(4, -2, 3) ``` ```math = (-12, 6, -9) ``` Weil der Skalar negativ ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung. ## Anwendungen der Skalarmultiplikation von Vektoren Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat viele Anwendungen in der Physik und Mathematik, wie zum Beispiel: 1. **Kraft und Beschleunigung**: Wenn ein Objekt mit der Masse $$m$$ eine Beschleunigung $$\vec{a}$$ erfährt, dann beträgt die auf das Objekt wirkende Kraft $$\vec{F} = m\vec{a}$$. 2. **Geschwindigkeit**: Bewegt sich ein Körper während der Zeit $$t$$ mit der konstanten Geschwindigkeit $$\vec{v}$$, dann ist seine Verschiebung $$\vec{s} = t\vec{v}$$. 3. **Skalierung in Computergrafiken**: Werden alle Ortsvektoren mit $$k$$ multipliziert, wird das Objekt um den Koordinatenursprung skaliert. Für eine Skalierung um ein anderes Zentrum $$\vec{c}$$ muss jeder Punkt $$\vec{p}$$ verschoben, skaliert und zurückverschoben werden: . Visible text: 1. **Kraft und Beschleunigung**: Wenn ein Objekt mit der Masse eine Beschleunigung erfährt, dann beträgt die auf das Objekt wirkende Kraft . 2. **Geschwindigkeit**: Bewegt sich ein Körper während der Zeit mit der konstanten Geschwindigkeit , dann ist seine Verschiebung . 3. **Skalierung in Computergrafiken**: Werden alle Ortsvektoren mit multipliziert, wird das Objekt um den Koordinatenursprung skaliert. Für eine Skalierung um ein anderes Zentrum muss jeder Punkt verschoben, skaliert und zurückverschoben werden: . ## Übungsaufgaben 1. Gegeben ist der Vektor $$\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$$. Bestimme $$-2\vec{a}$$. 2. Gegeben sind die Vektoren $$\vec{u} = (2, -5, 1)$$ und $$\vec{v} = (-4, 3, 6)$$. Bestimme den Vektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$. 3. Gegeben ist $$|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$$. Wenn $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ und $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$, zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben. 4. Der Vektor $$\vec{p}$$ hat den Betrag $$5 \text{ Einheiten}$$, und es gilt $$\vec{q} = 3\vec{p}$$. Bestimme den Betrag von $$\vec{q}$$. 5. Die Punkte $$A(2, 3, -1)$$ und $$B(5, -2, 4)$$ sind gegeben. Der Punkt $$C$$ liegt auf der Geraden durch $$A$$ und $$B$$, wobei $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$ gilt. Bestimme die Koordinaten von $$C$$. Visible text: 1. Gegeben ist der Vektor . Bestimme . 2. Gegeben sind die Vektoren und . Bestimme den Vektor . 3. Gegeben ist . Wenn und , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben. 4. Der Vektor hat den Betrag , und es gilt . Bestimme den Betrag von . 5. Die Punkte und sind gegeben. Der Punkt liegt auf der Geraden durch und , wobei gilt. Bestimme die Koordinaten von . ## Lösungen ### Erstes Problem Gegeben ist der Vektor $$\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$$. Bestimme $$-2\vec{a}$$. Visible text: Gegeben ist der Vektor . Bestimme . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math -2\vec{a} = -2(3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}) ``` ```math = -6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k} ``` Damit ist $$-2\vec{a}$$ gleich $$-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$$. Visible text: Damit ist gleich . ### Zweites Problem Gegeben sind die Vektoren $$\vec{u} = (2, -5, 1)$$ und $$\vec{v} = (-4, 3, 6)$$. Bestimme den Vektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$. Visible text: Gegeben sind die Vektoren und . Bestimme den Vektor . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math 2\vec{u} = 2(2, -5, 1) = (4, -10, 2) ``` ```math 3\vec{v} = 3(-4, 3, 6) = (-12, 9, 18) ``` ```math 2\vec{u} - 3\vec{v} = (4, -10, 2) - (-12, 9, 18) ``` ```math = (4 - (-12), -10 - 9, 2 - 18) ``` ```math = (4 + 12, -10 - 9, 2 - 18) ``` ```math = (16, -19, -16) ``` Der Ergebnisvektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$ hat also die Komponenten $$(16, -19, -16)$$ oder lautet in Einheitsvektorschreibweise $$16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k}$$. Visible text: Der Ergebnisvektor hat also die Komponenten oder lautet in Einheitsvektorschreibweise . ### Drittes Problem Gegeben ist $$|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$$. Wenn $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ und $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$, zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben. Visible text: Gegeben ist . Wenn und , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben. **Lösung:** Es genügt zu zeigen, dass beide Teilvektoren positive skalare Vielfache desselben Referenzvektors sind. Wir wissen: - $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ - $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$ Visible text: - - Zunächst prüfen wir $$\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$$: Visible text: Zunächst prüfen wir : Component: MathContainer Children: ```math \overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} + 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} ``` ```math = (0{,}65 + 0{,}35) \cdot \overrightarrow{BR} ``` ```math = 1 \cdot \overrightarrow{BR} ``` ```math = \overrightarrow{BR} ``` Damit gilt $$\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$$, passend zur Vektoraddition entlang der kollinearen Punkte $$B$$, $$U$$ und $$R$$. Visible text: Damit gilt , passend zur Vektoraddition entlang der kollinearen Punkte , und . In $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ und $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$ sind die Faktoren $$0{,}65$$ und $$0{,}35$$ positiv. Deshalb zeigen beide Vektoren in dieselbe Richtung wie der Referenzvektor $$\overrightarrow{BR}$$. Visible text: In und sind die Faktoren und positiv. Deshalb zeigen beide Vektoren in dieselbe Richtung wie der Referenzvektor . Damit haben $$\overrightarrow{BR}$$, $$\overrightarrow{BU}$$ und $$\overrightarrow{UR}$$ dieselbe Richtung. Visible text: Damit haben , und dieselbe Richtung. ### Viertes Problem Der Vektor $$\vec{p}$$ hat den Betrag $$5 \text{ Einheiten}$$, und es gilt $$\vec{q} = 3\vec{p}$$. Bestimme den Betrag von $$\vec{q}$$. Visible text: Der Vektor hat den Betrag , und es gilt . Bestimme den Betrag von . **Lösung:** Gegeben sind $$|\vec{p}| = 5 \text{Einheiten}$$ und $$\vec{q} = 3\vec{p}$$. Visible text: **Lösung:** Gegeben sind und . Für den Betrag von $$\vec{q}$$ verwenden wir die Betragsregel der Skalarmultiplikation: Visible text: Für den Betrag von verwenden wir die Betragsregel der Skalarmultiplikation: Component: MathContainer Children: ```math |\vec{q}| = |3\vec{p}| ``` ```math = |3| \cdot |\vec{p}| ``` ```math = 3 \cdot 5 ``` ```math = 15 ``` Der Betrag von $$\vec{q}$$ ist somit $$15 \text{ Einheiten}$$. Visible text: Der Betrag von ist somit . ### Fünftes Problem Die Punkte $$A(2, 3, -1)$$ und $$B(5, -2, 4)$$ sind gegeben. Der Punkt $$C$$ liegt auf der Geraden durch $$A$$ und $$B$$, wobei $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$ gilt. Bestimme die Koordinaten von $$C$$. Visible text: Die Punkte und sind gegeben. Der Punkt liegt auf der Geraden durch und , wobei gilt. Bestimme die Koordinaten von . **Lösung:** Zuerst bestimmen wir den Vektor $$\overrightarrow{AB}$$: Visible text: **Lösung:** Zuerst bestimmen wir den Vektor : Component: MathContainer Children: ```math \overrightarrow{AB} = B - A ``` ```math = (5, -2, 4) - (2, 3, -1) ``` ```math = (5-2, -2-3, 4-(-1)) ``` ```math = (3, -5, 5) ``` Dann verwenden wir die Beziehung $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$, um den Vektor $$\overrightarrow{AC}$$ zu bestimmen: Visible text: Dann verwenden wir die Beziehung , um den Vektor zu bestimmen: Component: MathContainer Children: ```math \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} ``` ```math = 2(3, -5, 5) ``` ```math = (6, -10, 10) ``` Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes $$C$$: Visible text: Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes : Component: MathContainer Children: ```math \overrightarrow{AC} = C - A ``` ```math (6, -10, 10) = C - (2, 3, -1) ``` ```math C = (6, -10, 10) + (2, 3, -1) ``` ```math C = (6+2, -10+3, 10+(-1)) ``` ```math C = (8, -7, 9) ``` Damit hat der Punkt $$C$$ die Koordinaten $$C(8, -7, 9)$$. Visible text: Damit hat der Punkt die Koordinaten .