# Spalten- und Zeilenvektoren

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Lerne die Schreibweisen von Spalten- und Zeilenvektoren, das Transponieren und die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem kennen.

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## Spalten- und Zeilenvektoren

Ein Vektor besitzt einen Betrag und eine Richtung. In Koordinatenrechnungen ordnen wir seine Komponenten meist als **Spaltenvektor** oder als **Zeilenvektor** an. Das sind Komponentendarstellungen und nicht die einzigen Möglichkeiten, einen Vektor zu zeichnen oder zu schreiben.

Bei einem **Spaltenvektor** stehen die Komponenten untereinander. Bei einem **Zeilenvektor** stehen sie nebeneinander.

## Notation von Spalten- und Zeilenvektoren

So sehen beide Schreibweisen aus:

1. Für zweidimensionale Vektoren:

   - Zeilenvektor: $$(3 \; 4)$$ oder $$[3 \; 4]$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$ oder $$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

2. Für dreidimensionale Vektoren:
   - Zeilenvektor: $$(2 \; 1 \; 3)$$ oder $$[2 \; 1 \; 3]$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ oder $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

Visible text: 1. Für zweidimensionale Vektoren:

 - Zeilenvektor: oder 
 - Spaltenvektor: oder 

2. Für dreidimensionale Vektoren:
 - Zeilenvektor: oder 
 - Spaltenvektor: oder

## Gleichwertige Komponentendarstellungen

Ein Vektor mit denselben Komponenten lässt sich auf mehrere nützliche Arten darstellen:

1. Mit runden Klammern:

   
   
   ```math
   \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}
   ```

2. Mit eckigen Klammern:

   
   
   ```math
   \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}
   ```

3. Mit kartesischen Einheitsvektoren:

   
   
   ```math
   2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}
   ```

Visible text: 1. Mit runden Klammern:

 
 

2. Mit eckigen Klammern:

 
 

3. Mit kartesischen Einheitsvektoren:

Alle drei Ausdrücke beschreiben denselben Vektor. Die ersten beiden stellen seine Komponenten als Spalte dar. Der dritte Ausdruck zerlegt den Vektor in die kartesischen Einheitsvektoren. Die Bedeutung senkrechter Striche ergibt sich aus dem Kontext: $$\det A$$ oder $$|A|$$ kann die Determinante einer quadratischen Matrix bezeichnen, $$|x|$$ den Betrag eines Skalars und $$\lVert \vec{v} \rVert$$ den Betrag, also die Norm, eines Vektors.

Visible text: Alle drei Ausdrücke beschreiben denselben Vektor. Die ersten beiden stellen seine Komponenten als Spalte dar. Der dritte Ausdruck zerlegt den Vektor in die kartesischen Einheitsvektoren. Die Bedeutung senkrechter Striche ergibt sich aus dem Kontext: oder kann die Determinante einer quadratischen Matrix bezeichnen, den Betrag eines Skalars und den Betrag, also die Norm, eines Vektors.

## Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $$1 \text{ Einheit}$$ und zeigt in eine bestimmte Richtung. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es für jede Achse einen solchen Basisvektor.

Visible text: Ein Einheitsvektor hat den Betrag und zeigt in eine bestimmte Richtung. Im kartesischen Koordinatensystem gibt es für jede Achse einen solchen Basisvektor.

### Einheitsvektoren im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem

1. Einheitsvektor in horizontaler Richtung, also entlang der $$x$$-Achse:

   - Zeilenvektor: $$(1 \; 0)$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

2. Einheitsvektor in vertikaler Richtung, also entlang der $$y$$-Achse:
   - Zeilenvektor: $$(0 \; 1)$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Visible text: 1. Einheitsvektor in horizontaler Richtung, also entlang der -Achse:

 - Zeilenvektor: 
 - Spaltenvektor: 

2. Einheitsvektor in vertikaler Richtung, also entlang der -Achse:
 - Zeilenvektor: 
 - Spaltenvektor:

### Einheitsvektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem

1. Einheitsvektor entlang der $$x$$-Achse:

   - Zeilenvektor: $$(1 \; 0 \; 0)$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

2. Einheitsvektor entlang der $$y$$-Achse:

   - Zeilenvektor: $$(0 \; 1 \; 0)$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

3. Einheitsvektor entlang der $$z$$-Achse:
   - Zeilenvektor: $$(0 \; 0 \; 1)$$
   - Spaltenvektor: $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Visible text: 1. Einheitsvektor entlang der -Achse:

 - Zeilenvektor: 
 - Spaltenvektor: 

2. Einheitsvektor entlang der -Achse:

 - Zeilenvektor: 
 - Spaltenvektor: 

3. Einheitsvektor entlang der -Achse:
 - Zeilenvektor: 
 - Spaltenvektor:

## Beziehung zwischen Spalten- und Zeilenvektoren

Spalten- und Zeilenvektoren hängen über das **Transponieren** zusammen. Dabei wird aus einer Zeile eine Spalte oder aus einer Spalte eine Zeile.

Ist $$\vec{a} = (a_1 \; a_2 \; \ldots \; a_n)$$ ein Zeilenvektor, dann ist seine Transponierte ein Spaltenvektor:

Visible text: Ist ein Zeilenvektor, dann ist seine Transponierte ein Spaltenvektor:

```math
\vec{a}^T = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}
```

Ist umgekehrt $$\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$ ein Spaltenvektor, dann ist seine Transponierte ein Zeilenvektor:

Visible text: Ist umgekehrt ein Spaltenvektor, dann ist seine Transponierte ein Zeilenvektor:

```math
\vec{b}^T = (b_1 \; b_2 \; \ldots \; b_m)
```

## Anwendungen von Spalten- und Zeilenvektoren

Die Unterscheidung ist besonders bei Operationen der linearen Algebra wichtig, etwa bei der Matrixmultiplikation. In der Vektorrechnung, der Physik und anderen wissenschaftlichen Anwendungen muss die gewählte Form zur jeweiligen Rechnung passen.

In der Informatik stellen Spalten- und Zeilenvektoren zum Beispiel Daten und Variablen in der numerischen Programmierung, der Bildverarbeitung und der künstlichen Intelligenz dar.