# Vektoraddition

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Lerne die Vektoraddition mit Dreiecks-, Parallelogramm-, Polygon- und Komponentenverfahren und deute Resultierende in physikalischen Situationen.

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## Grundlegende Konzepte der Vektoraddition

Bei der Addition von Skalaren spielt nur ihr Zahlenwert eine Rolle. So ergeben $$2 \text{ kg}$$ Zucker und $$3 \text{ kg}$$ Zucker zusammen $$5 \text{ kg}$$ Zucker. Bei Vektoren müssen wir dagegen Betrag und Richtung berücksichtigen.

Visible text: Bei der Addition von Skalaren spielt nur ihr Zahlenwert eine Rolle. So ergeben Zucker und Zucker zusammen Zucker. Bei Vektoren müssen wir dagegen Betrag und Richtung berücksichtigen.

Geht jemand zum Beispiel $$2 \text{ m}$$ nach Osten und anschließend $$3 \text{ m}$$ nach Westen, entsteht eine andere Verschiebung als bei $$2 \text{ m}$$ nach Osten und weiteren $$3 \text{ m}$$ nach Osten. Das Ergebnis einer Vektoraddition heißt **resultierender Vektor** oder kurz **Resultierende**.

Visible text: Geht jemand zum Beispiel nach Osten und anschließend nach Westen, entsteht eine andere Verschiebung als bei nach Osten und weiteren nach Osten. Das Ergebnis einer Vektoraddition heißt **resultierender Vektor** oder kurz **Resultierende**.

## Vektoraddition mit der Dreiecksmethode

Bei der Dreiecksmethode werden die Vektorpfeile hintereinander angeordnet:

1. Zeichne den ersten Vektor $$\vec{a}$$
2. Verschiebe den zweiten Vektor $$\vec{b}$$ parallel, bis sein Anfangspunkt an der Spitze des ersten liegt
3. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten

Visible text: 1. Zeichne den ersten Vektor 
2. Verschiebe den zweiten Vektor parallel, bis sein Anfangspunkt an der Spitze des ersten liegt
3. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten

Component: ContentBlock
Children:
Component: Vector3d
Props:
- title: Vektoraddition mit der Dreiecksmethode
- description: Dreiecksmethode zur Addition der Vektoren $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$.
  Visible text: Dreiecksmethode zur Addition der Vektoren und .
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor $$a$$</>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [4, 1, 0],
to: [6, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor $$b$$</>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [6, 4, 0],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor $$a+b$$</>,
labelPosition: "end",
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [4, 1, 0],
to: [6, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [6, 4, 0],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
]

Für die aufeinanderfolgenden Vektoren $$\overrightarrow{AB}$$ und $$\overrightarrow{BC}$$ gilt:

Visible text: Für die aufeinanderfolgenden Vektoren und gilt:

```math
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}
```

Die Vektoraddition ist kommutativ:

```math
\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
```

## Vektoraddition mit der Parallelogrammmethode

Beim Parallelogrammverfahren beginnen beide Vektoren am selben Punkt:

1. Zeichne beide Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt
2. Ergänze die beiden Vektoren zu einem Parallelogramm
3. Die vom gemeinsamen Anfangspunkt ausgehende Diagonale ist die Resultierende

Component: ContentBlock
Children:
Component: Vector3d
Props:
- title: Vektoraddition mit der Parallelogrammmethode
- description: Parallelogrammverfahren zur Addition der Vektoren $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$.
  Visible text: Parallelogrammverfahren zur Addition der Vektoren und .
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [5, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor $$a$$</>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 5, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor $$b$$</>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [5, 1, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor $$b$$</>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [2, 5, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor $$a$$</>,
labelPosition: "start",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#65a30d",
label: $$a+b=b+a$$,
labelPosition: "end",
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [5, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 5, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [5, 1, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [2, 5, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "start",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [7, 6, 0],
color: "#65a30d",
label: ,
labelPosition: "end",
},
]
- cameraPosition: [12, 8, 12]

Die gemeinsame Diagonale zeigt auch die **Kommutativität**: Die Reihenfolge der beiden Summanden ändert das Ergebnis nicht.

## Addition mit der Polygonmethode

Mit dem Polygonverfahren lassen sich mehr als zwei Vektoren addieren. Dabei beginnt jeder neue Vektor an der Spitze des vorherigen. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten mit der Spitze des letzten Vektors.

Component: Vector3d
Props:
- title: Drei Vektoren mit dem Polygonverfahren addieren
- description: Addition der Vektoren $$a + b + c$$ mit dem
Polygonverfahren.
  Visible text: Addition der Vektoren mit dem
Polygonverfahren.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor $$a$$</>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [5, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor $$b$$</>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [5, 4, 0],
to: [7, 3, 2],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor $$c$$</>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [7, 3, 2],
color: "#ea580c",
label: <>Vektor $$a+b+c$$</>,
labelPosition: "end",
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [5, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [5, 4, 0],
to: [7, 3, 2],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [7, 3, 2],
color: "#ea580c",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
]
- cameraPosition: [12, 8, 12]

Die Vektoraddition ist außerdem assoziativ:

```math
\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C}
```

Auch das Parallelogrammverfahren kann schrittweise auf drei Vektoren angewendet werden:

1. Addiere zuerst zwei Vektoren zur Zwischenresultierenden $$R_1$$
2. Addiere $$R_1$$ und den dritten Vektor zur endgültigen Resultierenden $$R_2$$

Visible text: 1. Addiere zuerst zwei Vektoren zur Zwischenresultierenden 
2. Addiere und den dritten Vektor zur endgültigen Resultierenden

Component: ContentBlock
Children:
Component: Vector3d
Props:
- title: Assoziative Eigenschaft der Vektoraddition
- description: $$A + (B + C) = (A + B) + C$$
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: $$A$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 3, 0],
color: "#0d9488",
label: $$B$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 1, 3],
color: "#65a30d",
label: $$C$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [1, 3, 0],
to: [1, 4, 3],
color: "#65a30d",
label: $$C$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 4, 3],
color: "#ea580c",
label: $$B+C$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 4, 0],
color: "#7c3aed",
label: $$A+B$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [4, 4, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#65a30d",
label: $$C$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#ea580c",
label: $$B+C$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#db2777",
label: $$A+(B+C)=(A+B)+C$$,
labelPosition: "end",
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 1, 0],
color: "#e11d48",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 3, 0],
color: "#0d9488",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 1, 3],
color: "#65a30d",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [1, 3, 0],
to: [1, 4, 3],
color: "#65a30d",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 4, 3],
color: "#ea580c",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 4, 0],
color: "#7c3aed",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [4, 4, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#65a30d",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [3, 1, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#ea580c",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 5, 3],
color: "#db2777",
label: ,
labelPosition: "end",
},
]
- cameraPosition: [10, 7, 10]

## Vektoraddition mit Komponenten

Neben den grafischen Verfahren können wir Vektoren komponentenweise addieren. In einem Koordinatensystem wird dabei jede Achsenkomponente getrennt verrechnet.

Component: Vector3d
Props:
- title: Vektoraddition mit Komponenten
- description: Vektorkomponenten auf der $$x$$-, $$y$$-
und $$z$$-Achse.
  Visible text: Vektorkomponenten auf der -, -
und -Achse.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor $$a$$</>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 0, 0],
color: "#0d9488",
label: $$a_x$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 2, 0],
color: "#65a30d",
label: $$a_y$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 0, 1],
color: "#ea580c",
label: $$a_z$$,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 4, 2],
color: "#db2777",
label: <>Vektor $$b$$</>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [5, 6, 3],
color: "#c026d3",
label: $$a+b$$,
labelPosition: "end",
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#e11d48",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 0, 0],
color: "#0d9488",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 2, 0],
color: "#65a30d",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 0, 1],
color: "#ea580c",
label: ,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 4, 2],
color: "#db2777",
label: <>Vektor </>,
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [5, 6, 3],
color: "#c026d3",
label: ,
labelPosition: "end",
},
]
- cameraPosition: [9, 8, 9]

Für $$\vec{a} = (a_x, a_y)$$ und $$\vec{b} = (b_x, b_y)$$ gilt:

Visible text: Für und gilt:

```math
\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)
```

Beispiel:

```math
\vec{a} + \vec{b} = (-3, 3) + (4, 2) = (1, 5)
```

Die komponentenweise Rechnung liefert dieselbe Resultierende wie die grafischen Verfahren.

## Anwendung: Ein Boot überquert einen Fluss

Beim Überqueren eines Flusses überlagern sich die Fahrt des Bootes und die Strömung:

1. Ist die Strömungsgeschwindigkeit null, entspricht die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser
2. Ist die Strömungsgeschwindigkeit nicht null, ist die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer die Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser und der Strömungsgeschwindigkeit. Ob sich Richtung, Betrag oder beides ändern, hängt von der Strömungsrichtung ab

Component: ContentBlock
Children:
Component: Vector3d
Props:
- title: Anwendung der Vektoraddition: Boot überquert einen Fluss
- description: Resultierende aus Bootsgeschwindigkeitsvektor und Flussströmungsvektor.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: "Bootsgeschwindigkeit",
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 0, 0],
color: "#65a30d",
label: "Flussströmung",
labelPosition: "end",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 4, 0],
color: "#e11d48",
label: "resultierende Bewegung",
labelPosition: "end",
},
]
- cameraPosition: [8, 6, 8]

Die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer ist die Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser und der Strömung relativ zum Ufer. Auch die Verschiebungen einer Reise lassen sich addieren, um die Gesamtverschiebung zu erhalten. Diese Resultierende liefert jedoch weder die Länge der zurückgelegten Route noch automatisch den kürzesten Weg.

## Unterschied zwischen Skalar- und Vektoraddition

Sowohl die Skalaraddition als auch die Vektoraddition liefern für feste Eingaben genau ein Ergebnis. Skalare besitzen nur einen Zahlenwert, Vektoren zusätzlich eine Richtung. Eine geänderte Richtung ist deshalb eine geänderte Eingabe und kann eine andere Resultierende ergeben.

**Beispiel für Skalaraddition**:

Für Zucker gilt $$3 \text{ kg} + 4 \text{ kg} = 7 \text{ kg}$$.

Visible text: Für Zucker gilt .

**Beispiel für Vektoraddition**:

Für gleichgerichtete Verschiebungen gilt $$3 \text{ m nach Osten} + 4 \text{ m nach Osten} = 7 \text{ m nach Osten}$$. Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt sich $$3 \text{ m nach Osten} + 4 \text{ m nach Westen} = 1 \text{ m nach Westen}$$.

Visible text: Für gleichgerichtete Verschiebungen gilt . Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt sich .

Mit dem Konzept der Vektoraddition können wir verschiedene physikalische Phänomene analysieren, an denen Vektorgrößen wie Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft beteiligt sind.