# Vektoren und Koordinatensystem > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/vektoren-und-operationen/vektoren-im-koordinatensystem Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/vector-operations/vector-coordinate-system/de.mdx Lerne kartesische Koordinaten in zwei und drei Dimensionen kennen und verbinde Punkte, Ortsvektoren, Verschiebungsvektoren und Kartenanwendungen. --- ## Kartesisches Koordinatensystem Um die Position eines Objekts, etwa eines Flugzeugs, anzugeben, müssen wir zuerst einen **Bezugsrahmen** oder ein **Koordinatensystem** festlegen. Ein häufig verwendetes System ist das **kartesische Koordinatensystem**, das nach René Descartes benannt ist. Das kartesische Koordinatensystem verwendet senkrechte Achsen, um die Position eines Punktes zu bestimmen. - In **zwei Dimensionen** verwenden wir die $$x$$-Achse (horizontal) und die $$y$$-Achse (vertikal). Die Position eines Punktes wird als geordnetes Paar $$(x, y)$$ ausgedrückt, zum Beispiel Punkt $$P(3, 4)$$. Das bedeutet, dass der Punkt $$P$$ vom Ursprung $$O(0, 0)$$ aus $$3 \text{ Einheiten}$$ nach rechts in positive $$x$$-Richtung und $$4 \text{ Einheiten}$$ nach oben in positive $$y$$-Richtung liegt. Ortsvektor von $$P(3, 4)$$ } description={ <> Vom Ursprung $$O(0, 0)$$ zum Punkt{" "} $$P(3, 4)$$. } vectors={[ { id: "OP", name: "OP", points: [ { x: 0, y: 0 }, { x: 3, y: 4 }, ], }, ]} /> - In **drei Dimensionen** kommt eine $$z$$-Achse hinzu, die senkrecht auf der $$xy$$-Ebene steht. Die Position eines Punktes wird als $$(x, y, z)$$ angegeben. Damit lässt sich etwa die Lage eines Flugzeugs im dreidimensionalen Raum beschreiben. In einem häufig verwendeten räumlichen Modell können $$x$$, $$y$$ und $$z$$ Länge, Breite und Höhe darstellen. Diese Bedeutung folgt aus dem gewählten Modell, nicht aus den Namen der Achsen selbst. Ortsvektor von $$P(3, 4, 5)$$ } description={ <> Vom Ursprung $$O(0, 0, 0)$$ zum Punkt{" "} $$P(3, 4, 5)$$. } vectors={[ { from: [0, 0, 0], to: [3, 4, 5], color: "#9333ea", label: $$P(3, 4, 5)$$, }, ]} /> Visible text: - In **zwei Dimensionen** verwenden wir die -Achse (horizontal) und die -Achse (vertikal). Die Position eines Punktes wird als geordnetes Paar ausgedrückt, zum Beispiel Punkt . Das bedeutet, dass der Punkt vom Ursprung aus nach rechts in positive -Richtung und nach oben in positive -Richtung liegt. Ortsvektor von } description={ <> Vom Ursprung zum Punkt . } vectors={[ { id: "OP", name: "OP", points: [ { x: 0, y: 0 }, { x: 3, y: 4 }, ], }, ]} /> - In **drei Dimensionen** kommt eine -Achse hinzu, die senkrecht auf der -Ebene steht. Die Position eines Punktes wird als angegeben. Damit lässt sich etwa die Lage eines Flugzeugs im dreidimensionalen Raum beschreiben. In einem häufig verwendeten räumlichen Modell können , und Länge, Breite und Höhe darstellen. Diese Bedeutung folgt aus dem gewählten Modell, nicht aus den Namen der Achsen selbst. Ortsvektor von } description={ <> Vom Ursprung zum Punkt . } vectors={[ { from: [0, 0, 0], to: [3, 4, 5], color: "#9333ea", label: , }, ]} /> ## Unterschied zwischen Vektoren und Koordinaten Koordinaten geben die _Position_ eines Punktes in einem Koordinatensystem an. Ein **Vektor** besitzt dagegen einen **Betrag** und eine **Richtung**. Stell dir eine Fliege vor, die vom Punkt $$P(3, 4)$$ zum Punkt $$Q(-2, -8)$$ fliegt. Ihre Verschiebung lässt sich durch einen Vektor darstellen. Visible text: Koordinaten geben die _Position_ eines Punktes in einem Koordinatensystem an. Ein **Vektor** besitzt dagegen einen **Betrag** und eine **Richtung**. Stell dir eine Fliege vor, die vom Punkt zum Punkt fliegt. Ihre Verschiebung lässt sich durch einen Vektor darstellen. - **Ortsvektor:** Ein Vektor vom Ursprung $$O(0, 0)$$ zu einem Punkt $$P(x, y)$$. Den Ortsvektor von $$P$$ schreibt man als $$\overrightarrow{OP}$$. Beispiel: $$\overrightarrow{OP} = (3, 4)$$. - **Verschiebungsvektor:** Ein Vektor, der zwei beliebige Punkte verbindet, zum Beispiel den Punkt $$P(x_P, y_P)$$ mit dem Punkt $$Q(x_Q, y_Q)$$. Diesen Vektor schreibt man als $$\overrightarrow{PQ}$$. Er muss nicht am Ursprung beginnen. Beispiele sind die Verschiebungsvektoren von $$P(3, 4)$$ nach $$Q(-2, -8)$$ und von $$Q(-2, -8)$$ nach $$R(1, 3)$$. Verschiebungsvektoren von $$P$$ nach{" "} $$Q$$ und von $$Q$$ nach{" "} $$R$$ } vectors={[ { id: "QR", name: "QR", points: [ { x: -2, y: -8 }, { x: 1, y: 3 }, ], }, { id: "PQ", name: "PQ", points: [ { x: 3, y: 4 }, { x: -2, y: -8 }, ], }, ]} /> Visible text: - **Ortsvektor:** Ein Vektor vom Ursprung zu einem Punkt . Den Ortsvektor von schreibt man als . Beispiel: . - **Verschiebungsvektor:** Ein Vektor, der zwei beliebige Punkte verbindet, zum Beispiel den Punkt mit dem Punkt . Diesen Vektor schreibt man als . Er muss nicht am Ursprung beginnen. Beispiele sind die Verschiebungsvektoren von nach und von nach . Verschiebungsvektoren von nach und von nach } vectors={[ { id: "QR", name: "QR", points: [ { x: -2, y: -8 }, { x: 1, y: 3 }, ], }, { id: "PQ", name: "PQ", points: [ { x: 3, y: 4 }, { x: -2, y: -8 }, ], }, ]} /> ## Schreibweisen für Vektoren Vektoren können auf verschiedene Arten geschrieben werden: - **Zeilenvektor:** Die Komponenten stehen nebeneinander in runden Klammern. Beispiel: $$\overrightarrow{OP} = (3, 4)$$. - **Spaltenvektor:** Die Komponenten stehen untereinander in eckigen oder großen runden Klammern. Beispiel: $$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$. - **Schreibweise mit Einheitsvektoren in drei Dimensionen:** Dazu verwenden wir die Einheitsvektoren $$\mathbf{i}$$, $$\mathbf{j}$$ und $$\mathbf{k}$$ in Richtung der $$x$$-, $$y$$- und $$z$$-Achse. Beispiel: Der Vektor $$\overrightarrow{AB}$$ kann als $$\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$$ geschrieben werden. Der Vektor $$\overrightarrow{AB}$$ hat also die Komponente $$1$$ in $$x$$-Richtung, $$-3$$ in $$y$$-Richtung und $$-4$$ in $$z$$-Richtung. Visible text: - **Zeilenvektor:** Die Komponenten stehen nebeneinander in runden Klammern. Beispiel: . - **Spaltenvektor:** Die Komponenten stehen untereinander in eckigen oder großen runden Klammern. Beispiel: . - **Schreibweise mit Einheitsvektoren in drei Dimensionen:** Dazu verwenden wir die Einheitsvektoren , und in Richtung der -, - und -Achse. Beispiel: Der Vektor kann als geschrieben werden. Der Vektor hat also die Komponente in -Richtung, in -Richtung und in -Richtung. ## Warum sind Koordinatensysteme wichtig? Stell dir eine Karten-App auf deinem Smartphone vor. Sie verwendet ein Koordinatensystem, um: 1. deinen aktuellen Standort zu bestimmen, 2. dein Ziel zu finden, 3. deine Position mit Straßen und möglichen Routen zu verknüpfen, 4. Wegbeschreibungen zu geben, etwa links abbiegen, rechts abbiegen oder geradeaus fahren. Visible text: 1. deinen aktuellen Standort zu bestimmen, 2. dein Ziel zu finden, 3. deine Position mit Straßen und möglichen Routen zu verknüpfen, 4. Wegbeschreibungen zu geben, etwa links abbiegen, rechts abbiegen oder geradeaus fahren. Koordinaten liefern die Orte. Kartendaten und Routenalgorithmen bestimmen daraus einen passenden Weg. Vektoren helfen anschließend, Änderungen von Position und Richtung zu beschreiben. Derselbe Unterschied gilt für ein Flugzeug: Koordinaten beschreiben seinen Ort, ein Verschiebungsvektor beschreibt die Änderung seiner Position.