# Vektorsubtraktion

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Verstehe die Vektorsubtraktion durch geometrische Konstruktionen, Komponentenrechnungen, Beispiele und Anwendungen auf Verschiebungen.

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## Grundlegendes Konzept der Vektorsubtraktion

Die Vektorsubtraktion liefert die Differenz zweier Vektoren. Wenn wir $$\vec{b}$$ von $$\vec{a}$$ abziehen, erhalten wir den Vektor, den man zu $$\vec{b}$$ addieren muss, um $$\vec{a}$$ zu erhalten.

Visible text: Die Vektorsubtraktion liefert die Differenz zweier Vektoren. Wenn wir von abziehen, erhalten wir den Vektor, den man zu addieren muss, um zu erhalten.

Mathematisch ist die Subtraktion so definiert:

```math
\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})
```

Mit anderen Worten: $$\vec{b}$$ von $$\vec{a}$$ abzuziehen ist dasselbe, wie $$\vec{a}$$ mit dem Gegenvektor von $$\vec{b}$$ zu addieren.

Visible text: Mit anderen Worten: von abzuziehen ist dasselbe, wie mit dem Gegenvektor von zu addieren.

## Geometrische Vektorsubtraktion

Die folgenden vier Schritte zeigen zwei gleichwertige Konstruktionen für $$\vec{a} - \vec{b}$$:

Visible text: Die folgenden vier Schritte zeigen zwei gleichwertige Konstruktionen für :

1. Zeichne $$\vec{a}$$ und $$\vec{b}$$ mit demselben Anfangspunkt.
2. Zeichne den Pfeil vom Endpunkt von $$\vec{b}$$ zum Endpunkt von $$\vec{a}$$. Dieser Pfeil ist $$\vec{a} - \vec{b}$$.
3. Kehre für die zweite Konstruktion $$\vec{b}$$ zum Gegenvektor $$-\vec{b}$$ um. Verschiebe ihn dann so, dass sein Anfangspunkt am Endpunkt von $$\vec{a}$$ liegt.
4. Zeichne den Pfeil vom gemeinsamen Ursprung zum letzten Endpunkt. Er ist $$\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$$.

Visible text: 1. Zeichne und mit demselben Anfangspunkt.
2. Zeichne den Pfeil vom Endpunkt von zum Endpunkt von . Dieser Pfeil ist .
3. Kehre für die zweite Konstruktion zum Gegenvektor um. Verschiebe ihn dann so, dass sein Anfangspunkt am Endpunkt von liegt.
4. Zeichne den Pfeil vom gemeinsamen Ursprung zum letzten Endpunkt. Er ist .

Die Darstellung zeigt beide Konstruktionen. Die beiden Pfeile mit der Beschriftung $$a-b$$ haben dieselben Komponenten, denselben Betrag und dieselbe Richtung, obwohl ihre Anfangspunkte verschieden sind.

Visible text: Die Darstellung zeigt beide Konstruktionen. Die beiden Pfeile mit der Beschriftung haben dieselben Komponenten, denselben Betrag und dieselbe Richtung, obwohl ihre Anfangspunkte verschieden sind.

Component: Vector3d
Props:
- title: Vektorsubtraktion im dreidimensionalen Raum
- description: Konstruktion mit gemeinsamem Anfangspunkt und Spitze an Schaft für{" "}
$$a-b=a+(-b)$$.
  Visible text: Konstruktion mit gemeinsamem Anfangspunkt und Spitze an Schaft für 
.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#0d9488",
label: $$a$$,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 2, 2],
color: "#e11d48",
label: $$b$$,
},
{
from: [1, 2, 2],
to: [3, 2, 1],
color: "#9333ea",
label: $$a-b$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [3, 2, 1],
to: [2, 0, -1],
color: "#ea580c",
label: $$-b$$,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 0, -1],
color: "#db2777",
label: $$a - b$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 2, 1],
color: "#0d9488",
label: ,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 2, 2],
color: "#e11d48",
label: ,
},
{
from: [1, 2, 2],
to: [3, 2, 1],
color: "#9333ea",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [3, 2, 1],
to: [2, 0, -1],
color: "#ea580c",
label: ,
labelPosition: "middle",
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 0, -1],
color: "#db2777",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [6, 4, 6]

## Algebraische Vektorsubtraktion

Algebraisch ziehen wir die jeweils entsprechenden Komponenten voneinander ab. Gegeben seien die beiden Vektoren:

Component: MathContainer
Children:

```math
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)
```

```math
\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
```

Dann berechnen wir $$\vec{a} - \vec{b}$$ komponentenweise:

Visible text: Dann berechnen wir komponentenweise:

```math
\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)
```

Für zweidimensionale Vektoren lautet die Gleichung:

```math
\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)
```

## Rechenbeispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren:

Component: MathContainer
Children:

```math
\vec{a} = (3, 4)
```

```math
\vec{b} = (1, 2)
```

Für $$\vec{a} - \vec{b}$$ erhalten wir:

Visible text: Für erhalten wir:

```math
\vec{a} - \vec{b} = (3, 4) - (1, 2) = (3-1, 4-2) = (2, 2)
```

In umgekehrter Reihenfolge gilt für $$\vec{b} - \vec{a}$$:

Visible text: In umgekehrter Reihenfolge gilt für :

```math
\vec{b} - \vec{a} = (1, 2) - (3, 4) = (1-3, 2-4) = (-2, -2)
```

Im Allgemeinen ist $$\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$$. Vertauschen wir die Reihenfolge, kehrt sich die Richtung um: $$\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$$.

Visible text: Im Allgemeinen ist . Vertauschen wir die Reihenfolge, kehrt sich die Richtung um: .

Component: Vector3d
Props:
- title: Beispiel für Vektorsubtraktion
- description: Visualisierung der Vektorsubtraktion{" "}
$$a - b = (3,4,0) - (1,2,0) = (2,2,0)$$.
  Visible text: Visualisierung der Vektorsubtraktion 
.
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: $$a$$,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 2, 0],
color: "#e11d48",
label: $$b$$,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#65a30d",
label: $$a - b$$,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [3, 4, 0],
color: "#0d9488",
label: ,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [1, 2, 0],
color: "#e11d48",
label: ,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [2, 2, 0],
color: "#65a30d",
label: ,
},
]
- cameraPosition: [8, 6, 8]

## Anwendungen der Vektorsubtraktion

Vektorsubtraktion wird immer dann gebraucht, wenn wir zwei vektorielle Größen vergleichen:

1. **Verschiebung berechnen**: Ist $$\vec{a}$$ der Ortsvektor der Endposition und $$\vec{b}$$ der Ortsvektor der Anfangsposition, dann ist $$\vec{a} - \vec{b}$$ der Verschiebungsvektor.

2. **Entfernung berechnen**: In einem Spiel liefert Zielposition minus Vogelposition die Richtung zum Ziel. Der Betrag dieses Differenzvektors ist die Luftlinienentfernung.

3. **Geschwindigkeiten vergleichen**: In der Physik ist die Geschwindigkeit des Objekts $$A$$ relativ zum Objekt $$B$$ gleich $$\vec{v}_{A/B}=\vec{v}_A-\vec{v}_B$$. Vertauschen wir die Reihenfolge, kehrt sich der Relativgeschwindigkeitsvektor um.

Visible text: 1. **Verschiebung berechnen**: Ist der Ortsvektor der Endposition und der Ortsvektor der Anfangsposition, dann ist der Verschiebungsvektor.

2. **Entfernung berechnen**: In einem Spiel liefert Zielposition minus Vogelposition die Richtung zum Ziel. Der Betrag dieses Differenzvektors ist die Luftlinienentfernung.

3. **Geschwindigkeiten vergleichen**: In der Physik ist die Geschwindigkeit des Objekts relativ zum Objekt gleich . Vertauschen wir die Reihenfolge, kehrt sich der Relativgeschwindigkeitsvektor um.

## Verschiebung durch Vektorsubtraktion

Die Verschiebung zwischen zwei Positionen erhalten wir, indem wir den Ortsvektor der Anfangsposition vom Ortsvektor der Endposition abziehen.

Angenommen, ein Objekt bewegt sich von der Anfangsposition $$\vec{p}_1$$ zur Endposition $$\vec{p}_2$$. Der Verschiebungsvektor des Objekts ist:

Visible text: Angenommen, ein Objekt bewegt sich von der Anfangsposition zur Endposition . Der Verschiebungsvektor des Objekts ist:

```math
\vec{d} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1
```

Dieser Vektor zeigt von der Anfangsposition zur Endposition. Sein Betrag ist die Luftlinienentfernung zwischen beiden Positionen. Der tatsächlich zurückgelegte Weg kann länger sein.

## Eigenschaften der Vektorsubtraktion

Die Vektorsubtraktion hat mehrere wichtige Eigenschaften:

1. $$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$
2. $$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$$ (Nullvektor)
3. $$\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$$
4. $$\vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$$
5. $$\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$$

Visible text: 1. 
2. (Nullvektor)
3. 
4. 
5.

## Beispielaufgabe

Ein Affe befindet sich an der Position $$(3, 4)$$. Eine Banane liegt an der Position $$(2, 1)$$. Bestimme den Verschiebungsvektor, mit dem der Affe die Banane erreicht.

Visible text: Ein Affe befindet sich an der Position . Eine Banane liegt an der Position . Bestimme den Verschiebungsvektor, mit dem der Affe die Banane erreicht.

**Lösung:**

Position des Affen: $$\vec{m} = (3, 4)$$

Visible text: Position des Affen:

Position der Banane: $$\vec{p} = (2, 1)$$

Visible text: Position der Banane:

Der Verschiebungsvektor vom Affen zur Banane ist:

```math
\vec{d} = \vec{p} - \vec{m} = (2, 1) - (3, 4) = (2-3, 1-4) = (-1, -3)
```

Der Affe muss sich also $$1 \text{ Einheit}$$ in negative $$x$$-Richtung und $$3 \text{ Einheiten}$$ in negative $$y$$-Richtung bewegen.

Visible text: Der Affe muss sich also in negative -Richtung und in negative -Richtung bewegen.

Der Betrag des Verschiebungsvektors kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

```math
|\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3{,}16
```