# Vektortypen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/vektoren-und-operationen/vektortypen
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Vergleiche Betrag und Richtung von Vektoren und lerne Gegenvektoren, Nullvektoren und gleiche Vektoren anhand von Diagrammen kennen.

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## Betrag und Richtung eines Vektors

Jeder Vektor, der nicht der Nullvektor ist, besitzt zwei kennzeichnende Eigenschaften: **Betrag** und **Richtung**. Der Nullvektor ist der Sonderfall, den wir später betrachten.

Betrachte den Vektor $$\overrightarrow{CD}$$ in der folgenden Abbildung.

Visible text: Betrachte den Vektor in der folgenden Abbildung.

Component: VectorChart
Props:
- title: Vektor $$CD$$
  Visible text: Vektor
- description: Vektor $$CD$$ mit dem Betrag{" "}
$$4 \text{ cm}$$ und einem Winkel von{" "}
$$45^\circ$$ zur Waagerechten.
  Visible text: Vektor mit dem Betrag 
 und einem Winkel von 
 zur Waagerechten.
- vectors: [
{
id: "cd",
name: "CD",
points: [
{ x: 0, y: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4) },
],
},
]

- Der **Betrag des Vektors** $$\overrightarrow{CD}$$ ist $$4 \text{ cm}$$. Er gibt die Größe des Vektors an. Den Betrag eines Vektors $$\vec{v}$$ schreibt man als $$|\vec{v}|$$. Somit gilt $$|\overrightarrow{CD}| = 4 \text{ cm}$$.
- Die **Richtung des Vektors** $$\overrightarrow{CD}$$ bildet mit der Waagerechten einen Winkel von $$45^\circ$$. Gerade die Richtung unterscheidet Vektoren von skalaren Größen, die nur einen Betrag besitzen. Wir können eine Richtung zum Beispiel durch einen Winkel, eine Himmelsrichtung oder einen anderen Bezug angeben.

Visible text: - Der **Betrag des Vektors** ist . Er gibt die Größe des Vektors an. Den Betrag eines Vektors schreibt man als . Somit gilt .
- Die **Richtung des Vektors** bildet mit der Waagerechten einen Winkel von . Gerade die Richtung unterscheidet Vektoren von skalaren Größen, die nur einen Betrag besitzen. Wir können eine Richtung zum Beispiel durch einen Winkel, eine Himmelsrichtung oder einen anderen Bezug angeben.

## Negativer Vektor (entgegengesetzter Vektor)

Für einen Vektor ungleich null hat sein negativer Vektor, auch Gegenvektor genannt, **denselben Betrag**, aber die **entgegengesetzte Richtung**.

Stell dir vor, Andi geht $$100 \text{ m}$$ in einem Winkel von $$30^\circ$$. Wir nennen diese Verschiebung $$\vec{A}$$. Geht Andi anschließend auf demselben Weg direkt zurück, ist die Rückbewegung der Gegenvektor von $$\vec{A}$$. Wir schreiben ihn als $$-\vec{A}$$.

Visible text: Stell dir vor, Andi geht in einem Winkel von . Wir nennen diese Verschiebung . Geht Andi anschließend auf demselben Weg direkt zurück, ist die Rückbewegung der Gegenvektor von . Wir schreiben ihn als .

Component: VectorChart
Props:
- title: Vektor und Gegenvektor
- description: Vektor $$A$$ und Vektor $$-A$$ haben
denselben Betrag, aber entgegengesetzte Richtungen.
  Visible text: Vektor und Vektor haben
denselben Betrag, aber entgegengesetzte Richtungen.
- vectors: [
{
id: "A",
name: "A",
points: [
{ x: 0, y: 0 },
{ x: 5, y: 2 },
],
},
{
id: "-A",
name: "-A",
points: [
{ x: 0, y: 0.5 },
{ x: 5, y: 2.5 },
],
direction: "backward",
},
]

- Die Vektoren $$\vec{A}$$ und $$-\vec{A}$$ haben denselben Betrag: $$|\vec{A}| = |-\vec{A}|$$.
- Die Richtung von $$-\vec{A}$$ ist der Richtung von $$\vec{A}$$ genau entgegengesetzt. Zeigt $$\vec{A}$$ in eine Richtung, zeigt $$-\vec{A}$$ in die Gegenrichtung. Der Richtungsunterschied beträgt $$180^\circ$$.

Visible text: - Die Vektoren und haben denselben Betrag: .
- Die Richtung von ist der Richtung von genau entgegengesetzt. Zeigt in eine Richtung, zeigt in die Gegenrichtung. Der Richtungsunterschied beträgt .

## Nullvektor

Der Nullvektor ist ein besonderer Vektor mit dem **Betrag null**. Da seine Länge null ist, besitzt er **keine eindeutig bestimmte Richtung**.

Wir können den Nullvektor als einen Punkt darstellen, an dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Üblicherweise schreiben wir ihn als $$\vec{0}$$.

Visible text: Wir können den Nullvektor als einen Punkt darstellen, an dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Üblicherweise schreiben wir ihn als .

**Beispiel**:

Geht Andi $$100 \text{ m}$$ nach Osten und anschließend $$100 \text{ m}$$ auf demselben Weg nach Westen zurück, ist die gesamte Verschiebung null. Sie wird durch den Nullvektor $$\vec{0}$$ dargestellt.

Visible text: Geht Andi nach Osten und anschließend auf demselben Weg nach Westen zurück, ist die gesamte Verschiebung null. Sie wird durch den Nullvektor dargestellt.

## Äquivalente Vektoren (gleiche Vektoren)

Zwei Vektoren sind **gleich**, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind. Ihre Anfangspunkte dürfen dabei verschieden sein. Für Vektoren ungleich null ist dies gleichbedeutend mit demselben **Betrag und derselben Richtung**. Die Komponentendefinition erfasst auch den Nullvektor, dessen Richtung nicht definiert ist.

Die folgende Abbildung zeigt drei gleiche Vektoren: $$\overrightarrow{CD}$$, $$\overrightarrow{EF}$$ und $$\overrightarrow{KL}$$.

Visible text: Die folgende Abbildung zeigt drei gleiche Vektoren: , und .

Component: VectorChart
Props:
- title: Äquivalente Vektoren
- description: Die Vektoren $$CD$$, $$EF$$ und{" "}
$$KL$$ haben denselben Betrag und dieselbe Richtung.
  Visible text: Die Vektoren , und 
 haben denselben Betrag und dieselbe Richtung.
- vectors: [
{
id: "CD",
name: "CD",
points: [
{ x: 2, y: 1 }, // C
{ x: 5, y: 3 }, // D
],
},
{
id: "EF",
name: "EF",
points: [
{ x: 4, y: 2 }, // E
{ x: 7, y: 4 }, // F
],
},
{
id: "KL",
name: "KL",
points: [
{ x: 3, y: 0 }, // K
{ x: 6, y: 2 }, // L
],
},
]

Die drei Vektoren haben denselben Betrag und dieselbe Richtung. Deshalb können wir schreiben:

```math
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{KL}
```

Ihre Anfangspunkte unterscheiden sich, doch jeder Pfeil führt drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Alle drei haben daher denselben Komponentenvektor $$(3, 2)$$.

Visible text: Ihre Anfangspunkte unterscheiden sich, doch jeder Pfeil führt drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Alle drei haben daher denselben Komponentenvektor .

## Übung

Betrachte die beiden folgenden Vektoren:

Component: VectorChart
Props:
- title: Vergleich von Vektor $$A$$ und Vektor{" "}
$$B$$
  Visible text: Vergleich von Vektor und Vektor
- description: Vergleich von Vektor $$A$$ und Vektor{" "}
$$B$$
  Visible text: Vergleich von Vektor und Vektor
- vectors: [
{
id: "A",
name: "A",
points: [
{ x: 1, y: 4 },
{ x: 0, y: 0 },
],
direction: "backward",
},
{
id: "B",
name: "B",
points: [
{ x: 1, y: 4 },
{ x: 5, y: 5 },
],
},
]

Ist der Vektor $$\vec{A}$$ der Gegenvektor von $$\vec{B}$$?

Visible text: Ist der Vektor der Gegenvektor von ?

**Antwort:**

Der Vektor $$\vec{A}$$ ist **nicht** der Gegenvektor von $$\vec{B}$$. Prüfen wir die beiden notwendigen Bedingungen:

Visible text: Der Vektor ist **nicht** der Gegenvektor von . Prüfen wir die beiden notwendigen Bedingungen:

1.  **Die Beträge müssen gleich sein:** Aus der Abbildung folgen $$\vec{A} = (-1, -4)$$ und $$\vec{B} = (4, 1)$$. Deshalb gilt $$|\vec{A}| = |\vec{B}| = \sqrt{17}$$. Diese Bedingung ist erfüllt.
2.  **Die Richtungen müssen genau entgegengesetzt sein, also einen Winkel von $$180^\circ$$ bilden:** Der Gegenvektor von $$\vec{A}$$ ist $$-\vec{A} = (1, 4)$$ und nicht $$\vec{B} = (4, 1)$$. Diese Bedingung ist nicht erfüllt.

Visible text: 1. **Die Beträge müssen gleich sein:** Aus der Abbildung folgen und . Deshalb gilt . Diese Bedingung ist erfüllt.
2. **Die Richtungen müssen genau entgegengesetzt sein, also einen Winkel von bilden:** Der Gegenvektor von ist und nicht . Diese Bedingung ist nicht erfüllt.

Weil die zweite Bedingung nicht erfüllt ist, ist $$\vec{A}$$ nicht der Gegenvektor von $$\vec{B}$$.

Visible text: Weil die zweite Bedingung nicht erfüllt ist, ist nicht der Gegenvektor von .

**Wie werden $$\vec{A}$$ und $$\vec{B}$$ zu Gegenvektoren?**

Visible text: **Wie werden und zu Gegenvektoren?**

Wenn $$\vec{A}$$ unverändert bleibt, wird $$\vec{B}$$ durch eine Änderung des Endpunkts von $$\vec{B}$$ zum Gegenvektor:

Visible text: Wenn unverändert bleibt, wird durch eine Änderung des Endpunkts von zum Gegenvektor:

Component: VectorChart
Props:
- title: Gegenvektoren $$A$$ und $$B$$
  Visible text: Gegenvektoren und
- description: Vektor $$A$$ und Vektor $$B$$ sind
Gegenvektoren.
  Visible text: Vektor und Vektor sind
Gegenvektoren.
- vectors: [
{
id: "A",
name: "A",
points: [
{ x: 1, y: 4 },
{ x: 0, y: 0 },
],
direction: "backward",
},
{
id: "B",
name: "B",
points: [
{ x: 1, y: 4 },
{ x: 2, y: 8 },
],
direction: "forward",
},
]