# Zweidimensionaler Vektor

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Lerne zweidimensionale Vektoren, ihre Komponenten und ihren Betrag mithilfe einer anschaulichen Darstellung in der Koordinatenebene kennen.

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## Zweidimensionale Vektoren

Im kartesischen Koordinatensystem lässt sich jeder Punkt einer Ebene durch ein Zahlenpaar $$(x, y)$$ beschreiben. Dabei gibt $$x$$ die horizontale und $$y$$ die vertikale Position an. Der Koordinatenursprung ist $$O(0, 0)$$.

Visible text: Im kartesischen Koordinatensystem lässt sich jeder Punkt einer Ebene durch ein Zahlenpaar beschreiben. Dabei gibt die horizontale und die vertikale Position an. Der Koordinatenursprung ist .

Zeichnen wir eine gerichtete Strecke vom Ursprung $$O$$ zu einem anderen Punkt, etwa $$Q(x, y)$$, erhalten wir einen **Vektor**. Er wird als $$\overrightarrow{OQ}$$ geschrieben. Sein **Betrag** ist die Länge der Strecke. Seine **Richtung** verläuft vom Anfangspunkt zur Pfeilspitze.

Visible text: Zeichnen wir eine gerichtete Strecke vom Ursprung zu einem anderen Punkt, etwa , erhalten wir einen **Vektor**. Er wird als geschrieben. Sein **Betrag** ist die Länge der Strecke. Seine **Richtung** verläuft vom Anfangspunkt zur Pfeilspitze.

Zur Beschreibung der beiden Achsen verwenden wir **Einheitsvektoren**. Sie haben den Betrag $$1 \text{ Einheit}$$.

Visible text: Zur Beschreibung der beiden Achsen verwenden wir **Einheitsvektoren**. Sie haben den Betrag .

- $$\mathbf{i}$$ ist der Einheitsvektor entlang der positiven $$x$$-Achse (horizontal).
- $$\mathbf{j}$$ ist der Einheitsvektor entlang der positiven $$y$$-Achse (vertikal).

Visible text: - ist der Einheitsvektor entlang der positiven -Achse (horizontal).
- ist der Einheitsvektor entlang der positiven -Achse (vertikal).

Der Vektor $$\overrightarrow{OQ}$$ setzt sich aus einer horizontalen Verschiebung um $$x$$ und einer vertikalen Verschiebung um $$y$$ zusammen. Mit Einheitsvektoren schreiben wir:

Visible text: Der Vektor setzt sich aus einer horizontalen Verschiebung um und einer vertikalen Verschiebung um zusammen. Mit Einheitsvektoren schreiben wir:

```math
\overrightarrow{OQ} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}
```

## Komponenten und Betrag

Die Werte $$x$$ und $$y$$ in $$\overrightarrow{OQ} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$$ heißen **Komponenten** des Vektors.

Visible text: Die Werte und in heißen **Komponenten** des Vektors.

- $$x$$ ist die **horizontale skalare Komponente**. Die zugehörige Vektorprojektion auf die $$x$$-Achse ist $$x\mathbf{i}$$.
- $$y$$ ist die **vertikale skalare Komponente**. Die zugehörige Vektorprojektion auf die $$y$$-Achse ist $$y\mathbf{j}$$.

Visible text: - ist die **horizontale skalare Komponente**. Die zugehörige Vektorprojektion auf die -Achse ist .
- ist die **vertikale skalare Komponente**. Die zugehörige Vektorprojektion auf die -Achse ist .

Ein Vektor mit diesen beiden Komponenten ist ein **zweidimensionaler Vektor**.

Die **Länge** oder der **Betrag** von $$\overrightarrow{OQ}$$, geschrieben als $$|\overrightarrow{OQ}|$$, ist der Abstand vom Ursprung $$O$$ zum Endpunkt $$Q$$. Ist $$Q(x,y)$$ der Endpunkt und $$R(x,0)$$ die Projektion von $$Q$$ auf die $$x$$-Achse, liefert das rechtwinklige Dreieck $$ORQ$$ mit dem Satz des Pythagoras den Betrag:

Visible text: Die **Länge** oder der **Betrag** von , geschrieben als , ist der Abstand vom Ursprung zum Endpunkt . Ist der Endpunkt und die Projektion von auf die -Achse, liefert das rechtwinklige Dreieck mit dem Satz des Pythagoras den Betrag:

```math
|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{x^2 + y^2}
```

## Zweidimensionalen Vektor visualisieren

Die folgende Darstellung verbindet den Vektor mit seinen Komponenten und seinem Betrag in der kartesischen Ebene:

Component: Vector3d
Props:
- title: Vektor in der Koordinatenebene
- description: Darstellung des Vektors{" "}
$$OQ = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$$
im kartesischen Koordinatensystem
  Visible text: Darstellung des Vektors 

im kartesischen Koordinatensystem
- vectors: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 3, 0],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor $$OQ$$</>,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 0, 0],
color: "#0d9488",
label: <>$$x$$-Komponente</>,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 3, 0],
color: "#ca8a04",
label: <>$$y$$-Komponente</>,
},
]
  Visible text: [
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 3, 0],
color: "#65a30d",
label: <>Vektor </>,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [4, 0, 0],
color: "#0d9488",
label: <>-Komponente</>,
},
{
from: [0, 0, 0],
to: [0, 3, 0],
color: "#ca8a04",
label: <>-Komponente</>,
},
]

Die $$z$$-Achse wird nicht dargestellt, weil der Vektor vollständig in einer zweidimensionalen Ebene liegt.

Visible text: Die -Achse wird nicht dargestellt, weil der Vektor vollständig in einer zweidimensionalen Ebene liegt.

In der Darstellung gilt:

- Der Vektor $$\overrightarrow{OQ}$$ (hellgrün) hat den Anfangspunkt $$O(0,0)$$ und den Endpunkt $$Q(4,3)$$
- Die $$x$$-Komponente (hellblau) ist die Projektion des Vektors $$\overrightarrow{OQ}$$ auf die $$x$$-Achse, also $$4\mathbf{i}$$
- Die $$y$$-Komponente (gelb) ist die Projektion des Vektors $$\overrightarrow{OQ}$$ auf die $$y$$-Achse, also $$3\mathbf{j}$$
- Der Betrag des Vektors ist $$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Visible text: - Der Vektor (hellgrün) hat den Anfangspunkt und den Endpunkt 
- Die -Komponente (hellblau) ist die Projektion des Vektors auf die -Achse, also 
- Die -Komponente (gelb) ist die Projektion des Vektors auf die -Achse, also 
- Der Betrag des Vektors ist