# Additionsregel > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/wahrscheinlichkeit/additionssatz Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/probability/addition-rule/de.mdx Wende die Additionsregel auf disjunkte und überlappende Ereignisse an, mit klaren Beispielen, Formeln und vollständig gerechneten Lösungen. --- ## Was ist die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten? Angenommen, wir fragen eine Schulklasse, wie jeder Schüler zur Schule gekommen ist. Anschließend wählen wir einen Schüler zufällig aus und suchen die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem **Fahrrad ODER Motorrad** gekommen ist. Das Wort **„ODER“** verbindet die beiden Ereignisse. Mit der Additionsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $$A$$ eintritt, Ereignis $$B$$ eintritt oder beide eintreten, sofern eine Überschneidung möglich ist. Visible text: Das Wort **„ODER“** verbindet die beiden Ereignisse. Mit der Additionsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis eintritt, Ereignis eintritt oder beide eintreten, sofern eine Überschneidung möglich ist. Zwei Fälle bestimmen, welche Formel gilt: 1. Die Ereignisse können nicht im selben Versuch auftreten. Sie sind **gegenseitig ausschließend**. 2. Die Ereignisse können im selben Versuch auftreten. Sie sind **nicht gegenseitig ausschließend**. Visible text: 1. Die Ereignisse können nicht im selben Versuch auftreten. Sie sind **gegenseitig ausschließend**. 2. Die Ereignisse können im selben Versuch auftreten. Sie sind **nicht gegenseitig ausschließend**. Der entscheidende Unterschied ist also, ob sich die beiden Ereignismengen überschneiden. ## Gegenseitig ausschließende Ereignisse Gegenseitig ausschließende Ereignisse, auch _disjunkte_ Ereignisse genannt, können **nicht gemeinsam** in einem Versuch auftreten. Tritt Ereignis $$A$$ ein, tritt Ereignis $$B$$ nicht ein, und umgekehrt. Visible text: Tritt Ereignis ein, tritt Ereignis nicht ein, und umgekehrt. **Beispiele:** 1. Ein Münzwurf ergibt entweder „Kopf“ oder „Zahl“, aber nie beides zugleich. 2. Zain ist mit dem Motorrad **ODER** mit dem Fahrrad zur Schule gekommen, sofern jeder Schüler nur ein Verkehrsmittel genutzt hat. 3. Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $$7$$“ **ODER** das Ereignis „Pasch, also gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln“. - Die Summe ist $$7$$: $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$ - Pasche: $$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$$ - Kein geordnetes Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher gegenseitig ausschließend. Visible text: 1. Ein Münzwurf ergibt entweder „Kopf“ oder „Zahl“, aber nie beides zugleich. 2. Zain ist mit dem Motorrad **ODER** mit dem Fahrrad zur Schule gekommen, sofern jeder Schüler nur ein Verkehrsmittel genutzt hat. 3. Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist “ **ODER** das Ereignis „Pasch, also gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln“. - Die Summe ist : - Pasche: - Kein geordnetes Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher gegenseitig ausschließend. ### Formel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse Sind die Ereignisse $$A$$ und $$B$$ gegenseitig ausschließend, ist ihre Schnittmenge leer. Für „A ODER B“ werden deshalb nur die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. Visible text: Sind die Ereignisse und gegenseitig ausschließend, ist ihre Schnittmenge leer. Für „A ODER B“ werden deshalb nur die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. ```math P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B) ``` **Rechenbeispiel:** Für den Versuch mit zwei Würfeln: - Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $$7$$ ($$P(S=7)$$) ist: Es gibt $$6$$ Paare aus der Gesamtmenge von $$36$$, daher ist die Wahrscheinlichkeit $$6/36$$ - Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ($$P(\text{Doppelt})$$): Es gibt $$6$$ Paare unter insgesamt $$36$$, also beträgt die Wahrscheinlichkeit $$6/36$$ Visible text: - Wahrscheinlichkeit, dass die Summe () ist: Es gibt Paare aus der Gesamtmenge von , daher ist die Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit für einen Pasch (): Es gibt Paare unter insgesamt , also beträgt die Wahrscheinlichkeit Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $$7$$ ODER einen Pasch: Visible text: Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe ODER einen Pasch: ```math P(S=7 \text{oder Doppel}) = P(S=7) + P(\text{Doppelt}) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} ``` ## Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse **können gemeinsam** in einem Versuch auftreten. Ihre Ergebnismengen haben also eine Schnittmenge. **Beispiele:** 1. Beim Ziehen einer Karte aus einem Standardkartenspiel überschneiden sich die Ereignisse „ein Ass ziehen“ und „eine Herzkarte ziehen ($$\heartsuit$$)“ beim Herz-Ass ($$A\heartsuit$$). 2. Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $$8$$“ **ODER** das Ereignis „einen Pasch würfeln“. - Die Summe ist $$8$$: $$(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$$ - Pasche: $$(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$$ - Das Paar $$(4,4)$$ gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher **nicht gegenseitig ausschließend**. Visible text: 1. Beim Ziehen einer Karte aus einem Standardkartenspiel überschneiden sich die Ereignisse „ein Ass ziehen“ und „eine Herzkarte ziehen ()“ beim Herz-Ass (). 2. Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist “ **ODER** das Ereignis „einen Pasch würfeln“. - Die Summe ist : - Pasche: - Das Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher **nicht gegenseitig ausschließend**. **Warum reicht einfaches Addieren nicht aus?** Bei $$P(A) + P(B)$$ wird die Schnittmenge doppelt gezählt: einmal als Teil von $$A$$ und einmal als Teil von $$B$$. Visible text: Bei wird die Schnittmenge doppelt gezählt: einmal als Teil von und einmal als Teil von . Im Beispiel „Summe $$8$$ ODER Pasch“ gilt: Visible text: Im Beispiel „Summe ODER Pasch“ gilt: - $$P(S=8)$$: Es gibt $$5$$ Paare, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit $$5/36$$ - $$P(\text{Doppelt})$$ sind $$6$$ Paare, nämlich $$6/36$$ Visible text: - : Es gibt Paare, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit - sind Paare, nämlich Direktes Addieren ergibt $$5/36 + 6/36 = 11/36$$. Das Paar $$(4,4)$$ liegt jedoch in beiden Gruppen. Seine Wahrscheinlichkeit muss einmal abgezogen werden, damit es insgesamt nur einmal zählt. Visible text: Direktes Addieren ergibt . Das Paar liegt jedoch in beiden Gruppen. Seine Wahrscheinlichkeit muss einmal abgezogen werden, damit es insgesamt nur einmal zählt. ### Formel für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse Für Ereignisse $$A$$ und $$B$$, die sich nicht gegenseitig ausschließen, wird die Wahrscheinlichkeit von „A ODER B“ wie folgt berechnet: Visible text: Für Ereignisse und , die sich nicht gegenseitig ausschließen, wird die Wahrscheinlichkeit von „A ODER B“ wie folgt berechnet: ```math P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B) - P(A \text{und} B) ``` Der Term $$P(A \text{und} B)$$ ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, in der $$A$$ und $$B$$ **gemeinsam** auftreten. Durch einmaliges Subtrahieren wird die Doppelzählung korrigiert. Visible text: Der Term ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, in der und **gemeinsam** auftreten. Durch einmaliges Subtrahieren wird die Doppelzählung korrigiert. **Rechenbeispiel:** Wir verwenden erneut das Beispiel „Summe $$8$$ ODER Pasch“: Visible text: Wir verwenden erneut das Beispiel „Summe ODER Pasch“: - $$P(S=8) = 5/36$$ - $$P(\text{Doppelt}) = 6/36$$ - Das Ereignis „Summe $$8$$ UND Pasch“ ($$P(S=8 \text{und Doppel})$$) enthält genau ein Ergebnis: das Paar $$(4, 4)$$. Seine Wahrscheinlichkeit beträgt $$1/36$$. Visible text: - - - Das Ereignis „Summe UND Pasch“ () enthält genau ein Ergebnis: das Paar . Seine Wahrscheinlichkeit beträgt . Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $$8$$ ODER einen Pasch: Visible text: Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe ODER einen Pasch: Component: MathContainer Children: ```math P(S=8 \text{oder Doppel}) = P(S=8) + P(\text{Doppelt}) - P(S=8 \text{und Doppel}) ``` ```math = \frac{5}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} ``` **Die Bedeutung von „ODER“ in der Mathematik** In der Mathematik umfasst „$$A$$ oder $$B$$“ drei Möglichkeiten: nur $$A$$, nur $$B$$ oder beide, wenn eine Schnittmenge existiert. Dieses „oder“ ist **inklusiv**. Im Alltag kann „oder“ dagegen manchmal genau eine von zwei Möglichkeiten meinen. Visible text: In der Mathematik umfasst „ oder “ drei Möglichkeiten: nur , nur oder beide, wenn eine Schnittmenge existiert. Dieses „oder“ ist **inklusiv**. Im Alltag kann „oder“ dagegen manchmal genau eine von zwei Möglichkeiten meinen. ## Wann sollte welche Formel verwendet werden? 1. **Schnittmenge prüfen:** Können die Ereignisse $$A$$ und $$B$$ im selben Versuch auftreten? 2. **Wenn sie nicht gemeinsam auftreten können:** Verwende $$P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B)$$. 3. **Wenn sie gemeinsam auftreten können:** Verwende $$P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B) - P(A \text{und} B)$$. Visible text: 1. **Schnittmenge prüfen:** Können die Ereignisse und im selben Versuch auftreten? 2. **Wenn sie nicht gemeinsam auftreten können:** Verwende . 3. **Wenn sie gemeinsam auftreten können:** Verwende . ## Übung In einer Klasse mit $$30$$ Schülerinnen und Schülern gehören $$18$$ zur Mathematik-AG, $$14$$ zur Naturwissenschafts-AG und $$8$$ zu beiden Arbeitsgemeinschaften. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Visible text: In einer Klasse mit Schülerinnen und Schülern gehören zur Mathematik-AG, zur Naturwissenschafts-AG und zu beiden Arbeitsgemeinschaften. Eine Person wird zufällig ausgewählt. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person zur Mathematik-AG **oder** zur Naturwissenschafts-AG gehört? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften angehört? Visible text: 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person zur Mathematik-AG **oder** zur Naturwissenschafts-AG gehört? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften angehört? ### Ausführliche Lösung Sei $$M$$ das Ereignis „gehört zur Mathematik-AG“ und $$S$$ das Ereignis „gehört zur Naturwissenschafts-AG“. Die $$8$$ Personen in beiden Arbeitsgemeinschaften sind in beiden Anzahlen enthalten. Bei $$18+14$$ würden sie deshalb doppelt gezählt. Die allgemeine Additionsregel korrigiert diese Doppelzählung: Visible text: Sei das Ereignis „gehört zur Mathematik-AG“ und das Ereignis „gehört zur Naturwissenschafts-AG“. Die Personen in beiden Arbeitsgemeinschaften sind in beiden Anzahlen enthalten. Bei würden sie deshalb doppelt gezählt. Die allgemeine Additionsregel korrigiert diese Doppelzählung: Component: MathContainer Children: ```math n(M \cup S)=n(M)+n(S)-n(M \cap S)=18+14-8=24 ``` ```math P(M \cup S)=\frac{24}{30}=\frac{4}{5} ``` Außerhalb beider Arbeitsgemeinschaften bleiben $$30-24=6$$ Personen. Somit gilt: Visible text: Außerhalb beider Arbeitsgemeinschaften bleiben Personen. Somit gilt: ```math P(\text{keine der beiden AGs})=\frac{6}{30}=\frac{1}{5} ``` Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben $$4/5+1/5=1$$. Damit ist geprüft, dass die Klasse vollständig in zwei komplementäre Gruppen zerlegt wurde: Personen in mindestens einer Arbeitsgemeinschaft und Personen in keiner der beiden. Visible text: Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben . Damit ist geprüft, dass die Klasse vollständig in zwei komplementäre Gruppen zerlegt wurde: Personen in mindestens einer Arbeitsgemeinschaft und Personen in keiner der beiden. Die **Schnittmenge muss genau einmal abgezogen werden**, weil sie bereits in _beiden ursprünglichen Anzahlen_ enthalten ist. Diese **Komplementkontrolle** deckt eine ausgelassene oder doppelt gezählte Gruppe auf, _bevor das Ergebnis übernommen wird_.