# Wahrscheinlichkeitsverteilung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/wahrscheinlichkeit/wahrscheinlichkeitsverteilung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/probability/probability-distribution/de.mdx Verstehe Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Ergebnismengen und Ereigniswahrscheinlichkeiten anhand vollständiger Beispiele mit einem und zwei Würfeln. --- ## Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung? Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt die möglichen Werte einer Zufallsgröße und ordnet jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit zu. Bei einem Würfel kann die Zufallsgröße die gewürfelte Zahl sein. Bei zwei Würfeln kann sie stattdessen deren Summe sein. Die Verteilung zeigt, welche Werte möglich sind und wie wahrscheinlich jeder Wert ist. ## Die Ergebnismenge (alle möglichen Ergebnisse) Die Ergebnismenge enthält alle Elementarereignisse, die in einem Zufallsversuch _auftreten können_. Sie wird mit dem Symbol $$\Omega$$ (Omega) bezeichnet. Visible text: Die Ergebnismenge enthält alle Elementarereignisse, die in einem Zufallsversuch _auftreten können_. Sie wird mit dem Symbol (Omega) bezeichnet. Bei einem Wurf mit einem gewöhnlichen $$6$$-seitigen Würfel sind $$1, 2, 3, 4, 5,$$ und $$6$$ möglich. Zusammen bilden diese Ergebnisse die Ergebnismenge: Visible text: Bei einem Wurf mit einem gewöhnlichen -seitigen Würfel sind und möglich. Zusammen bilden diese Ergebnisse die Ergebnismenge: ```math \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ``` Hier gibt es insgesamt $$6$$ mögliche Ergebnisse. Visible text: Hier gibt es insgesamt mögliche Ergebnisse. ## Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten ### Was ist ein Ereignis? Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es enthält genau die Ergebnisse, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. **Beispiel**: Für den Würfelversuch ($$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$) betrachten wir das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“. Die geraden Ergebnisse sind $$2, 4,$$ und $$6$$. Ereignis $$A$$ lautet also: Visible text: Für den Würfelversuch () betrachten wir das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“. Die geraden Ergebnisse sind und . Ereignis lautet also: ```math A = \{2, 4, 6\} ``` Das Ereignis $$A$$ enthält $$3$$ Ergebnisse. Visible text: Das Ereignis enthält Ergebnisse. ### Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Die Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt. Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, wird die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller Ergebnisse geteilt: ```math P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}} ``` Mit den Symbolen aus unserem Beispiel: ```math P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} ``` Dabei gilt: - $$|A|$$ ist die Anzahl der Ergebnisse in Ereignis $$A$$, hier also $$3$$. - $$|\Omega|$$ ist die Anzahl aller Ergebnisse in der Ergebnismenge, hier also $$6$$. Visible text: - ist die Anzahl der Ergebnisse in Ereignis , hier also . - ist die Anzahl aller Ergebnisse in der Ergebnismenge, hier also . Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „gerade Zahl“ (Ereignis $$A$$): Visible text: Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „gerade Zahl“ (Ereignis ): ```math P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ``` Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit $$1/2$$, also $$50\%$$. Visible text: Das Ereignis hat also die Wahrscheinlichkeit , also . ## Regeln für Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllt zwei Regeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertes ($$P(x)$$) liegt zwischen $$0$$ und $$1$$. ```math 0 \leq P(x) \leq 1 ``` 2. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ergeben zusammen genau $$1$$. ```math \sum_{x \in \Omega} P(x) = 1 ``` Visible text: 1. Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertes () liegt zwischen und . 2. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ergeben zusammen genau . ## Einen Würfel werfen Bei einem fairen Würfel hat jede Seite dieselbe Wahrscheinlichkeit. Die Verteilung lautet: | Ergebnis $$x$$ | Wahrscheinlichkeit $$P(x)$$ | | :--------------- | :------------------------------------- | | $$1$$ | $$1/6$$ | | $$2$$ | $$1/6$$ | | $$3$$ | $$1/6$$ | | $$4$$ | $$1/6$$ | | $$5$$ | $$1/6$$ | | $$6$$ | $$1/6$$ | Visible text: | Ergebnis | Wahrscheinlichkeit | | :--------------- | :------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | **Warum sind sie alle $$1/6$$?** Visible text: **Warum sind sie alle ?** Der Würfel hat $$6$$ gleich wahrscheinliche Seiten, daher besitzt jede Seite die Wahrscheinlichkeit $$1/6$$. Ihre Summe ist $$1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1$$ und erfüllt damit die zweite Regel. Visible text: Der Würfel hat gleich wahrscheinliche Seiten, daher besitzt jede Seite die Wahrscheinlichkeit . Ihre Summe ist und erfüllt damit die zweite Regel. ## Zwei Würfel werfen Nun werfen wir **einen roten und einen weißen Würfel**. Wird das Ergebnis als geordnetes Paar notiert, gibt es $$36$$ mögliche Ergebnisse. Visible text: Nun werfen wir **einen roten und einen weißen Würfel**. Wird das Ergebnis als geordnetes Paar notiert, gibt es mögliche Ergebnisse. **Warum $$36$$?** Visible text: **Warum ?** Der rote Würfel hat $$6$$ Möglichkeiten und der weiße ebenfalls $$6$$. Daraus entstehen $$6 \times 6 = 36$$ geordnete Paare. Visible text: Der rote Würfel hat Möglichkeiten und der weiße ebenfalls . Daraus entstehen geordnete Paare. Die resultierenden Paare können wie folgt geschrieben werden: - Roter Würfel $$1$$, weißer Würfel $$1$$ ergibt $$(1, 1)$$. - Roter Würfel $$1$$, weißer Würfel $$2$$ ergibt $$(1, 2)$$. - ... und so weiter bis ... - Roter Würfel $$6$$, weißer Würfel $$6$$ ergibt $$(6, 6)$$. Visible text: - Roter Würfel , weißer Würfel ergibt . - Roter Würfel , weißer Würfel ergibt . - ... und so weiter bis ... - Roter Würfel , weißer Würfel ergibt . Da die Würfel fair und unabhängig sind, hat jedes geordnete Paar die Wahrscheinlichkeit $$1/36$$. Visible text: Da die Würfel fair und unabhängig sind, hat jedes geordnete Paar die Wahrscheinlichkeit . **$$(1, 2)$$ und $$(2, 1)$$ unterscheiden** Visible text: ** und unterscheiden** Da die Würfel verschiedene Farben haben, unterscheidet sich eine rote $$3$$ mit einer weißen $$2$$ von einer roten $$2$$ mit einer weißen $$3$$. Die Reihenfolge hält fest, welcher Würfel welche Zahl zeigt. Visible text: Da die Würfel verschiedene Farben haben, unterscheidet sich eine rote mit einer weißen von einer roten mit einer weißen . Die Reihenfolge hält fest, welcher Würfel welche Zahl zeigt. ### Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe zweier Würfel Ist die Zufallsgröße die _Summe_ beider Würfel, beträgt ihr kleinster Wert $$1+1=2$$ und ihr größter Wert $$6+6=12$$. Die Summen entstehen aus unterschiedlich vielen geordneten Paaren und haben daher verschiedene Wahrscheinlichkeiten: Visible text: Ist die Zufallsgröße die _Summe_ beider Würfel, beträgt ihr kleinster Wert und ihr größter Wert . Die Summen entstehen aus unterschiedlich vielen geordneten Paaren und haben daher verschiedene Wahrscheinlichkeiten: | Summe der Zahlen $$j$$ | Mögliche Paare | Anzahl der Paare | Wahrscheinlichkeit $$P(j)$$ | | :------------------------------------- | :---------------------------------------------- | :-------- | :------------------------------------- | | $$2$$ | $$(1,1)$$ | $$1$$ | $$1/36$$ | | $$3$$ | $$(1,2), (2,1)$$ | $$2$$ | $$2/36$$ | | $$4$$ | $$(1,3), (2,2), (3,1)$$ | $$3$$ | $$3/36$$ | | $$5$$ | $$(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$$ | $$4$$ | $$4/36$$ | | $$6$$ | $$(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$$ | $$5$$ | $$5/36$$ | | $$7$$ | $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$ | $$6$$ | $$6/36$$ | | $$8$$ | $$(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$$ | $$5$$ | $$5/36$$ | | $$9$$ | $$(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$$ | $$4$$ | $$4/36$$ | | $$10$$ | $$(4,6), (5,5), (6,4)$$ | $$3$$ | $$3/36$$ | | $$11$$ | $$(5,6), (6,5)$$ | $$2$$ | $$2/36$$ | | $$12$$ | $$(6,6)$$ | $$1$$ | $$1/36$$ | Visible text: | Summe der Zahlen | Mögliche Paare | Anzahl der Paare | Wahrscheinlichkeit | | :------------------------------------- | :---------------------------------------------- | :-------- | :------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Die Summe $$7$$ ist am wahrscheinlichsten, weil $$6$$ geordnete Paare zu ihr führen. Die Summen $$2$$ und $$12$$ entstehen dagegen jeweils nur aus einem Paar. Dieser Unterschied ist entscheidend, wenn ein Spiel oder Modell von der Summe und nicht von den einzelnen Würfelwerten abhängt. Visible text: Die Summe ist am wahrscheinlichsten, weil geordnete Paare zu ihr führen. Die Summen und entstehen dagegen jeweils nur aus einem Paar. Dieser Unterschied ist entscheidend, wenn ein Spiel oder Modell von der Summe und nicht von den einzelnen Würfelwerten abhängt. ## Wozu dienen Wahrscheinlichkeitsverteilungen? Wahrscheinlichkeitsverteilungen machen unsichere Ergebnisse vergleichbar und nutzbar: - **Ergebnisse vergleichen:** Man erkennt unmittelbar, dass die Summe $$7$$ wahrscheinlicher ist als die Summe $$12$$. - **Spiele analysieren:** Bei Würfelspielen zeigt die Verteilung, welche Züge oder Summen häufiger auftreten, auch wenn ein einzelner Wurf ungewiss bleibt. - **Vorhersagen treffen:** Eine Verteilung kann Unsicherheit zusammenfassen, etwa die Regenwahrscheinlichkeit in einem Wettermodell. - **Entscheidungen unterstützen:** Wissenschaft und Wirtschaft vergleichen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Risiken und erwartete Ergebnisse anhand von Daten statt anhand unbegründeter Vermutungen. Visible text: - **Ergebnisse vergleichen:** Man erkennt unmittelbar, dass die Summe wahrscheinlicher ist als die Summe . - **Spiele analysieren:** Bei Würfelspielen zeigt die Verteilung, welche Züge oder Summen häufiger auftreten, auch wenn ein einzelner Wurf ungewiss bleibt. - **Vorhersagen treffen:** Eine Verteilung kann Unsicherheit zusammenfassen, etwa die Regenwahrscheinlichkeit in einem Wettermodell. - **Entscheidungen unterstützen:** Wissenschaft und Wirtschaft vergleichen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Risiken und erwartete Ergebnisse anhand von Daten statt anhand unbegründeter Vermutungen. In jedem Fall liefert die Verteilung ein Zahlenmodell für Unsicherheit. ## Übung Drei faire Münzen werden geworfen. Die Zufallsgröße $$X$$ gibt die Anzahl der geworfenen Köpfe an. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $$X$$ auf, prüfe ihre Gültigkeit und bestimme $$P(X \geq 2)$$. Visible text: Drei faire Münzen werden geworfen. Die Zufallsgröße gibt die Anzahl der geworfenen Köpfe an. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von auf, prüfe ihre Gültigkeit und bestimme . ### Ausführliche Lösung Wir codieren Kopf mit $$1$$ und Zahl mit $$0$$. Die drei Würfe erzeugen dann $$2^3=8$$ gleich wahrscheinliche geordnete Tripel: Visible text: Wir codieren Kopf mit und Zahl mit . Die drei Würfe erzeugen dann gleich wahrscheinliche geordnete Tripel: ```math \Omega=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)\} ``` Wir zählen die Ergebnisse mit $$0,1,2$$ oder $$3$$ Köpfen: Visible text: Wir zählen die Ergebnisse mit oder Köpfen: | Anzahl der Köpfe $$x$$ | Ergebnisse | Anzahl | $$P(X=x)$$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $$0$$ | $$(0,0,0)$$ | $$1$$ | $$1/8$$ | | $$1$$ | $$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$$ | $$3$$ | $$3/8$$ | | $$2$$ | $$(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$$ | $$3$$ | $$3/8$$ | | $$3$$ | $$(1,1,1)$$ | $$1$$ | $$1/8$$ | Visible text: | Anzahl der Köpfe | Ergebnisse | Anzahl | | | :--- | :--- | :--- | :--- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $$0$$ und $$1$$ und ihre Summe ist Visible text: Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen und und ihre Summe ist ```math \frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1 ``` Die Verteilung ist somit gültig. Mindestens zwei Köpfe bedeuten $$X=2$$ oder $$X=3$$. Daher gilt: Visible text: Die Verteilung ist somit gültig. Mindestens zwei Köpfe bedeuten oder . Daher gilt: ```math P(X \geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} ``` Da die Ergebnismenge zuerst vollständig aufgeschrieben wurde, lässt sich die Verteilung prüfen: Jedes der $$8$$ Ergebnisse erscheint in _genau einer Zeile_. Visible text: Da die Ergebnismenge zuerst vollständig aufgeschrieben wurde, lässt sich die Verteilung prüfen: Jedes der Ergebnisse erscheint in _genau einer Zeile_.