# Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/wahrscheinlichkeit/zwei-unvereinbare-ereignisse Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/probability/two-events-mutually-exclusive/de.mdx Lerne anhand von Münz-, Würfel- und Kartenbeispielen, wie sich Wahrscheinlichkeiten gegenseitig ausschließender Ereignisse verbinden lassen. --- ## Was bedeutet gegenseitiger Ausschluss? Angenommen, ein Versuch kann eines von zwei Ereignissen hervorbringen, aber nicht beide. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißen solche Ereignisse **gegenseitig ausschließend** oder _disjunkt_. Die Ereignisse $$A$$ und $$B$$ sind **gegenseitig ausschließend**, wenn sie **nicht gemeinsam** in einem Versuch auftreten können. Tritt $$A$$ ein, tritt $$B$$ nicht ein, und umgekehrt. Visible text: Die Ereignisse und sind **gegenseitig ausschließend**, wenn sie **nicht gemeinsam** in einem Versuch auftreten können. Tritt ein, tritt nicht ein, und umgekehrt. ## Merkmale sich gegenseitig ausschließender Ereignisse Ihr wesentliches Merkmal ist eine leere Schnittmenge: Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu Ereignis $$A$$ und Ereignis $$B$$. Visible text: Ihr wesentliches Merkmal ist eine leere Schnittmenge: Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu Ereignis und Ereignis . ### Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten Da die Ereignisse $$A$$ und $$B$$ nicht gemeinsam auftreten können, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge **null**. Visible text: Da die Ereignisse und nicht gemeinsam auftreten können, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge **null**. Wir können die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „$$A$$ **und** $$B$$“ (beide treten ein) wie folgt schreiben: Visible text: Wir können die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ **und** “ (beide treten ein) wie folgt schreiben: ```math P(A \text{und} B) = 0 ``` Oder mit dem Schnittmengensymbol: ```math P(A \cap B) = 0 ``` Bei gegenseitig ausschließenden Ereignissen ist die Schnittmenge leer, also hat sie die Wahrscheinlichkeit null. ## Berechnung der kombinierten Wahrscheinlichkeit für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $$A$$ **ODER** Ereignis $$B$$ eintritt, nutzen wir die fehlende Überschneidung. Visible text: Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis **ODER** Ereignis eintritt, nutzen wir die fehlende Überschneidung. Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten können **addiert** werden, ohne ein Ergebnis doppelt zu zählen. Die Formel lautet: ```math P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B) ``` Oder mit dem Vereinigungszeichen: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) ``` Dies ist die **spezielle Additionsregel** für Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen. Bei Ereignissen mit gemeinsamen Ergebnissen muss deren Schnittmenge zusätzlich berücksichtigt werden. ## Beispiele für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse Die folgenden Beispiele zeigen, wann die spezielle Additionsregel gilt: 1. **Münzwurf:** Bei einem einzelnen Münzwurf kann entweder Kopf oder Zahl fallen, aber nicht beides zugleich. - $$P(\text{Kopf}) = 1/2$$ - $$P(\text{Zahl}) = 1/2$$ - Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ODER Zahl beträgt $$P(\text{Kopf}) + P(\text{Zahl}) = 1/2 + 1/2 = 1$$, denn eines der beiden Ergebnisse muss auftreten. 2. **Einen Würfel werfen (einmal):** Betrachten wir zwei Ereignispaare: - Eine $$3$$ und eine $$5$$ können nicht gleichzeitig fallen. Beide Ergebnisse haben die Wahrscheinlichkeit $$1/6$$. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine $$3$$ oder eine $$5$$ insgesamt $$1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$$. - Das Ereignis „gerade Zahl“ umfasst $$\{2, 4, 6\}$$, das Ereignis „ungerade Zahl“ umfasst $$\{1, 3, 5\}$$. Beide Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit $$3/6 = 1/2$$. Zusammen ergibt sich $$1/2 + 1/2 = 1$$. 3. **Eine Karte ziehen (einmal):** Dieselbe Idee gilt beim Ziehen einer einzelnen Karte: - Die Ereignisse „König“ und „Dame“ schließen sich gegenseitig aus. Unter $$52 \text{Karten}$$ gibt es jeweils $$4$$ Könige und $$4$$ Damen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen König oder eine Dame $$4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13$$. - Auch „rote Karte“ und „Kreuz“ $$\clubsuit$$ schließen sich aus, weil alle Kreuzkarten schwarz sind. Mit $$26$$ roten Karten und $$13$$ Kreuzkarten ergibt sich $$26/52 + 13/52 = 39/52 = 3/4$$. Visible text: 1. **Münzwurf:** Bei einem einzelnen Münzwurf kann entweder Kopf oder Zahl fallen, aber nicht beides zugleich. - - - Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ODER Zahl beträgt , denn eines der beiden Ergebnisse muss auftreten. 2. **Einen Würfel werfen (einmal):** Betrachten wir zwei Ereignispaare: - Eine und eine können nicht gleichzeitig fallen. Beide Ergebnisse haben die Wahrscheinlichkeit . Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine oder eine insgesamt . - Das Ereignis „gerade Zahl“ umfasst , das Ereignis „ungerade Zahl“ umfasst . Beide Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit . Zusammen ergibt sich . 3. **Eine Karte ziehen (einmal):** Dieselbe Idee gilt beim Ziehen einer einzelnen Karte: - Die Ereignisse „König“ und „Dame“ schließen sich gegenseitig aus. Unter gibt es jeweils Könige und Damen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen König oder eine Dame . - Auch „rote Karte“ und „Kreuz“ schließen sich aus, weil alle Kreuzkarten schwarz sind. Mit roten Karten und Kreuzkarten ergibt sich . ## Übung Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es seien $$A=\{1,2\}$$ und $$B=\{5,6\}$$. Visible text: Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es seien und . 1. Zeige, dass $$A$$ und $$B$$ sich gegenseitig ausschließen. 2. Bestimme $$P(A \cup B)$$. 3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt. Visible text: 1. Zeige, dass und sich gegenseitig ausschließen. 2. Bestimme . 3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt. ### Ausführliche Lösung Die beiden Ereignisse haben eine **leere Schnittmenge** und damit kein gemeinsames Ergebnis: ```math A \cap B=\varnothing ``` Sie schließen sich daher **gegenseitig aus**. Jedes Ereignis enthält $$2$$ der $$6$$ gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Mit der speziellen Additionsregel folgt Visible text: Sie schließen sich daher **gegenseitig aus**. Jedes Ereignis enthält der gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Mit der speziellen Additionsregel folgt Component: MathContainer Children: ```math P(A \cup B)=P(A)+P(B) ``` ```math =\frac{2}{6}+\frac{2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} ``` Außerhalb von $$A \cup B=\{1,2,5,6\}$$ liegen die Ergebnisse $$\{3,4\}$$. Somit gilt: Visible text: Außerhalb von liegen die Ergebnisse . Somit gilt: ```math P(\text{weder }A\text{ noch }B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ``` Zur Kontrolle ergeben die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und die Wahrscheinlichkeit ihres Komplements zusammen $$2/3+1/3=1$$. Visible text: Zur Kontrolle ergeben die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und die Wahrscheinlichkeit ihres Komplements zusammen .