# Sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/wahrscheinlichkeit/zwei-vereinbare-ereignisse Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/probability/two-events-not-mutually-exclusive/de.mdx Berechne Wahrscheinlichkeiten überlappender Ereignisse und vermeide Doppelzählungen anhand von Schnittmengen und ausgearbeiteten Lösungen. --- ## Was bedeutet „nicht gegenseitig ausschließend“? Wir kennen bereits [unvereinbare Ereignisse](/de/faecher/mathematik/wahrscheinlichkeit/zwei-unvereinbare-ereignisse), die nicht gleichzeitig eintreten können. Nun betrachten wir **vereinbare Ereignisse**. Zwei vereinbare Ereignisse können in demselben Zufallsexperiment gemeinsam eintreten. Dies bedeutet, dass es möglich ist, ein Ergebnis zu erhalten, das zum Ereignis $$A$$ und auch zum Ereignis $$B$$ gehört. Visible text: Dies bedeutet, dass es möglich ist, ein Ergebnis zu erhalten, das zum Ereignis und auch zum Ereignis gehört. **Einfache Beispiele:** 1. **Eine Karte ziehen:** Du ziehst eine Karte aus einem Standardstapel. - Ereignis $$A$$: Ein **Herz** bekommen ($$\heartsuit$$). - Ereignis $$B$$: Einen **König** bekommen. Können die Ereignisse $$A$$ und $$B$$ zusammen auftreten? Ja. Eine Karte ist zugleich Herz und König: der **Herzkönig** ($$K\heartsuit$$). Da Ereignis $$A$$ und Ereignis $$B$$ gemeinsam eintreten können, schließen sie sich **nicht gegenseitig aus**. 2. **Einen Würfel werfen (einmal):** - Ereignis $$A$$: eine **gerade** Zahl würfeln ($$\{2, 4, 6\}$$). - Ereignis $$B$$: eine Zahl **größer als** $$3$$ würfeln ($$\{4, 5, 6\}$$). Können beide Ereignisse gemeinsam eintreten? Ja. Die Zahlen $$4$$ und $$6$$ sind gerade und größer als $$3$$. Daher schließen sich $$A$$ und $$B$$ **nicht gegenseitig aus**. Visible text: 1. **Eine Karte ziehen:** Du ziehst eine Karte aus einem Standardstapel. - Ereignis : Ein **Herz** bekommen (). - Ereignis : Einen **König** bekommen. Können die Ereignisse und zusammen auftreten? Ja. Eine Karte ist zugleich Herz und König: der **Herzkönig** (). Da Ereignis und Ereignis gemeinsam eintreten können, schließen sie sich **nicht gegenseitig aus**. 2. **Einen Würfel werfen (einmal):** - Ereignis : eine **gerade** Zahl würfeln (). - Ereignis : eine Zahl **größer als** würfeln (). Können beide Ereignisse gemeinsam eintreten? Ja. Die Zahlen und sind gerade und größer als . Daher schließen sich und **nicht gegenseitig aus**. ## Die Schnittmenge ist entscheidend Bei vereinbaren Ereignissen können Ergebnisse zugleich zu $$A$$ und zu $$B$$ gehören. Diese gemeinsamen Ergebnisse bilden die **Schnittmenge** $$A \cap B$$. Visible text: Bei vereinbaren Ereignissen können Ergebnisse zugleich zu und zu gehören. Diese gemeinsamen Ergebnisse bilden die **Schnittmenge** . Die Definition bezieht sich auf die Ergebnismengen: Zwei Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge nicht leer ist. ```math A \cap B \ne \varnothing ``` In einer endlichen Ergebnismenge, in der jedes Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit besitzt, hat eine nicht leere Schnittmenge ebenfalls eine positive Wahrscheinlichkeit: ```math P(A \cap B) > 0 ``` Dies unterscheidet sich stark von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen, bei denen $$P(A \cap B) = 0$$. Visible text: Dies unterscheidet sich stark von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen, bei denen . ## Berechnung der kombinierten Wahrscheinlichkeit für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse Da $$A$$ und $$B$$ gemeinsam eintreten können, dürfen wir $$P(A) + P(B)$$ nicht einfach als $$P(A \text{oder} B)$$ übernehmen. Visible text: Da und gemeinsam eintreten können, dürfen wir nicht einfach als übernehmen. Bei einer einfachen Addition würde die Schnittmenge $$A \cap B$$ **doppelt gezählt**, einmal in $$P(A)$$ und einmal in $$P(B)$$. Visible text: Bei einer einfachen Addition würde die Schnittmenge **doppelt gezählt**, einmal in und einmal in . Deshalb ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der doppelt gezählten Schnittmenge einmal ab. So erhalten wir die **allgemeine Additionsregel**: ```math P(A \text{oder} B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ``` Mit Vereinigungs- und Schnittmengensymbolen: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ``` Diese Formel funktioniert im Allgemeinen sowohl für sich gegenseitig ausschließende als auch für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse. (Wenn sie sich gegenseitig ausschließen, ist $$P(A \cap B)$$ Null, daher vereinfacht sich die Formel wieder zu $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$). Visible text: Diese Formel funktioniert im Allgemeinen sowohl für sich gegenseitig ausschließende als auch für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse. (Wenn sie sich gegenseitig ausschließen, ist Null, daher vereinfacht sich die Formel wieder zu ). ## Berechnungsbeispiel Nehmen wir das Kartenbeispiel: - Ereignis $$A$$: Eine Herzkarte ziehen ($$\heartsuit$$). Unter den $$52$$ Karten sind $$13$$ Herzkarten. $$P(A) = 13/52$$. - Ereignis $$B$$: Einen König ziehen. Unter den $$52$$ Karten sind $$4$$ Könige. $$P(B) = 4/52$$. - Ereignis $$A$$ **und** B: Den Herzkönig ziehen ($$K\heartsuit$$). Es gibt genau $$1$$ Herzkönig. $$P(A \cap B) = 1/52$$. Visible text: - Ereignis : Eine Herzkarte ziehen (). Unter den Karten sind Herzkarten. . - Ereignis : Einen König ziehen. Unter den Karten sind Könige. . - Ereignis **und** B: Den Herzkönig ziehen (). Es gibt genau Herzkönig. . Die Wahrscheinlichkeit, ein Herz ODER einen König zu bekommen, beträgt also: Component: MathContainer Children: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ``` ```math = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} ``` ```math = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} ``` Durch den Abzug von $$1/52$$ wird der Herzkönig genau einmal gezählt. Visible text: Durch den Abzug von wird der Herzkönig genau einmal gezählt. ## Übung Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es sei $$A=\{2,4,6\}$$ das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“ und $$B=\{5,6\}$$ das Ereignis „Das Ergebnis ist größer als $$4$$“. Visible text: Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es sei das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“ und das Ereignis „Das Ergebnis ist größer als “. 1. Begründe, warum $$A$$ und $$B$$ sich nicht gegenseitig ausschließen. 2. Bestimme $$P(A \cup B)$$ mit der allgemeinen Additionsregel. 3. Prüfe das Ergebnis, indem du die Elemente der Vereinigung auflistest. Visible text: 1. Begründe, warum und sich nicht gegenseitig ausschließen. 2. Bestimme mit der allgemeinen Additionsregel. 3. Prüfe das Ergebnis, indem du die Elemente der Vereinigung auflistest. ### Ausführliche Lösung Die Schnittmenge enthält **ein gemeinsames Ergebnis**, nämlich $$6$$: Visible text: Die Schnittmenge enthält **ein gemeinsames Ergebnis**, nämlich : ```math A \cap B=\{6\} ``` Die Ereignisse schließen sich daher **nicht gegenseitig aus**. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und ihrer Schnittmenge sind ```math P(A)=\frac{3}{6},\qquad P(B)=\frac{2}{6},\qquad P(A \cap B)=\frac{1}{6} ``` Nun wenden wir die allgemeine Additionsregel an: Component: MathContainer Children: ```math P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) ``` ```math =\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} ``` Direktes Auflisten ergibt $$A \cup B=\{2,4,5,6\}$$. Die Vereinigung enthält $$4$$ der $$6$$ möglichen Ergebnisse. Beide Wege liefern somit $$2/3$$. Visible text: Direktes Auflisten ergibt . Die Vereinigung enthält der möglichen Ergebnisse. Beide Wege liefern somit .