# Analyse einer Wurfbewegung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/physik/kinematik/analyse-der-parabelfoermigen-bewegung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/physics/kinematics/parabolic-movement-analysis/de.mdx Berechne aus den Geschwindigkeitskomponenten die Zeit bis zum höchsten Punkt, die Wurfweite und die momentane Geschwindigkeit. --- ## Zuerst wird die Anfangsgeschwindigkeit zerlegt Die Analyse einer Wurfbewegung beginnt fast immer mit einer einfachen Frage: Welcher Anteil der Geschwindigkeit ist horizontal und welcher vertikal? Für den Anfangsgeschwindigkeitsbetrag $$v_0$$ und den Abwurfwinkel $$\theta$$ lauten die beiden Komponenten: Visible text: Die Analyse einer Wurfbewegung beginnt fast immer mit einer einfachen Frage: Welcher Anteil der Geschwindigkeit ist horizontal und welcher vertikal? Für den Anfangsgeschwindigkeitsbetrag und den Abwurfwinkel lauten die beiden Komponenten: Component: MathContainer Children: ```math v_{0x}=v_0\cos\theta ``` ```math v_{0y}=v_0\sin\theta ``` Anschließend werden die horizontale und vertikale Richtung nach unterschiedlichen Regeln berechnet. Das Modell dieser Lektion vernachlässigt den Luftwiderstand und verwendet eine konstante Gravitationsbeschleunigung. Horizontal liegt eine gleichförmige Bewegung vor, weil keine horizontale Beschleunigung wirkt. Vertikal liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, weil die Gravitation nach unten wirkt. > Der Schlüssel zur Analyse einer Wurfbewegung liegt darin, dieselbe Zeit für zwei verschiedene Richtungen zu nutzen. Component: ParabolicMovementAnalysisLab Props: - title: Komponentenanalyse einer Kanonenkugel - description: Beobachte die Flugbahn der Kanonenkugel. Halbtransparente Positionsmarken zeigen gleiche Zeitabstände und folgen denselben Formeln wie die Rechnung. - labels: { chooseScenario: "Abwurf wählen", scenarioNames: { "sixty-degree": <>Sechzig Grad, "long-drive": <>Lange Fahrt, "high-arc": <>Hoher Bogen, }, factLabels: { horizontalComponent: <>Horizontale Komponente, verticalComponent: <>Vertikale Komponente, peakTime: <>Zeit bis zum höchsten Punkt, flightTime: <>Flugzeit, range: <>Wurfweite, instantaneousVelocity: <>Momentane Geschwindigkeit nach zwei Sekunden, }, viewLabel: "Visuelle Analyse von Kanonenkugelprojektilen", } Die Flugbahn und die halbtransparenten Kugeln zeigen Positionen in gleichen Zeitabständen, nicht getrennte horizontale und vertikale Wege. Die Werte unter der Szene stammen aus derselben Zerlegung: $$v_{0x}$$ bleibt konstant, während sich $$v_y=v_{0y}-gt$$ durch die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung ändert. Visible text: Die Flugbahn und die halbtransparenten Kugeln zeigen Positionen in gleichen Zeitabständen, nicht getrennte horizontale und vertikale Wege. Die Werte unter der Szene stammen aus derselben Zerlegung: bleibt konstant, während sich durch die nach unten gerichtete Erdbeschleunigung ändert. Alle dargestellten Würfe starten und landen auf derselben Höhe. Unter dieser Bedingung lässt sich die Rechnung als zusammenhängende Formelfolge lesen: ```math \begin{aligned} v_{0x}&=v_0\cos\theta\\ v_{0y}&=v_0\sin\theta\\ t_{\text{Höhepunkt}}&=\frac{v_{0y}}{g}\\ T&=2t_{\text{Höhepunkt}}\\ R&=v_{0x}T\\ \vec{v}(2)&=\langle v_{0x},v_{0y}-g(2)\rangle,\quad g=10\text{ m/s}^2 \end{aligned} ``` Die Werte unter der Szene sind also keine frei gewählten Zahlen. Sie werden aus dem ausgewählten Start berechnet und als Komponenten, Flugzeit, Wurfweite und Momentangeschwindigkeit angezeigt. ## Am höchsten Punkt ist die Vertikalgeschwindigkeit null Am höchsten Punkt bewegt sich das Objekt weiterhin horizontal, doch seine vertikale Bewegung hält für einen Moment inne. Deshalb gilt dort $$v_y=0$$. Visible text: Am höchsten Punkt bewegt sich das Objekt weiterhin horizontal, doch seine vertikale Bewegung hält für einen Moment inne. Deshalb gilt dort . ```math v_y=v_{0y}-gt ``` Bei $$v_y=0$$ beträgt die Zeit bis zum Höhepunkt: Visible text: Bei beträgt die Zeit bis zum Höhepunkt: ```math t_{\text{Höhepunkt}}=\frac{v_{0y}}{g} ``` Bei einem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag von $$40\text{ m/s}$$ und einem Winkel von $$60^\circ$$ beträgt die anfängliche vertikale Komponente $$20\sqrt{3}\text{ m/s}$$. Vor dem höchsten Punkt ist sie positiv, dort wird sie null und danach ist sie negativ, weil sich das Objekt nach unten bewegt. Visible text: Bei einem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag von und einem Winkel von beträgt die anfängliche vertikale Komponente . Vor dem höchsten Punkt ist sie positiv, dort wird sie null und danach ist sie negativ, weil sich das Objekt nach unten bewegt. ## Die Wurfweite nutzt die gesamte Flugzeit Wenn das Objekt vom Boden startet und auf derselben Höhe zum Boden zurückkehrt, beträgt die Gesamtzeit das Doppelte der Zeit bis zum Höhepunkt. Component: MathContainer Children: ```math t_{\text{gesamt}}=2t_{\text{Höhepunkt}} ``` ```math R=v_{0x}t_{\text{gesamt}} ``` Diese Formel zeigt, warum die Wurfweite nicht allein vom Winkel abhängt. Entscheidend sind auch die horizontale Geschwindigkeit und die Flugzeit. ## Die momentane Geschwindigkeit entsteht aus zwei Komponenten Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, werden zuerst $$v_x$$ und $$v_y$$ für diesen Zeitpunkt berechnet. Die horizontale Komponente bleibt konstant, die vertikale Komponente ändert sich. Visible text: Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, werden zuerst und für diesen Zeitpunkt berechnet. Die horizontale Komponente bleibt konstant, die vertikale Komponente ändert sich. Component: MathContainer Children: ```math v_x=v_{0x} ``` ```math v_y=v_{0y}-gt ``` ```math v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} ``` Die Geschwindigkeitsrichtung muss beide Komponenten und den richtigen Quadranten berücksichtigen: ```math \alpha=\operatorname{atan2}(v_y,v_x) ``` Für $$v_x>0$$ ist das gleichbedeutend mit $$\tan\alpha=v_y/v_x$$ und $$-90^\circ<\alpha<90^\circ$$. Ein positives $$v_y$$ zeigt oberhalb der Horizontalen, ein negatives darunter. Visible text: Für ist das gleichbedeutend mit und . Ein positives zeigt oberhalb der Horizontalen, ein negatives darunter. ## Ein Abwurf bei sechzig Grad verbindet beide Komponenten Ein Ball wird mit dem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag $$40\text{ m/s}$$ unter einem Winkel von $$60^\circ$$ geworfen. Für die Rechnung gilt $$g=10\text{ m/s}^2$$. Visible text: Ein Ball wird mit dem Anfangsgeschwindigkeitsbetrag unter einem Winkel von geworfen. Für die Rechnung gilt . Dieser Winkel liefert übersichtliche trigonometrische Komponenten. Dadurch bleibt der gesamte Lösungsweg sichtbar: Zuerst wird die Anfangsgeschwindigkeit zerlegt, dann folgt die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung. Dieselbe Zeit wird anschließend für Wurfweite und momentane Geschwindigkeit verwendet. Die Anfangskomponenten sind: Component: MathContainer Children: ```math v_{0x}=40\cos60^\circ=20\text{ m/s} ``` ```math v_{0y}=40\sin60^\circ=20\sqrt{3}\text{ m/s} ``` Die Zeit bis zum höchsten Punkt beträgt: ```math t_{\text{Höhepunkt}}=\frac{20\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}\text{ s} ``` Gesamte Flugzeit und Wurfweite betragen: Component: MathContainer Children: ```math t_{\text{gesamt}}=4\sqrt{3}\text{ s} ``` ```math R=20(4\sqrt{3})=80\sqrt{3}\text{ m} ``` Angenommen, wir wollen die Geschwindigkeit bei $$t=2\text{ s}$$. Die vertikale Komponente ist: Visible text: Angenommen, wir wollen die Geschwindigkeit bei . Die vertikale Komponente ist: ```math v_y=20\sqrt{3}-10(2)=20\sqrt{3}-20\text{ m/s} ``` Währenddessen bleibt $$v_x=20\text{ m/s}$$ konstant. Der Geschwindigkeitsbetrag ist: Visible text: Währenddessen bleibt konstant. Der Geschwindigkeitsbetrag ist: ```math \begin{aligned} v&=\sqrt{20^2+(20\sqrt{3}-20)^2}\\ &=\sqrt{2000-800\sqrt{3}}\\ &\approx 24{,}8\text{ m/s} \end{aligned} ``` Die Richtung der Geschwindigkeit relativ zur Horizontalen ist: ```math \alpha=\operatorname{atan2}(20\sqrt{3}-20,20)\approx 36{,}2^\circ ``` Bei $$t=2\text{ s}$$ bewegt sich die Kugel also immer noch schräg nach oben, da $$v_y$$ immer noch positiv ist. Visible text: Bei bewegt sich die Kugel also immer noch schräg nach oben, da immer noch positiv ist.