# Einheitensysteme

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Verstehe, warum die Physik gemeinsame Einheiten braucht, und lies SI-Einheiten, abgeleitete Einheiten sowie metrische Präfixe sicher.

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## Zahlen brauchen eine gemeinsame Sprache

Stell dir den Größenwert $$12$$ ohne Einheit vor. Sind damit $$12 \text{ cm}$$, $$12 \text{ m}$$, $$12 \text{ kg}$$ oder $$12 \text{ s}$$ gemeint? Die Zahl bleibt gleich, ihre Bedeutung ändert sich vollständig.

Visible text: Stell dir den Größenwert ohne Einheit vor. Sind damit , , oder gemeint? Die Zahl bleibt gleich, ihre Bedeutung ändert sich vollständig.

Eine Einheit ist ein festgelegter Maßstab zum Vergleich einer physikalischen Größe. Sie sorgt dafür, dass Messungen verschiedener Personen, Geräte und Orte dieselbe Sprache sprechen.

```math
\text{Größenwert} = \text{Zahlenwert} \times \text{Einheit}
```

Der Zahlenwert sagt, *wie viel* gemessen wurde. Die Einheit nennt den *Vergleichsmaßstab*.

## Von vielen Systemen zu SI

Bevor sich ein gemeinsamer Standard durchsetzte, bestanden mehrere Einheitensysteme nebeneinander. Drei davon tauchen häufig in Physikbüchern auf:

| System | Beispiel-Basiseinheiten | Wie man sie liest |
| :----- | :----------------- | :--------------- |
| FPS | $$\text{ft},\ \text{lb},\ \text{s}$$ | *Fuß*, *Pfundmasse* und *Sekunde* |
| CGS | $$\text{cm},\ \text{g},\ \text{s}$$ | Zentimeter, Gramm und Sekunde |
| MKS | $$\text{m},\ \text{kg},\ \text{s}$$ | Meter, Kilogramm und Sekunde |

Visible text: | System | Beispiel-Basiseinheiten | Wie man sie liest |
| :----- | :----------------- | :--------------- |
| FPS | | *Fuß*, *Pfundmasse* und *Sekunde* |
| CGS | | Zentimeter, Gramm und Sekunde |
| MKS | | Meter, Kilogramm und Sekunde |

In dieser FPS-Zeile bezeichnet $$\text{lb}$$ die Pfundmasse. Sie darf nicht mit der Pfundkraft verwechselt werden, die häufig als $$\text{lbf}$$ geschrieben wird.

Visible text: In dieser FPS-Zeile bezeichnet die Pfundmasse. Sie darf nicht mit der Pfundkraft verwechselt werden, die häufig als geschrieben wird.

Ohne Angabe des Einheitensystems lassen sich solche Messwerte nur schwer vergleichen. Deshalb verwendet die moderne Wissenschaft das **Internationale Einheitensystem**, kurz **SI**. Die Abkürzung stammt vom französischen Namen *Système international d'unités*; auf Englisch heißt es *International System of Units*. Das *Bureau International des Poids et Mesures*, kurz BIPM, betreut diesen internationalen Standard.

Die verbindliche Übersicht steht beim BIPM unter [SI Measurement Units](https://www.bipm.org/en/measurement-units).

> SI ist nicht nur eine Liste von Abkürzungen. SI ist eine Vereinbarung, dass $$1 \text{ m}$$, $$1 \text{ kg}$$ und $$1 \text{ s}$$ in verschiedenen Schulen, Labors, Fabriken und Ländern dasselbe bedeuten.

Visible text: > SI ist nicht nur eine Liste von Abkürzungen. SI ist eine Vereinbarung, dass , und in verschiedenen Schulen, Labors, Fabriken und Ländern dasselbe bedeuten.

## Die sieben SI-Basiseinheiten

Die SI-Basiseinheiten sind die Bausteine des Systems. Aus ihnen entstehen Einheiten wie $$\text{m}^2$$, $$\text{m/s}$$, $$\text{N}$$, $$\text{J}$$ und $$\text{W}$$.

Visible text: Die SI-Basiseinheiten sind die Bausteine des Systems. Aus ihnen entstehen Einheiten wie , , , und .

| Grundgröße | Übliches Symbol | SI-Einheit | Einheitensymbol | Dimension |
| :------------ | :------------ | :------ | :---------- | :-------- |
| Länge | $$\ell,\ x,\ r$$ | Meter | $$\text{m}$$ | $$[\mathrm{L}]$$ |
| Masse | $$m$$ | Kilogramm | $$\text{kg}$$ | $$[\mathrm{M}]$$ |
| Zeit | $$t$$ | Sekunde | $$\text{s}$$ | $$[\mathrm{T}]$$ |
| Elektrischer Strom | $$I$$ | Ampere | $$\text{A}$$ | $$[\mathrm{I}]$$ |
| Thermodynamische Temperatur | $$T$$ | Kelvin | $$\text{K}$$ | $$[\Theta]$$ |
| Stoffmenge | $$n$$ | Mol | $$\text{mol}$$ | $$[\mathrm{N}]$$ |
| Lichtstärke | $$I_v$$ | Candela | $$\text{cd}$$ | $$[\mathrm{J}]$$ |

Visible text: | Grundgröße | Übliches Symbol | SI-Einheit | Einheitensymbol | Dimension |
| :------------ | :------------ | :------ | :---------- | :-------- |
| Länge | | Meter | | |
| Masse | | Kilogramm | | |
| Zeit | | Sekunde | | |
| Elektrischer Strom | | Ampere | | |
| Thermodynamische Temperatur | | Kelvin | | |
| Stoffmenge | | Mol | | |
| Lichtstärke | | Candela | | |

Ein Detail führt häufig zu Verwechslungen: Die SI-Basiseinheit der Masse ist $$\text{kg}$$, nicht $$\text{g}$$. Für eine Angabe in SI-Basiseinheiten müssen Gramm daher in Kilogramm umgerechnet werden.

Visible text: Ein Detail führt häufig zu Verwechslungen: Die SI-Basiseinheit der Masse ist , nicht . Für eine Angabe in SI-Basiseinheiten müssen Gramm daher in Kilogramm umgerechnet werden.

```math
\begin{aligned}
1 \text{g} &= 10^{-3} \text{kg} \\
250 \text{g} &= 250 \times 10^{-3} \text{kg} = 0{,}25 \text{kg}
\end{aligned}
```

## Abgeleitete Einheiten folgen den Rechenoperationen

Eine abgeleitete Einheit entsteht zusammen mit einer Größe, die aus Grundgrößen aufgebaut ist. Werden Größen in einer Formel multipliziert oder dividiert, geschieht dasselbe mit ihren Einheiten.

| Abgeleitete Größe | Größenformel | SI-Einheit | Dimension |
| :--------------- | :--------------- | :------ | :-------- |
| Fläche | $$A = l \times w$$ | $$\text{m}^2$$ | $$[\mathrm{L}]^2$$ |
| Volumen | $$V = l \times w \times h$$ | $$\text{m}^3$$ | $$[\mathrm{L}]^3$$ |
| Dichte | $$\rho = \frac{m}{V}$$ | $$\text{kg/m}^3$$ | $$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{-3}$$ |
| Geschwindigkeit | $$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$ | $$\text{m/s}$$ | $$[\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-1}$$ |
| Beschleunigung | $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$ | $$\text{m/s}^2$$ | $$[\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2}$$ |
| Kraft | $$F = m \times a$$ | $$\text{N}$$ | $$[\mathrm{M}][\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2}$$ |
| Arbeit | $$W = F \times \Delta s$$ | $$\text{J}$$ | $$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-2}$$ |
| Leistung | $$P = \frac{W}{t}$$ | $$\text{W}$$ | $$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-3}$$ |

Visible text: | Abgeleitete Größe | Größenformel | SI-Einheit | Dimension |
| :--------------- | :--------------- | :------ | :-------- |
| Fläche | | | |
| Volumen | | | |
| Dichte | | | |
| Geschwindigkeit | | | |
| Beschleunigung | | | |
| Kraft | | | |
| Arbeit | | | |
| Leistung | | | |

Die Zerlegung einer abgeleiteten Einheit zeigt ihren Ursprung. Kraft wird in Newton angegeben, doch ein Newton setzt sich aus Kilogramm, Meter und Sekunde zusammen.

```math
\begin{aligned}
F &= m \times a \\
1 \text{ N} &= 1 \text{ kg} \cdot \text{m/s}^2 \\
&= 1 \text{ kg m s}^{-2}
\end{aligned}
```

Darauf aufbauend lassen sich Joule und Watt Schritt für Schritt zerlegen.

```math
\begin{aligned}
1 \text{ J} &= 1 \text{ N} \cdot \text{m}
= 1 \text{ kg m}^2\text{ s}^{-2} \\
1 \text{ W} &= \frac{1 \text{ J}}{1 \text{ s}}
= 1 \text{ kg m}^2\text{ s}^{-3}
\end{aligned}
```

## Metrische Präfixe ersetzen lange Nullreihen

Sehr große und sehr kleine Werte müssen nicht als lange Nullreihen erscheinen. SI-Präfixe drücken Potenzen von $$10$$ direkt im Einheitennamen aus.

Visible text: Sehr große und sehr kleine Werte müssen nicht als lange Nullreihen erscheinen. SI-Präfixe drücken Potenzen von direkt im Einheitennamen aus.

Component: Mermaid
Props:
- title: Präfixe verkürzen große und kleine Werte
- description: Verfolge, wie ein metrisches Präfix eine lange Nullfolge durch einen kompakten Einheitennamen ersetzt.
```mermaid
flowchart LR
  A["Wert lesen"] --> B["Präfix abtrennen"]
  B --> C["Zehnerpotenz einsetzen"]
  C --> D["Zahlenwert multiplizieren"]
  D --> E["Endgültige Einheit notieren"]
```

Zu den gebräuchlichen Präfixen gehören:

| Faktor | Präfix | Symbol | Faktor | Präfix | Symbol |
| :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |
| $$10^1$$ | Deka | $$\text{da}$$ | $$10^{-1}$$ | Dezi | $$\text{d}$$ |
| $$10^2$$ | Hekto | $$\text{h}$$ | $$10^{-2}$$ | Zenti | $$\text{c}$$ |
| $$10^3$$ | Kilo | $$\text{k}$$ | $$10^{-3}$$ | Milli | $$\text{m}$$ |
| $$10^6$$ | Mega | $$\text{M}$$ | $$10^{-6}$$ | Mikro | $$\mu$$ |
| $$10^9$$ | Giga | $$\text{G}$$ | $$10^{-9}$$ | Nano | $$\text{n}$$ |
| $$10^{12}$$ | Tera | $$\text{T}$$ | $$10^{-12}$$ | Piko | $$\text{p}$$ |
| $$10^{15}$$ | Peta | $$\text{P}$$ | $$10^{-15}$$ | Femto | $$\text{f}$$ |
| $$10^{18}$$ | Exa | $$\text{E}$$ | $$10^{-18}$$ | Atto | $$\text{a}$$ |
| $$10^{21}$$ | Zetta | $$\text{Z}$$ | $$10^{-21}$$ | Zepto | $$\text{z}$$ |
| $$10^{24}$$ | Yotta | $$\text{Y}$$ | $$10^{-24}$$ | Yokto | $$\text{y}$$ |

Visible text: | Faktor | Präfix | Symbol | Faktor | Präfix | Symbol |
| :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |
| | Deka | | | Dezi | |
| | Hekto | | | Zenti | |
| | Kilo | | | Milli | |
| | Mega | | | Mikro | |
| | Giga | | | Nano | |
| | Tera | | | Piko | |
| | Peta | | | Femto | |
| | Exa | | | Atto | |
| | Zetta | | | Zepto | |
| | Yotta | | | Yokto | |

Hinweis zum Umfang: Die Tabelle enthält die Präfixe, die im Unterricht der Klassenstufe $$10$$ üblicherweise gebraucht werden. Das BIPM führt außerdem Ronna und Ronto für $$10^{27}$$ und $$10^{-27}$$ sowie Quetta und Quecto für $$10^{30}$$ und $$10^{-30}$$.

Visible text: Hinweis zum Umfang: Die Tabelle enthält die Präfixe, die im Unterricht der Klassenstufe üblicherweise gebraucht werden. Das BIPM führt außerdem Ronna und Ronto für und sowie Quetta und Quecto für und .

Die vollständige aktuelle Liste steht beim BIPM unter [SI Prefixes](https://www.bipm.org/en/measurement-units/si-prefixes).

## Präfixe in Berechnungen lesen

Ein Präfix wird direkt vor die Einheit gesetzt. $$\text{km}$$ bedeutet daher Kilometer und bleibt über das Präfix mit dem Meter verbunden.

Visible text: Ein Präfix wird direkt vor die Einheit gesetzt. bedeutet daher Kilometer und bleibt über das Präfix mit dem Meter verbunden.

```math
\begin{aligned}
7{,}5 \text{km}
&= 7{,}5 \times 10^3 \text{m} \\
&= 7500 \text{m}
\end{aligned}
```

Auch kleine Größen bleiben mit Präfixen gut lesbar. Ein Durchmesser von $$0{,}1 \ \mu\text{m}$$ entspricht:

Visible text: Auch kleine Größen bleiben mit Präfixen gut lesbar. Ein Durchmesser von entspricht:

```math
\begin{aligned}
0{,}1 \ \mu\text{m}
&= 0{,}1 \times 10^{-6} \text{m} \\
&= 1{,}0 \times 10^{-7} \text{m}
\end{aligned}
```

Die sehr kleine Elektronenmasse lässt sich ebenfalls in wissenschaftlicher Schreibweise leichter lesen.

```math
9{,}11 \times 10^{-31} \text{kg}
```

Du musst nicht alle Präfixe auf einmal auswendig lernen. Zerlege eine Einheit wie $$\text{cm}$$, $$\text{mg}$$ oder $$\mu\text{m}$$ zuerst in Präfix und Einheit. Ersetze anschließend das Präfix durch die passende Potenz von $$10$$ und rechne damit weiter.

Visible text: Du musst nicht alle Präfixe auf einmal auswendig lernen. Zerlege eine Einheit wie , oder zuerst in Präfix und Einheit. Ersetze anschließend das Präfix durch die passende Potenz von und rechne damit weiter.