# Signifikante Stellen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/physik/messen-im-naturwissenschaftlichen-arbeiten/signifikante-stellen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/physics/measurement/significant-figures/de.mdx Erkenne signifikante Stellen, runde Messergebnisse korrekt und gib berechnete Werte nur so genau an, wie es die Messung erlaubt. --- ## Ein Rechner kennt die Messgenauigkeit nicht Wird der Durchmesser eines Flaschendeckels als $$3{,}12 \text{cm}$$ abgelesen, kann ein Rechner für die Fläche viele weitere Ziffern ausgeben. Das Messgerät rechtfertigt diese scheinbare Genauigkeit jedoch nicht. Deshalb verwenden wir **signifikante Stellen**. Visible text: Wird der Durchmesser eines Flaschendeckels als abgelesen, kann ein Rechner für die Fläche viele weitere Ziffern ausgeben. Das Messgerät rechtfertigt diese scheinbare Genauigkeit jedoch nicht. Deshalb verwenden wir **signifikante Stellen**. Signifikante Stellen sind die Ziffern, die beibehalten werden, um die Auflösung eines Messwerts auszudrücken. Die letzte angegebene Ziffer wird von Geräteauflösung und Rundung beeinflusst und ist daher nicht exakt. ```math \text{angegebene Ziffern}=\text{gestützte Ziffern}+\text{letzte gerundete Ziffer} ``` Diese Regel soll Zahlen nicht bloß verkürzen. Sie verhindert, dass ein Ergebnis genauer wirkt als das verwendete Messwerkzeug. | Situation | Zu beantwortende Frage | | :-------- | :----------------- | | Eine Messung ablesen | Welche Ziffern werden vom Messgerät tatsächlich getragen? | | Addition und Subtraktion | Welche Daten haben die geringste Anzahl an Dezimalstellen? | | Multiplikation und Division | Welcher Messwert hat die wenigsten signifikanten Stellen? | ## Eine Null kann zählen oder nur den Stellenwert markieren Bei Nullen entscheidet ihre Position darüber, ob sie signifikant sind. | Schreibweise des Messwerts | So werden die signifikanten Stellen gelesen | | :------------------ | :---------------------------------- | | $$3{,}25 \text{cm}$$ | Jede Ziffer ungleich Null zählt, daher gibt es $$3$$ signifikante Ziffern. | | $$1{,}004 \text{cm}$$ | Nullen zwischen Ziffern ungleich Null zählen, es gibt also $$4$$ signifikante Ziffern. | | $$31{,}00 \text{cm}$$ | Nullen nach dem Dezimalpunkt zählen, sodass $$4$$ signifikante Ziffern vorhanden sind. | | $$0{,}0026 \text{kg}$$ | Nullen vor der ersten Ziffer ungleich Null enthalten nur Stellenwerte, daher gibt es $$2$$ signifikante Ziffern. | | $$1000 \text{ m}$$ | Die nachgestellten Nullen sind ohne Angabe der Auflösung oder Stellenzahl mehrdeutig. | | $$3{,}14 \times 10^{-5} \text{m}$$ | Der Koeffizient $$3{,}14$$ hat $$3$$ signifikante Stellen. | Visible text: | Schreibweise des Messwerts | So werden die signifikanten Stellen gelesen | | :------------------ | :---------------------------------- | | | Jede Ziffer ungleich Null zählt, daher gibt es signifikante Ziffern. | | | Nullen zwischen Ziffern ungleich Null zählen, es gibt also signifikante Ziffern. | | | Nullen nach dem Dezimalpunkt zählen, sodass signifikante Ziffern vorhanden sind. | | | Nullen vor der ersten Ziffer ungleich Null enthalten nur Stellenwerte, daher gibt es signifikante Ziffern. | | | Die nachgestellten Nullen sind ohne Angabe der Auflösung oder Stellenzahl mehrdeutig. | | | Der Koeffizient hat signifikante Stellen. | In der wissenschaftlichen Schreibweise gibt eine Potenz wie $$10^{-5}$$ nur die Größenordnung an. Sie fügt keine signifikante Stelle hinzu. Visible text: In der wissenschaftlichen Schreibweise gibt eine Potenz wie nur die Größenordnung an. Sie fügt keine signifikante Stelle hinzu. Soll eine Null ausdrücklich signifikant sein, muss die Schreibweise das eindeutig zeigen. Dafür eignet sich die wissenschaftliche Schreibweise besonders gut. ```math \begin{aligned} 1000 \text{m} \text{mit} 1 \text{signifikanten Stelle} &= 1 \times 10^3 \text{m} \\ 1000 \text{m} \text{mit} 4 \text{signifikanten Stellen} &= 1{,}000 \times 10^3 \text{m} \end{aligned} ``` ## Einmal anhand der ersten wegfallenden Ziffer runden Steht die zulässige Stellenzahl fest, entscheidet die erste wegfallende Ziffer über das Runden. | Erste weggelassene Ziffer | Entscheidung | | :------------------ | :------- | | $$<5$$ | Die letzte beibehaltene Ziffer bleibt unverändert. | | $$>5$$ oder $$5$$ mit einer folgenden Ziffer ungleich null | Die letzte beibehaltene Ziffer wird um $$1$$ erhöht. | | Genau $$5$$, auf die nur Nullen folgen | Runde zur geraden Zahl: Eine gerade letzte Ziffer bleibt, eine ungerade wird um $$1$$ erhöht. | Visible text: | Erste weggelassene Ziffer | Entscheidung | | :------------------ | :------- | | | Die letzte beibehaltene Ziffer bleibt unverändert. | | oder mit einer folgenden Ziffer ungleich null | Die letzte beibehaltene Ziffer wird um erhöht. | | Genau , auf die nur Nullen folgen | Runde zur geraden Zahl: Eine gerade letzte Ziffer bleibt, eine ungerade wird um erhöht. | Soll eine berechnete Fläche von $$52{,}976686625 \text{cm}^2$$ mit $$4$$ signifikanten Stellen angegeben werden, ist die nächste Ziffer $$6$$. Visible text: Soll eine berechnete Fläche von mit signifikanten Stellen angegeben werden, ist die nächste Ziffer . ```math 52{,}976686625 \text{cm}^2 \to 52{,}98 \text{cm}^2 ``` Beim Wert $$52{,}973376625 \text{cm}^2$$ ist die nächste Ziffer dagegen $$3$$. Visible text: Beim Wert ist die nächste Ziffer dagegen . ```math 52{,}973376625 \text{cm}^2 \to 52{,}97 \text{cm}^2 ``` Bei einem exakten Halbwert verhindert die Rundung zur geraden Zahl, dass eine lange Wertfolge systematisch nach oben verzerrt wird. ```math \begin{aligned} 7{,}450 &\to 7{,}4 \\ 7{,}550 &\to 7{,}6 \end{aligned} ``` Runde direkt vom ungerundeten Wert auf die endgültige Genauigkeit. Runde nicht über mehrere Zwischenwerte. ## Addition folgt der Dezimalstelle Bei Addition und Subtraktion richtet sich das Ergebnis nach den Nachkommastellen. Der gröbste Messwert bestimmt die letzte zulässige Stelle. Ein Eisenstab mit $$8{,}235 \text{cm}$$ Länge wird mit einem zweiten Stab von $$4{,}5 \text{cm}$$ verbunden. Visible text: Ein Eisenstab mit Länge wird mit einem zweiten Stab von verbunden. ```math \begin{aligned} 8{,}235 \text{cm}+4{,}5 \text{cm} &= 12{,}735 \text{cm} \\ &\to 12{,}7 \text{cm} \end{aligned} ``` Der Wert $$12{,}735 \text{cm}$$ wird auf $$1$$ Nachkommastelle gerundet, weil $$4{,}5 \text{cm}$$ ebenfalls nur $$1$$ Nachkommastelle besitzt. Visible text: Der Wert wird auf Nachkommastelle gerundet, weil ebenfalls nur Nachkommastelle besitzt. ## Multiplikation folgt den am wenigsten präzisen Daten Bei Multiplikation und Division verwendet die schulische Kurzregel die kleinste Anzahl signifikanter Stellen in den Messdaten. Sie ist eine Berichtsregel und ersetzt keine Unsicherheitsfortpflanzung, wenn Messunsicherheiten vorliegen. Ein Rechteck sei $$12{,}455 \text{cm}$$ breit und $$35{,}2 \text{cm}$$ lang. Visible text: Ein Rechteck sei breit und lang. ```math \begin{aligned} A &= l \times w \\ &= 35{,}2 \text{cm} \times 12{,}455 \text{cm} \\ &= 438{,}416 \text{cm}^2 \\ &\to 438 \text{cm}^2 \end{aligned} ``` Der Wert $$12{,}455 \text{cm}$$ hat $$5$$ signifikante Stellen, $$35{,}2 \text{cm}$$ dagegen nur $$3$$. Deshalb wird die Fläche mit $$3$$ signifikanten Stellen angegeben. Visible text: Der Wert hat signifikante Stellen, dagegen nur . Deshalb wird die Fläche mit signifikanten Stellen angegeben. Bei einem Flaschendeckel mit dem Durchmesser $$3{,}12 \text{cm}$$ begrenzen exakte Formelfaktoren wie $$\pi$$ und $$\frac{1}{4}$$ die Stellenzahl nicht, weil sie keine Messdaten sind. Verwende den Rechnerwert von $$\pi$$ und behalte bis zur letzten Zeile zusätzliche Stellen. Visible text: Bei einem Flaschendeckel mit dem Durchmesser begrenzen exakte Formelfaktoren wie und die Stellenzahl nicht, weil sie keine Messdaten sind. Verwende den Rechnerwert von und behalte bis zur letzten Zeile zusätzliche Stellen. ```math \begin{aligned} A &= \frac{1}{4}\pi d^2 \\ &= \frac{1}{4}\pi(3{,}12 \text{cm})^2 \\ &= 7{,}645379881\ldots \text{cm}^2 \\ &\to 7{,}65 \text{cm}^2 \end{aligned} ``` Ist eine SI-Angabe verlangt, wird $$\text{cm}^2$$ in $$\text{m}^2$$ umgerechnet. Visible text: Ist eine SI-Angabe verlangt, wird in umgerechnet. ```math 7{,}65 \text{cm}^2 = 0{,}000765 \text{m}^2 = 7{,}65 \times 10^{-4} \text{m}^2 ``` Die schulischen Rechenregeln führt [OpenStax University Physics](https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-6-significant-figures) ein. NIST dokumentiert die Rundung zur geraden Zahl, das einmalige Runden und ungerundete Umrechnungsfaktoren im [Handbook 130](https://www.nist.gov/document/2023-nist-hb130-uniform-packaging-and-labeling-regulation).