# Vektoraddition und -subtraktion mit der analytischen Methode

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/physik/vektoren/analytische-addition-und-subtraktion
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Vektoren über ihre x- und y-Komponenten addieren und subtrahieren sowie Betrag und Richtung der Resultierenden bestimmen.

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## Die Resultierende aus Komponenten berechnen

Mit der grafischen Methode lässt sich die Richtung der Resultierenden gut erkennen. Wie genau das Ergebnis ist, hängt jedoch von der Zeichnung ab. Die analytische Methode liefert ein präziseres Ergebnis, weil sie mit den Vektorkomponenten rechnet.

Dazu wird jeder Vektor in seine Komponenten entlang der $$x$$- und $$y$$-Achse zerlegt. Anschließend werden die Komponenten achsenweise addiert und wieder zur Resultierenden zusammengesetzt.

Visible text: Dazu wird jeder Vektor in seine Komponenten entlang der - und -Achse zerlegt. Anschließend werden die Komponenten achsenweise addiert und wieder zur Resultierenden zusammengesetzt.

Component: MathContainer
Children:

```math
R_x=\sum F_x
```

```math
R_y=\sum F_y
```

> Bei der analytischen Methode werden Vektoren achsenweise addiert, nicht unmittelbar über die Längen ihrer Pfeile.

## Schritte für die Vektoraddition

Angenommen, auf einen Körper wirken die Kräfte $$\vec{F}_1$$, $$\vec{F}_2$$ und $$\vec{F}_3$$. Zunächst wird jede Kraft in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegt.

Visible text: Angenommen, auf einen Körper wirken die Kräfte , und . Zunächst wird jede Kraft in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegt.

Sind alle Komponenten bekannt, ergeben sich die Komponenten der Resultierenden zu:

Component: MathContainer
Children:

```math
R_x=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}+\cdots
```

```math
R_y=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}+\cdots
```

Ihr Betrag ist:

```math
R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}
```

Der Winkel der Resultierenden gegenüber der positiven $$x$$-Achse lässt sich am zuverlässigsten mit dem zweistelligen Arkustangens bestimmen:

Visible text: Der Winkel der Resultierenden gegenüber der positiven -Achse lässt sich am zuverlässigsten mit dem zweistelligen Arkustangens bestimmen:

```math
\theta=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)
```

Anders als $$\tan^{-1}(R_y/R_x)$$ verwendet $$\operatorname{atan2}$$ die Vorzeichen beider Komponenten und ordnet die Richtung dadurch dem richtigen Quadranten zu.

Visible text: Anders als verwendet die Vorzeichen beider Komponenten und ordnet die Richtung dadurch dem richtigen Quadranten zu.

## Beispiel: Verschiebung in zwei Etappen

Eine Person legt einen Weg in zwei Etappen zurück. Die erste Etappe entspricht $$80\text{ m}$$ nach Osten und $$60\text{ m}$$ nach Norden. Die zweite Etappe entspricht $$120\text{ m}$$ nach Osten und $$90\text{ m}$$ nach Norden.

Visible text: Eine Person legt einen Weg in zwei Etappen zurück. Die erste Etappe entspricht nach Osten und nach Norden. Die zweite Etappe entspricht nach Osten und nach Norden.

| Verschiebungsvektor | $$x$$-Komponente | $$y$$-Komponente |
| :------------------ | :-------------------------------- | :-------------------------------- |
| $$\vec{s}_1$$ | $$80\text{ m}$$ | $$60\text{ m}$$ |
| $$\vec{s}_2$$ | $$120\text{ m}$$ | $$90\text{ m}$$ |
| $$\vec{R}$$ | $$200\text{ m}$$ | $$150\text{ m}$$ |

Visible text: | Verschiebungsvektor | -Komponente | -Komponente |
| :------------------ | :-------------------------------- | :-------------------------------- |
| | | |
| | | |
| | | |

Die Komponenten der Resultierenden sind:

Component: MathContainer
Children:

```math
R_x=80+120=200\text{ m}
```

```math
R_y=60+90=150\text{ m}
```

Der Betrag der gesamten Verschiebung ist:

```math
\begin{aligned}
R&=\sqrt{200^2+150^2} \\
&=\sqrt{40000+22500} \\
&=250\text{ m}
\end{aligned}
```

Für ihre Richtung gilt:

```math
\tan\theta=\frac{150}{200}=0{,}75
```

Damit liegt die Richtung bei $$\theta\approx36{,}9^\circ$$ nördlich von Osten. Die gesamte Verschiebung beträgt also $$250\text{ m}$$ unter einem Winkel von $$36{,}9^\circ$$ nördlich der Ostrichtung.

Visible text: Damit liegt die Richtung bei nördlich von Osten. Die gesamte Verschiebung beträgt also unter einem Winkel von nördlich der Ostrichtung.

## Subtraktion mit Komponenten

Die Vektorsubtraktion erfolgt ebenfalls Komponente für Komponente. Wenn $$\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$$, dann:

Visible text: Die Vektorsubtraktion erfolgt ebenfalls Komponente für Komponente. Wenn , dann:

Component: MathContainer
Children:

```math
C_x=A_x-B_x
```

```math
C_y=A_y-B_y
```

Betrachten wir zum Beispiel $$\vec{A}=7\hat{i}+4\hat{j}$$ und $$\vec{B}=2\hat{i}+6\hat{j}$$.

Visible text: Betrachten wir zum Beispiel und .

```math
\begin{aligned}
\vec{C}&=(7-2)\hat{i}+(4-6)\hat{j} \\
&=5\hat{i}-2\hat{j}
\end{aligned}
```

Das negative Vorzeichen in $$-2\hat{j}$$ bedeutet, dass die resultierende $$y$$-Komponente nach unten zeigt.

Visible text: Das negative Vorzeichen in bedeutet, dass die resultierende -Komponente nach unten zeigt.

Für die Subtraktion ist also keine neue Regel nötig. Die Achsen bleiben gleich, gleichartige Komponenten werden voneinander abgezogen, und die Vorzeichen zeigen anschließend die Richtung der resultierenden Komponenten an.