# Vektorkomponenten

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Einen Vektor mithilfe von Einheitsvektoren in Komponenten entlang der x-, y- und z-Achse zerlegen.

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## Warum Vektoren in Komponenten aufgeteilt werden

Ein schräg verlaufender Vektor ist schwer zu berechnen, solange wir ihn nur als einen Pfeil betrachten. Deshalb zerlegen wir ihn in Teile, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Diese Teile heißen **Vektorkomponenten**.

Die horizontale Komponente gibt den Anteil des Vektors entlang der $$x$$-Achse an. Die vertikale Komponente beschreibt entsprechend den Anteil entlang der $$y$$-Achse. Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Komponente entlang der $$z$$-Achse hinzu.

Visible text: Die horizontale Komponente gibt den Anteil des Vektors entlang der -Achse an. Die vertikale Komponente beschreibt entsprechend den Anteil entlang der -Achse. Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Komponente entlang der -Achse hinzu.

> Vektorkomponenten zerlegen einen schrägen Pfeil in achsenparallele Teile.

## Komponenten in der Ebene lesen

In einer Ebene lässt sich der Vektor $$\vec{A}$$ als Summe seiner $$x$$- und $$y$$-Komponente schreiben.

Visible text: In einer Ebene lässt sich der Vektor als Summe seiner - und -Komponente schreiben.

```math
\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}
```

Dabei ist $$\hat{i}$$ der Einheitsvektor in $$x$$-Richtung und $$\hat{j}$$ der Einheitsvektor in $$y$$-Richtung. Die vorzeichenbehafteten Skalare $$A_x$$ und $$A_y$$ geben die Komponenten entlang der beiden Achsen an; ihr Vorzeichen kennzeichnet die jeweilige Achsenrichtung.

Visible text: Dabei ist der Einheitsvektor in -Richtung und der Einheitsvektor in -Richtung. Die vorzeichenbehafteten Skalare und geben die Komponenten entlang der beiden Achsen an; ihr Vorzeichen kennzeichnet die jeweilige Achsenrichtung.

Beispielsweise bedeutet $$\vec{A}=6\hat{i}+8\hat{j}$$, dass der Vektor $$6$$ Einheiten in positive $$x$$-Richtung und $$8$$ Einheiten in positive $$y$$-Richtung zeigt.

Visible text: Beispielsweise bedeutet , dass der Vektor Einheiten in positive -Richtung und Einheiten in positive -Richtung zeigt.

```math
\lvert\vec{A}\rvert=\sqrt{6^2+8^2}=10
```

Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras, weil die $$x$$- und $$y$$-Komponente senkrecht aufeinander stehen.

Visible text: Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras, weil die - und -Komponente senkrecht aufeinander stehen.

## Komponenten im dreidimensionalen Raum

Im dreidimensionalen Raum benötigt ein Vektor drei Komponenten. Die allgemeine Form ist:

```math
\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}
```

Der Einheitsvektor $$\hat{k}$$ zeigt entlang der $$z$$-Achse. Diese Komponente wird gebraucht, wenn eine Bewegung oder Kraft nicht auf eine Ebene beschränkt ist, etwa bei einer Drohne, die sich gleichzeitig nach Osten, nach Norden und nach oben bewegt.

Visible text: Der Einheitsvektor zeigt entlang der -Achse. Diese Komponente wird gebraucht, wenn eine Bewegung oder Kraft nicht auf eine Ebene beschränkt ist, etwa bei einer Drohne, die sich gleichzeitig nach Osten, nach Norden und nach oben bewegt.

Component: Vector3d
Props:
- title: Komponenten von $$\vec{A}$$
  Visible text: Komponenten von
- description: Der Vektor $$\vec{A}=4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$$ wird in
drei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt.
  Visible text: Der Vektor wird in
drei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt.
- vectors: (() => {
const components = [
[4, 0, 0],
[0, 3, 0],
[0, 0, 2],
];
const points = components.reduce(
(path, component) => [
...path,
path.at(-1).map((value, index) => value + component.at(index)),
],
[[0, 0, 0]]
);
const resultant = components.reduce(
(sum, component) =>
sum.map((value, index) => value + component.at(index)),
[0, 0, 0]
);

return [
{
from: [0, 0, 0],
to: resultant,
color: "#7c3aed",
label: $$A$$,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 3 / 5,
labelOffset: [0.35, 0.55, 0.3],
},
{
from: points[0],
to: points[1],
color: "#0d9488",
label: $$A_x$$,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0, -0.45, 0],
},
{
from: points[1],
to: points[2],
color: "#d97706",
label: $$A_y$$,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0.55, 0, 0.15],
},
{
from: points[2],
to: points[3],
color: "#0891b2",
label: $$A_z$$,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0.65, -0.25, 0.15],
},
];
})()
  Visible text: (() => {
const components = [
[4, 0, 0],
[0, 3, 0],
[0, 0, 2],
];
const points = components.reduce(
(path, component) => [
...path,
path.at(-1).map((value, index) => value + component.at(index)),
],
[[0, 0, 0]]
);
const resultant = components.reduce(
(sum, component) =>
sum.map((value, index) => value + component.at(index)),
[0, 0, 0]
);

return [
{
from: [0, 0, 0],
to: resultant,
color: "#7c3aed",
label: ,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 3 / 5,
labelOffset: [0.35, 0.55, 0.3],
},
{
from: points[0],
to: points[1],
color: "#0d9488",
label: ,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0, -0.45, 0],
},
{
from: points[1],
to: points[2],
color: "#d97706",
label: ,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0.55, 0, 0.15],
},
{
from: points[2],
to: points[3],
color: "#0891b2",
label: ,
labelAnchorX: "center",
labelProgress: 1 / 2,
labelOffset: [0.65, -0.25, 0.15],
},
];
})()
- cameraPosition: [8, 6, 9]
- cameraTarget: [2, -0.5, 1]

Die Darstellung setzt die Komponenten nacheinander zusammen: zuerst entlang der $$x$$-Achse, dann entlang der $$y$$-Achse und schließlich entlang der $$z$$-Achse. Der so erreichte Endpunkt stimmt mit dem Endpunkt des Vektors $$\vec{A}$$ überein.

Visible text: Die Darstellung setzt die Komponenten nacheinander zusammen: zuerst entlang der -Achse, dann entlang der -Achse und schließlich entlang der -Achse. Der so erreichte Endpunkt stimmt mit dem Endpunkt des Vektors überein.

## Positive und negative Vorzeichen

Komponenten können positiv oder negativ sein. Das Vorzeichen zeigt die Richtung relativ zur Referenzachse an, keinen negativen Vektorbetrag.

| Komponente | Positives Vorzeichen | Negatives Vorzeichen |
| :--------- | :------------------- | :------------------- |
| $$A_x$$ | in positiver $$x$$-Richtung | in negativer $$x$$-Richtung |
| $$A_y$$ | in positiver $$y$$-Richtung | in negativer $$y$$-Richtung |
| $$A_z$$ | in positiver $$z$$-Richtung | in negativer $$z$$-Richtung |

Visible text: | Komponente | Positives Vorzeichen | Negatives Vorzeichen |
| :--------- | :------------------- | :------------------- |
| | in positiver -Richtung | in negativer -Richtung |
| | in positiver -Richtung | in negativer -Richtung |
| | in positiver -Richtung | in negativer -Richtung |

Für $$\vec{B}=-5\hat{i}+2\hat{j}$$ zeigt die Komponente mit dem Betrag $$5$$ in negativer $$x$$-Richtung. Die Komponente mit dem Betrag $$2$$ zeigt dagegen in positiver $$y$$-Richtung.

Visible text: Für zeigt die Komponente mit dem Betrag in negativer -Richtung. Die Komponente mit dem Betrag zeigt dagegen in positiver -Richtung.

## Eine Verschiebung in Komponenten schreiben

Ein Schüler geht $$3\text{ m}$$ nach Osten und anschließend $$4\text{ m}$$ nach Norden. Wird Osten als positive $$x$$-Richtung und Norden als positive $$y$$-Richtung festgelegt, lautet der Verschiebungsvektor:

Visible text: Ein Schüler geht nach Osten und anschließend nach Norden. Wird Osten als positive -Richtung und Norden als positive -Richtung festgelegt, lautet der Verschiebungsvektor:

Component: MathContainer
Children:

```math
\vec{s}=3\hat{i}+4\hat{j}
```

```math
\lvert\vec{s}\rvert=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ m}
```

Die Komponentenform hält die Rechnung übersichtlich, weil jede Richtung auf ihrer eigenen Achse behandelt wird.

Aus der Komponentenform ist sofort erkennbar, dass die resultierende Verschiebung zugleich nach Osten und nach Norden zeigt. Ihr Betrag von $$5\text{ m}$$ ergibt sich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen $$3\text{ m}$$ und $$4\text{ m}$$.

Visible text: Aus der Komponentenform ist sofort erkennbar, dass die resultierende Verschiebung zugleich nach Osten und nach Norden zeigt. Ihr Betrag von ergibt sich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen und .