# Den Betrag der Resultierenden mit dem Kosinussatz bestimmen

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Den Betrag der Resultierenden zweier Vektoren mit bekanntem Zwischenwinkel mithilfe des Kosinussatzes bestimmen.

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## Wenn zwei Vektoren einen Winkel bilden

Zeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung, werden ihre Beträge einfach addiert. Zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, ergibt sich die Differenz ihrer Beträge. Viele Kräfte und Verschiebungen schließen jedoch einen anderen Winkel ein. Dann lässt sich der Betrag der Resultierenden mit dem **Kosinussatz** bestimmen.

Der Kosinussatz eignet sich, wenn die Beträge der beiden Vektoren $$\vec{A}$$ und $$\vec{B}$$ sowie ihr Zwischenwinkel $$\theta$$ bekannt sind.

Visible text: Der Kosinussatz eignet sich, wenn die Beträge der beiden Vektoren und sowie ihr Zwischenwinkel bekannt sind.

```math
R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta}
```

> Der Winkel $$\theta$$ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn ihre Fußpunkte zusammenliegen.

Visible text: > Der Winkel ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, wenn ihre Fußpunkte zusammenliegen.

## Warum der Kosinus vorkommt

Der Kosinussatz kommt ins Spiel, weil die beiden Vektoren und ihre Resultierende ein Dreieck mit zwei bekannten Seiten bilden. Bei einem kleinen Zwischenwinkel verstärken sich die Vektoren stark. Nähert sich der Winkel $$180^\circ$$, heben sich ihre Wirkungen zunehmend auf.

Visible text: Der Kosinussatz kommt ins Spiel, weil die beiden Vektoren und ihre Resultierende ein Dreieck mit zwei bekannten Seiten bilden. Bei einem kleinen Zwischenwinkel verstärken sich die Vektoren stark. Nähert sich der Winkel , heben sich ihre Wirkungen zunehmend auf.

Der Wert von $$\cos\theta$$ bildet diesen Übergang ab:

Visible text: Der Wert von bildet diesen Übergang ab:

| Zwischenwinkel | Wert von $$\cos\theta$$ | Physikalische Bedeutung |
| :------------- | :----------------------------------------- | :----------------------- |
| $$0^\circ$$ | $$1$$ | Die Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und verstärken sich vollständig. |
| $$90^\circ$$ | $$0$$ | Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander. |
| $$180^\circ$$ | $$-1$$ | Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen. |

Visible text: | Zwischenwinkel | Wert von | Physikalische Bedeutung |
| :------------- | :----------------------------------------- | :----------------------- |
| | | Die Vektoren zeigen in dieselbe Richtung und verstärken sich vollständig. |
| | | Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander. |
| | | Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen. |

Für $$\theta=90^\circ$$ geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über, weil $$\cos90^\circ=0$$ gilt.

Visible text: Für geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über, weil gilt.

## Beispiel: Resultierende zweier Kräfte

An einem Punkt wirken zwei Kräfte. Die erste hat den Betrag $$10\text{ N}$$, die zweite den Betrag $$8\text{ N}$$. Der Winkel zwischen ihnen beträgt $$60^\circ$$. Gesucht ist der Betrag der Resultierenden.

Visible text: An einem Punkt wirken zwei Kräfte. Die erste hat den Betrag , die zweite den Betrag . Der Winkel zwischen ihnen beträgt . Gesucht ist der Betrag der Resultierenden.

Einsetzen in den Kosinussatz ergibt:

```math
\begin{aligned}
R&=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\theta} \\
&=\sqrt{10^2+8^2+2(10)(8)\cos60^\circ} \\
&=\sqrt{100+64+160(0{,}5)} \\
&=\sqrt{244} \\
&\approx15{,}6\text{ N}
\end{aligned}
```

Die Resultierende ist kleiner als $$18\text{ N}$$, weil die beiden Kräfte nicht genau gleichgerichtet sind. Sie ist aber größer als jede einzelne Kraft, da beide noch in hinreichend ähnliche Richtungen zeigen.

Visible text: Die Resultierende ist kleiner als , weil die beiden Kräfte nicht genau gleichgerichtet sind. Sie ist aber größer als jede einzelne Kraft, da beide noch in hinreichend ähnliche Richtungen zeigen.

## Überprüfung mit Grenzfällen

Grenzfälle zeigen, ob ein Ergebnis plausibel ist. Für $$0^\circ$$ muss die Formel $$A+B$$ liefern.

Visible text: Grenzfälle zeigen, ob ein Ergebnis plausibel ist. Für muss die Formel liefern.

```math
R=\sqrt{A^2+B^2+2AB}=\sqrt{(A+B)^2}=A+B
```

Für $$180^\circ$$ muss sie die Differenz der Beträge liefern.

Visible text: Für muss sie die Differenz der Beträge liefern.

```math
R=\sqrt{A^2+B^2-2AB}=\sqrt{(A-B)^2}=\lvert A-B\rvert
```

Diese Prüfung verbindet den Kosinussatz mit den einfacheren Fällen gleichgerichteter, entgegengesetzter und senkrechter Vektoren.

## Wann ist der Kosinussatz sinnvoll?

Der Kosinussatz ist geeignet, wenn:

- genau zwei Vektoren vorliegen;
- die Beträge beider Vektoren bekannt sind;
- der Zwischenwinkel bekannt ist;
- der Betrag der Resultierenden gesucht ist.

Bei mehr als zwei Vektoren oder bei Winkeln, die gegenüber Koordinatenachsen angegeben sind, ist die Komponentenmethode meist übersichtlicher. Der Kosinussatz passt am besten zu zwei Vektoren mit genau einem bekannten Zwischenwinkel.