# Die Richtung der Resultierenden mit dem Sinussatz bestimmen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/physik/vektoren/sinussatz Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/physics/vector/sine-rule/de.mdx Nach dem Betrag auch die Richtung der Resultierenden zweier Vektoren mithilfe des Sinussatzes bestimmen. --- ## Für die Richtung wird ein weiterer Winkel gebraucht Der Kosinussatz liefert den Betrag der Resultierenden, aber noch nicht ihre vollständige Richtung. Bei einer Vektoraufgabe ist eine Antwort wie $$15{,}6\text{ N}$$ unvollständig, solange die Richtung der Kraft fehlt. Visible text: Der Kosinussatz liefert den Betrag der Resultierenden, aber noch nicht ihre vollständige Richtung. Bei einer Vektoraufgabe ist eine Antwort wie unvollständig, solange die Richtung der Kraft fehlt. Bei zwei Vektoren lässt sich die Richtung der Resultierenden mit dem **Sinussatz** bestimmen. Er wird auf das Dreieck angewendet, das die beiden Vektoren und ihre Resultierende bilden. ```math \frac{\sin\phi}{B}=\frac{\sin\theta}{R} ``` Dabei ist $$\theta$$ der Zwischenwinkel von $$\vec{A}$$ und $$\vec{B}$$, $$R$$ der Betrag der Resultierenden und $$\phi$$ der Winkel zwischen $$\vec{A}$$ und der Resultierenden $$\vec{R}$$. Visible text: Dabei ist der Zwischenwinkel von und , der Betrag der Resultierenden und der Winkel zwischen und der Resultierenden . > Der Sinussatz wird gewöhnlich erst angewendet, wenn der Betrag der Resultierenden bekannt ist. ## Den gesuchten Winkel richtig ablesen Vor der Rechnung muss die Bezugsrichtung feststehen. Ist die Richtung der Resultierenden relativ zu $$\vec{A}$$ gesucht, wird der Winkel von $$\vec{A}$$ zu $$\vec{R}$$ gemessen. Visible text: Vor der Rechnung muss die Bezugsrichtung feststehen. Ist die Richtung der Resultierenden relativ zu gesucht, wird der Winkel von zu gemessen. Wird dagegen die Richtung relativ zu $$\vec{B}$$ verlangt, ist ein anderer Winkel gemeint. Die Winkel dürfen deshalb nicht vertauscht werden, ohne zuvor das Vektordreieck zu prüfen. Visible text: Wird dagegen die Richtung relativ zu verlangt, ist ein anderer Winkel gemeint. Die Winkel dürfen deshalb nicht vertauscht werden, ohne zuvor das Vektordreieck zu prüfen. Häufig wird folgende Beziehung verwendet: Component: MathContainer Children: ```math \sin\phi=\frac{B\sin\theta}{R} ``` ```math \phi=\sin^{-1}\left(\frac{B\sin\theta}{R}\right) ``` Diese Formel liefert den Winkel der Resultierenden relativ zu $$\vec{A}$$. Der Seite gegenüber dem Winkel $$\phi$$ entspricht der Vektorbetrag $$B$$. Deshalb steht $$B$$ im Zähler. Visible text: Diese Formel liefert den Winkel der Resultierenden relativ zu . Der Seite gegenüber dem Winkel entspricht der Vektorbetrag . Deshalb steht im Zähler. ## Beispiel: Richtung der resultierenden Kraft An einem Punkt wirken zwei Kräfte mit $$A=10\text{ N}$$ und $$B=8\text{ N}$$. Ihr Zwischenwinkel beträgt $$60^\circ$$. Aus dem Kosinussatz ist bereits der Betrag $$R\approx15{,}6\text{ N}$$ bekannt. Visible text: An einem Punkt wirken zwei Kräfte mit und . Ihr Zwischenwinkel beträgt . Aus dem Kosinussatz ist bereits der Betrag bekannt. Gesucht ist nun der Winkel $$\phi$$ zwischen $$\vec{A}$$ und $$\vec{R}$$. Visible text: Gesucht ist nun der Winkel zwischen und . ```math \begin{aligned} \sin\phi&=\frac{B\sin\theta}{R} \\ &=\frac{8\sin60^\circ}{15{,}6} \\ &=\frac{8(0{,}866)}{15{,}6} \\ &\approx0{,}444 \end{aligned} ``` Damit folgt: ```math \phi=\sin^{-1}(0{,}444)\approx26{,}4^\circ ``` Die resultierende Kraft hat also einen Betrag von etwa $$15{,}6\text{ N}$$ und liegt um $$26{,}4^\circ$$ von $$\vec{A}$$ in Richtung $$\vec{B}$$ gedreht. Visible text: Die resultierende Kraft hat also einen Betrag von etwa und liegt um von in Richtung gedreht. ## Überprüfung mit Komponenten Dasselbe Ergebnis lässt sich mit Komponenten prüfen. Liegt $$\vec{A}$$ auf der positiven $$x$$-Achse, gilt: Visible text: Dasselbe Ergebnis lässt sich mit Komponenten prüfen. Liegt auf der positiven -Achse, gilt: Component: MathContainer Children: ```math R_x=A+B\cos\theta ``` ```math R_y=B\sin\theta ``` ```math \tan\phi=\frac{R_y}{R_x} ``` Für dasselbe Beispiel ergibt sich: ```math \tan\phi=\frac{8\sin60^\circ}{10+8\cos60^\circ}=\frac{6{,}928}{14}\approx0{,}495 ``` Auch hier folgt $$\phi\approx26{,}4^\circ$$, also dasselbe Ergebnis wie mit dem Sinussatz. Diese Kontrolle hilft besonders, wenn unklar ist, auf welchen Vektor sich der gesuchte Winkel bezieht. Visible text: Auch hier folgt , also dasselbe Ergebnis wie mit dem Sinussatz. Diese Kontrolle hilft besonders, wenn unklar ist, auf welchen Vektor sich der gesuchte Winkel bezieht. Da $$\sin\phi=\sin(180^\circ-\phi)$$ gilt, kann die Umkehrfunktion des Sinus einen spitzen Winkel liefern, obwohl das Dreieck den stumpfen Ergänzungswinkel erfordert. Die Vektorgeometrie oder die Komponentenform $$\phi=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$$ bestimmt den richtigen Quadranten. Visible text: Da gilt, kann die Umkehrfunktion des Sinus einen spitzen Winkel liefern, obwohl das Dreieck den stumpfen Ergänzungswinkel erfordert. Die Vektorgeometrie oder die Komponentenform bestimmt den richtigen Quadranten. ## Wann der Sinussatz weniger praktisch ist Bei mehr als zwei Vektoren oder bei Richtungsangaben gegenüber den Koordinatenachsen ist der Sinussatz weniger praktisch. Dann ist die Komponentenmethode meist sicherer, weil sie alle Richtungen entlang der $$x$$- und $$y$$-Achse ordnet. Visible text: Bei mehr als zwei Vektoren oder bei Richtungsangaben gegenüber den Koordinatenachsen ist der Sinussatz weniger praktisch. Dann ist die Komponentenmethode meist sicherer, weil sie alle Richtungen entlang der - und -Achse ordnet. Der Sinussatz eignet sich für eine klar abgegrenzte Situation: zwei Vektoren, ein bekannter Zwischenwinkel, ein bereits bekannter Betrag der Resultierenden und eine gesuchte Richtung relativ zu einem der beiden Vektoren. Vor der Richtungsangabe muss die Mehrdeutigkeit der Sinusumkehrung aufgelöst werden.