# Vektoren mithilfe der Trigonometrie zerlegen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/physik/vektoren/trigonometrische-zerlegung Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/physics/vector/trigonometry-decomposition/de.mdx Einen schrägen Vektor mithilfe von Sinus und Kosinus in horizontale und vertikale Komponenten zerlegen. --- ## Der Winkel bestimmt die Komponenten Bildet ein Vektor mit einer Achse einen Winkel, lassen sich seine Komponenten trigonometrisch bestimmen. Dabei ist der schräge Vektor die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Seine horizontale und vertikale Komponente bilden die beiden Katheten. Wird der Winkel $$\theta$$ von der positiven $$x$$-Achse aus gemessen, ist die horizontale Komponente die Ankathete. Die vertikale Komponente ist die Gegenkathete. Visible text: Wird der Winkel von der positiven -Achse aus gemessen, ist die horizontale Komponente die Ankathete. Die vertikale Komponente ist die Gegenkathete. Component: MathContainer Children: ```math F_x=F\cos\theta ``` ```math F_y=F\sin\theta ``` > Die Zuordnung von $$\sin$$ und $$\cos$$ sollte nicht blind auswendig gelernt werden. Entscheidend ist immer der Bezugswinkel. Visible text: > Die Zuordnung von und sollte nicht blind auswendig gelernt werden. Entscheidend ist immer der Bezugswinkel. ## Eine schräge Kraft im Koordinatensystem Ein Seil zieht eine Kiste mit der schräg nach rechts oben gerichteten Kraft $$\vec{F}$$. Die Kraft besitzt einen horizontalen Anteil, der die Kiste nach rechts zieht, und einen vertikalen Anteil, der sie leicht anhebt. Visible text: Ein Seil zieht eine Kiste mit der schräg nach rechts oben gerichteten Kraft . Die Kraft besitzt einen horizontalen Anteil, der die Kiste nach rechts zieht, und einen vertikalen Anteil, der sie leicht anhebt. Component: Vector3d Props: - title: Eine schräge Kraft auflösen - description: Die Kraft $$\vec{F}=50\text{ N}$$ bildet einen Winkel von{" "} $$37^\circ$$ mit der Horizontalen. Ihre Komponenten lassen sich daher mit $$\cos37^\circ$$ und{" "} $$\sin37^\circ$$ abschätzen. Visible text: Die Kraft bildet einen Winkel von mit der Horizontalen. Ihre Komponenten lassen sich daher mit und abschätzen. - vectors: (() => { const fx = [4, 0, 0]; const fy = [0, 3, 0]; const resultant = fx.map((component, index) => component + fy.at(index)); return [ { from: [0, 0, 0], to: resultant, color: "#7c3aed", label: $$F$$, labelAnchorX: "center", labelProgress: 3 / 5, labelOffset: [0.25, 0.5, 0.2], }, { from: [0, 0, 0], to: fx, color: "#0d9488", label: $$F_x$$, labelAnchorX: "center", labelProgress: 1 / 2, labelOffset: [0, -0.45, 0], }, { from: fx, to: resultant, color: "#d97706", label: $$F_y$$, labelAnchorX: "center", labelProgress: 1 / 2, labelOffset: [0.55, 0, 0.2], }, ]; })() Visible text: (() => { const fx = [4, 0, 0]; const fy = [0, 3, 0]; const resultant = fx.map((component, index) => component + fy.at(index)); return [ { from: [0, 0, 0], to: resultant, color: "#7c3aed", label: , labelAnchorX: "center", labelProgress: 3 / 5, labelOffset: [0.25, 0.5, 0.2], }, { from: [0, 0, 0], to: fx, color: "#0d9488", label: , labelAnchorX: "center", labelProgress: 1 / 2, labelOffset: [0, -0.45, 0], }, { from: fx, to: resultant, color: "#d97706", label: , labelAnchorX: "center", labelProgress: 1 / 2, labelOffset: [0.55, 0, 0.2], }, ]; })() - cameraPosition: [7, 5, 8] - cameraTarget: [2, -0.8, 0] Werden $$F_x$$ und anschließend $$F_y$$ aneinandergefügt, wird derselbe Endpunkt wie mit dem Vektor $$\vec{F}$$ erreicht. Die Komponenten sind also keine zusätzlichen Kräfte, sondern eine andere Darstellung derselben Kraft. Visible text: Werden und anschließend aneinandergefügt, wird derselbe Endpunkt wie mit dem Vektor erreicht. Die Komponenten sind also keine zusätzlichen Kräfte, sondern eine andere Darstellung derselben Kraft. ## Eine schräge Kraft in Komponenten umwandeln Eine Kraft von $$50\text{ N}$$ wirkt unter einem Winkel von $$37^\circ$$ über der Horizontalen. Näherungsweise gelten $$\cos37^\circ\approx0{,}8$$ und $$\sin37^\circ\approx0{,}6$$. Visible text: Eine Kraft von wirkt unter einem Winkel von über der Horizontalen. Näherungsweise gelten und . Component: MathContainer Children: ```math \begin{aligned} F_x&=F\cos\theta \\ &=50(0{,}8) \\ &=40\text{ N} \end{aligned} ``` ```math \begin{aligned} F_y&=F\sin\theta \\ &=50(0{,}6) \\ &=30\text{ N} \end{aligned} ``` Die schräge Kraft von $$50\text{ N}$$ entspricht damit einer horizontalen Komponente von $$40\text{ N}$$ nach rechts und einer vertikalen Komponente von $$30\text{ N}$$ nach oben. Visible text: Die schräge Kraft von entspricht damit einer horizontalen Komponente von nach rechts und einer vertikalen Komponente von nach oben. Diese beiden Komponenten kommen nicht als weitere Kräfte hinzu. Sie beschreiben dieselbe Kraft lediglich getrennt nach horizontaler und vertikaler Richtung. ## Wenn der Winkel von der vertikalen Achse gemessen wird Mit dem Bezugswinkel ändert sich auch die Zuordnung. Wird $$\theta$$ von der $$y$$-Achse aus gemessen, ist $$F_y$$ die anliegende Komponente. Visible text: Mit dem Bezugswinkel ändert sich auch die Zuordnung. Wird von der -Achse aus gemessen, ist die anliegende Komponente. Component: MathContainer Children: ```math F_y=F\cos\theta ``` ```math F_x=F\sin\theta ``` Vor dem Einsetzen sollte deshalb immer geklärt werden: Von welcher Achse aus wird der Winkel gemessen? Diese kurze Prüfung verhindert einen häufigen Fehler bei der Vektorzerlegung. ## Die Vorzeichen der Komponenten folgen dem Quadranten Ist $$\theta$$ der vollständige Standardwinkel, der von der positiven $$x$$-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, liefern $$\cos\theta$$ und $$\sin\theta$$ bereits die Vorzeichen der Komponenten. Wird stattdessen ein spitzer Bezugswinkel verwendet, werden zunächst die Komponentenbeträge berechnet und anschließend die Vorzeichen aus dem Quadranten bestimmt. Visible text: Ist der vollständige Standardwinkel, der von der positiven -Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, liefern und bereits die Vorzeichen der Komponenten. Wird stattdessen ein spitzer Bezugswinkel verwendet, werden zunächst die Komponentenbeträge berechnet und anschließend die Vorzeichen aus dem Quadranten bestimmt. | Vektorrichtung | Vorzeichen von $$F_x$$ | Vorzeichen von $$F_y$$ | | :-------------- | :----------------------------------- | :----------------------------------- | | rechts oben | positiv | positiv | | links oben | negativ | positiv | | unten und links | negativ | negativ | | rechts unten | positiv | negativ | Visible text: | Vektorrichtung | Vorzeichen von | Vorzeichen von | | :-------------- | :----------------------------------- | :----------------------------------- | | rechts oben | positiv | positiv | | links oben | negativ | positiv | | unten und links | negativ | negativ | | rechts unten | positiv | negativ | Zeigt eine Kraft nach links oben, ist ihre horizontale Komponente negativ, weil sie der positiven $$x$$-Richtung entgegenwirkt. Die vertikale Komponente bleibt dagegen positiv. Visible text: Zeigt eine Kraft nach links oben, ist ihre horizontale Komponente negativ, weil sie der positiven -Richtung entgegenwirkt. Die vertikale Komponente bleibt dagegen positiv.