Set 2

Pembahasan

Kita diberikan tiga luas tanah yang berbeda, yaitu $120\text{ m}^2$, $180\text{ m}^2$, dan $240\text{ m}^2$. Tujuannya adalah membagi ketiga tanah tersebut menjadi petak-petak dengan luas yang sama besar dan ukuran yang maksimal.

Masalah ini dapat diselesaikan dengan mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari ketiga bilangan tersebut. FPB akan memberikan nilai terbesar yang dapat membagi habis ketiga luas tanah.

Langkah pertama adalah melakukan faktorisasi prima untuk setiap luas tanah:

Untuk menentukan FPB, kita ambil faktor prima yang sama dari ketiga bilangan dengan pangkat terkecil:

• Faktor 2: pangkat terkecil adalah $2^2$.
• Faktor 3: pangkat terkecil adalah $3^1$ (atau 3).
• Faktor 5: pangkat terkecil adalah $5^1$ (atau 5).

Maka, FPB-nya adalah:

Jadi, luas terbesar dari setiap petak tanah yang dapat dibuat adalah $60\text{ m}^2$.

Pembahasan

Tujuan kita adalah mencari luas setiap petak di ketiga lokasi (A, B, dan C) dengan syarat jumlah petak di setiap lokasi harus sama banyak dan maksimal.

Karena jumlah petak harus sama dan maksimal, kita perlu mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari luas tanah di ketiga lokasi: $120$, $180$, dan $240$. Nilai FPB ini akan menjadi jumlah petak yang akan dibuat.

Mari kita lakukan faktorisasi prima untuk ketiga bilangan tersebut:

FPB diperoleh dengan mengalikan faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil:

• Faktor 2: pangkat terkecil adalah $2^2$.
• Faktor 3: pangkat terkecil adalah $3^1$ (atau 3).
• Faktor 5: pangkat terkecil adalah $5^1$ (atau 5).

Jadi, jumlah petak tanah yang akan dibuat di setiap lokasi adalah 60 petak.

Selanjutnya, kita hitung luas setiap petak untuk masing-masing lokasi dengan membagi total luas tanah dengan jumlah petak ($60$):

Lokasi A:

Lokasi B:

Lokasi C:

Dengan demikian, luas setiap petak dari masing-masing lokasi berturut-turut adalah $2\text{ m}^2$, $3\text{ m}^2$, dan $4\text{ m}^2$.

Pembahasan

Kita diberikan informasi mengenai harga asli motor, persentase diskon, dan pajak yang dikenakan terhadap diskon tersebut.

Diketahui:

• Harga asli motor = $\text{Rp}75.000.000,00$
• Diskon = $10\%$
• Pajak atas diskon = $2,5\%$

Pertama, kita hitung besar nominal diskon yang didapatkan:

Selanjutnya, kita hitung harga motor setelah dikurangi diskon (sebelum pajak):

Soal menyatakan bahwa terdapat pajak sebesar $2,5\%$ yang dikenakan atas diskon tersebut. Artinya, kita harus menghitung $2,5\%$ dari nominal diskon ($\text{Rp}7.500.000,00$), lalu menambahkannya ke harga yang harus dibayar.

Terakhir, kita hitung total harga yang harus dibayar Ayah dengan menjumlahkan harga setelah diskon dan pajak:

Jadi, harga sepeda motor akhir yang harus dibayar Ayah adalah $\text{Rp}67.687.500,00$.

Pembahasan

Pertama, kita hitung total modal atau harga beli untuk $100$ buah durian.

Selanjutnya, kita hitung total pendapatan dari penjualan. Penjualan ini terbagi menjadi dua bagian, yaitu penjualan $70$ buah pertama dan penjualan sisa $30$ buah.

Pendapatan dari 70 buah pertama:

Pendapatan dari sisa 30 buah:

Maka, total pendapatan keseluruhan adalah:

Karena total pendapatan lebih besar dari total modal, pedagang tersebut mengalami keuntungan. Besar keuntungannya adalah selisih antara pendapatan dan modal:

Terakhir, kita hitung persentase keuntungan tersebut terhadap modal awal:

Jadi, pedagang mengalami untung sebesar $13,75\%$.

Pembahasan

Prinsip dasar yang digunakan adalah hukum Archimedes. Ketika bola dimasukkan ke dalam tabung yang penuh air, air akan tumpah. Volume air yang tumpah sama dengan total volume bola yang dimasukkan. Dengan demikian, volume air yang tersisa di dalam tabung adalah selisih antara volume awal tabung dengan volume total bola.

Volume Tabung (Volume Awal Air):

Volume Satu Bola:

Menentukan Banyak Bola (n):

Diketahui volume air yang tersisa adalah $64\pi \text{ cm}^3$. Kita gunakan persamaan:

Kedua ruas dibagi dengan $\pi$ untuk menyederhanakan perhitungan:

Karena jumlah bola $n$ harus berupa bilangan bulat dan tidak boleh melebihi kapasitas tabung, maka kita ambil bilangan bulat terdekat ke bawah, yaitu $17$. Jika kita memaksakan $18$ bola, volume total bola akan melebihi volume tabung ($18 \times 288\pi = 5184\pi > 5120\pi$), yang mana tidak mungkin.

Jadi, banyaknya bola yang dimasukkan adalah $17$ bola.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik $Q$ ke garis $BD$, kita akan membentuk segitiga $BDQ$ dan menghitung tinggi segitiga tersebut dari titik puncak $Q$. Langkah pertama adalah menghitung panjang ketiga sisi segitiga tersebut.

Menghitung Sisi $BD$ (Diagonal Alas)

Garis $BD$ merupakan diagonal sisi alas kubus dengan panjang rusuk $s = 4$.

Menghitung Sisi $DQ$

Titik $Q$ berada di tengah $FG$. Kita dapat mencari panjang $DQ$ dengan meninjau segitiga siku-siku $DHQ$. Sebelumnya, kita hitung dulu panjang $HQ$ pada bidang atas kubus:

Selanjutnya, gunakan teorema Pythagoras pada segitiga $DHQ$:

Menghitung Sisi $BQ$

Panjang $BQ$ dapat dihitung dari segitiga siku-siku $BFQ$, dengan $BF = 4$ dan $FQ = 2$:

Menghitung Jarak $Q$ ke Garis $BD$

Sekarang kita memiliki segitiga $BDQ$ dengan sisi $BD = 4\sqrt{2}$, $DQ = 6$, dan $BQ = 2\sqrt{5}$. Misalkan $O$ adalah proyeksi tegak lurus $Q$ pada garis $BD$ (titik yang membagi garis $BD$).

Misalkan panjang $DO = x$, maka panjang $OB = 4\sqrt{2} - x$. Tinggi segitiga $QO$ (sebut saja $y$) adalah jarak yang kita cari. Dengan menggunakan dua segitiga siku-siku yang terbentuk, kita peroleh persamaan:

Substitusikan nilai sisi-sisinya:

Setelah mendapatkan nilai $x = 3\sqrt{2}$, kita substitusikan kembali untuk mencari $y$:

Jadi, jarak dari titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $3\sqrt{2}$ satuan panjang.

Pembahasan

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep Barisan Aritmatika, di mana gaji Pak Brikson mengalami kenaikan yang tetap setiap tahunnya. Kita perlu menentukan suku awal dan beda dari barisan tersebut berdasarkan informasi usia dan gaji.

Analisis Informasi

Diketahui bahwa pada tahun ini, saat Pak Brikson berusia $40$ tahun, gajinya adalah $\text{Rp}15.750.000,00$. Kenaikan gaji setiap tahun (beda) adalah $\text{Rp}750.000,00$.

Kita diminta mencari gaji saat Pak Brikson berusia $54$ tahun.

Menghitung Selisih Tahun

Langkah pertama adalah menghitung selisih waktu antara usia target $54$ tahun dengan usia saat ini $40$ tahun.

Artinya, gaji Pak Brikson akan mengalami kenaikan sebanyak $14$ kali.

Menghitung Gaji pada Usia $54$ Tahun

Besar gaji pada usia $54$ tahun ditentukan dengan menjumlahkan gaji awal dan total akumulasi kenaikan selama $14$ tahun.

Mari kita hitung total kenaikannya:

Sehingga total gajinya menjadi:

Jadi, besaran gaji Pak Brikson ketika ia berusia $54$ tahun adalah $\text{Rp}26.250.000,00$.

Pembahasan

Identifikasi Pola Produksi

Permasalahan ini merupakan aplikasi dari Barisan Aritmatika, di mana produksi panci meningkat dengan jumlah yang tetap setiap bulannya. Kita memiliki informasi produksi pada bulan ke-$3$ dan bulan ke-$6$.

Diketahui:

Menentukan Kenaikan Produksi dan Produksi Awal

Dalam barisan aritmatika, suku ke-$n$ dirumuskan sebagai $U_n = a + (n-1)b$. Kita dapat membentuk dua persamaan linear untuk mencari nilai awal $a$ dan beda $b$.

Selisih antara kedua persamaan tersebut memberikan nilai $b$:

Jadi, produksi meningkat sebesar $250$ unit setiap bulan. Selanjutnya, kita substitusi nilai $b$ ke persamaan $(1)$ untuk mendapatkan $a$:

Produksi pada bulan pertama adalah $1.000$ unit.

Menentukan Bulan Target

Kita diminta mencari bulan ke-$n$ di mana produksi melebihi $10.000$ unit.

Sederhanakan pertidaksamaan tersebut:

Karena $n$ harus bilangan bulat lebih besar dari $37$, maka bulan pertama yang memenuhi kondisi tersebut adalah bulan ke-$38$.

Perhatikan bahwa pada bulan ke-$37$, produksi tepat mencapai $10.000$ unit, sehingga belum melebihi target.

Pembahasan

Syarat Terjadinya Benturan

Benturan antara roket dan kapal induk akan terjadi ketika keduanya berada pada posisi yang sama pada waktu yang sama. Oleh karena itu, kita harus menyamakan fungsi posisi roket dengan fungsi posisi kapal induk.

Menentukan Waktu Benturan

Kita susun persamaan kuadrat tersebut ke dalam bentuk umum untuk mencari nilai $t$.

Selanjutnya, kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $-4000$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $60$. Bilangan tersebut adalah $100$ dan $-40$.

Dari pemfaktoran tersebut, diperoleh dua kemungkinan nilai $t$:

Karena waktu ($t$) tidak mungkin bernilai negatif, maka nilai yang memenuhi adalah $40$ detik. Jadi, benturan terjadi tepat pada detik ke-$40$.

Pembahasan

Analisis Peluang Kotak Pertama

Pada kotak pertama, terdapat total $4 + 3 = 7$ bola. Kita ingin mengambil bola merah yang berjumlah $4$. Peluang terambilnya bola merah dari kotak pertama adalah:

Analisis Peluang Kotak Kedua

Pada kotak kedua, terdapat total $7 + 3 = 10$ bola. Kita ingin mengambil bola putih yang berjumlah $3$. Peluang terambilnya bola putih dari kotak kedua adalah:

Menghitung Peluang Gabungan

Karena pengambilan bola dari kedua kotak adalah dua kejadian yang saling bebas (kejadian di kotak pertama tidak mempengaruhi kotak kedua), maka peluang terjadinya kedua peristiwa tersebut secara bersamaan dapat dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing.

Jadi, peluang terambilnya bola merah dari kotak pertama dan bola putih dari kotak kedua adalah $\frac{12}{70}$.

Pembahasan

Identifikasi Informasi

Diketahui bahwa total telur dalam kotak adalah $40$ butir. Dari jumlah tersebut, terdapat $3$ butir telur yang busuk. Kita diminta untuk mencari peluang terambilnya telur yang tidak busuk.

Menghitung Jumlah Telur Tidak Busuk

Langkah pertama adalah menentukan banyaknya kejadian yang diharapkan, yaitu terambilnya telur yang kondisinya baik. Karena ada $3$ telur busuk dari total $40$ telur, maka jumlah telur yang tidak busuk adalah selisihnya.

Menghitung Peluang

Peluang suatu kejadian dihitung dengan membagi jumlah kejadian yang diharapkan dengan total kemungkinan kejadian (ruang sampel).

Jadi, peluang terpilihnya satu telur tidak busuk adalah $\frac{37}{40}$.

Pembahasan

Menentukan Waktu Benturan

Peristiwa benturan terjadi saat kedua objek berada pada posisi yang sama. Oleh karena itu, kita perlu menyamakan persamaan posisi roket dan kapal induk untuk menemukan waktu kejadian tersebut.

Selanjutnya, kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut untuk mendapatkan nilai $t$.

Dari pemfaktoran di atas, kita memperoleh dua solusi yaitu $t = -100$ atau $t = 40$. Karena waktu tidak mungkin bernilai negatif, maka kita ambil nilai yang positif.

Menghitung Posisi Benturan

Setelah mengetahui waktu benturan, kita dapat menghitung posisi benturan dengan mensubstitusikan nilai $t = 40$ ke dalam salah satu persamaan posisi. Kita gunakan persamaan kapal induk karena lebih sederhana.

Terakhir, kita konversikan satuan meter ke kilometer.

Jadi, posisi saat roket tepat mengenai kapal induk adalah $2,4$ km.

Pembahasan

Analisis Lintasan Lari

Lintasan berbentuk lingkaran dengan urutan checkpoint $A \to B \to C \to D \to A$. Karena jarak antar checkpoint sama, kita dapat menghitung jumlah segmen yang telah dilalui pelari. Pelari memulai dari $A$ dan telah melewati $C$ sebanyak $3$ kali.

1. Menuju $C$ pertama kali: $A \to B \to C$ ($2$ segmen).
2. Menuju $C$ kedua kali: $C \to D \to A \to B \to C$ ($4$ segmen).
3. Menuju $C$ ketiga kali: $C \to D \to A \to B \to C$ ($4$ segmen).

Total segmen yang dilalui adalah penjumlahan dari setiap tahap tersebut.

Menghitung Waktu per Segmen

Diketahui waktu yang dibutuhkan untuk menempuh $10$ segmen adalah $12$ menit. Kita dapat menentukan kecepatan tempuh per satu segmen.

Menghitung Total Waktu untuk 4 Kali Mencapai C

Untuk mencapai checkpoint $C$ yang keempat kalinya, pelari harus menempuh satu putaran lagi dari posisi terakhirnya (di $C$ ketiga). Lintasan tambahannya adalah $C \to D \to A \to B \to C$, yang terdiri dari $4$ segmen.

Waktu tambahan yang dibutuhkan adalah:

Sehingga, total waktu dari awal start hingga mencapai checkpoint $C$ keempat kalinya adalah jumlah waktu awal dan waktu tambahan.

Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah $16,8$ menit.

Pembahasan

Menentukan Waktu Tempuh per Segmen

Berdasarkan analisis lintasan sebelumnya, diketahui bahwa untuk melewati checkpoint $C$ sebanyak $3$ kali, pelari menempuh total $10$ segmen lintasan normal dalam waktu $12$ menit. Maka, waktu tempuh untuk satu segmen normal adalah:

Menghitung Waktu Tempuh Lintasan Baru

Kita diminta mencari waktu tempuh dari $A$ ke $D$ dengan kondisi jarak $C$ ke $D$ diperlebar $2$ kali lipat.

Rute normal dari $A$ ke $D$ melalui lintasan:

Rincian segmennya adalah:

1. $A \to B$: $1$ segmen normal.
2. $B \to C$: $1$ segmen normal.
3. $C \to D$: Karena diperlebar $2$ kali, ini setara dengan $2$ segmen normal.

Total segmen efektif yang harus ditempuh adalah:

Maka total waktu yang dibutuhkan adalah:

Jadi, waktu yang dibutuhkan pelari dari checkpoint $A$ ke $D$ adalah $4,8$ menit.

Pembahasan

Analisis Masalah

Kita dapat memodelkan masalah ini sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Misalkan harga daging per kg adalah $x$ dan harga ikan per kg adalah $y$ (dalam satuan ribu rupiah).

Membentuk Persamaan

Dari data Toko A, penjualan $80$ kg daging dan $20$ kg ikan menghasilkan $2960$ ribu rupiah:

Sederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua ruas dengan $20$:

Dari data Toko B, penjualan $70$ kg daging dan $40$ kg ikan menghasilkan $3040$ ribu rupiah:

Sederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua ruas dengan $10$:

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Kita akan mengeliminasi variabel $y$ untuk mencari nilai $x$. Kalikan persamaan $(1)$ dengan $4$ agar koefisien $y$ sama dengan persamaan $(2)$:

Kurangkan persamaan hasil perkalian ini dengan persamaan $(2)$:

Menentukan Harga Ikan

Substitusikan nilai $x = 32$ ke persamaan (1) untuk mencari $y$:

Nilai $y = 20$ berarti harga ikan adalah $20$ ribu rupiah atau $\text{Rp}20.000,00$.

Pembahasan

Memodelkan Masalah ke dalam Persamaan

Misalkan $x$ adalah upah harian dan $y$ adalah upah lembur. Berdasarkan informasi yang diberikan, kita dapat menyusun sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:

Persamaan $(1)$ berasal dari Pak Budi yang bekerja $6$ hari dengan $4$ hari lembur, sedangkan persamaan $(2)$ berasal dari Pak Agus yang bekerja $5$ hari dengan $2$ hari lembur.

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan $(1)$ dengan membagi kedua ruas dengan $2$ agar koefisiennya lebih sederhana:

Sekarang kita memiliki dua persamaan yang lebih sederhana:

Kita dapat mengeliminasi variabel $y$ dengan mengurangkan persamaan $(2)$ dengan persamaan $(3)$:

Setelah menemukan nilai $x = 9.000$, kita substitusikan ke persamaan $(3)$ untuk mencari nilai $y$: