Soal 6

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik $Q$ ke garis $BD$, kita akan membentuk segitiga $BDQ$ dan menghitung tinggi segitiga tersebut dari titik puncak $Q$. Langkah pertama adalah menghitung panjang ketiga sisi segitiga tersebut.

Menghitung Sisi $BD$ (Diagonal Alas)

Garis $BD$ merupakan diagonal sisi alas kubus dengan panjang rusuk $s = 4$.

Menghitung Sisi $DQ$

Titik $Q$ berada di tengah $FG$. Kita dapat mencari panjang $DQ$ dengan meninjau segitiga siku-siku $DHQ$. Sebelumnya, kita hitung dulu panjang $HQ$ pada bidang atas kubus:

Selanjutnya, gunakan teorema Pythagoras pada segitiga $DHQ$:

Menghitung Sisi $BQ$

Panjang $BQ$ dapat dihitung dari segitiga siku-siku $BFQ$, dengan $BF = 4$ dan $FQ = 2$:

Menghitung Jarak $Q$ ke Garis $BD$

Sekarang kita memiliki segitiga $BDQ$ dengan sisi $BD = 4\sqrt{2}$, $DQ = 6$, dan $BQ = 2\sqrt{5}$. Misalkan $O$ adalah proyeksi tegak lurus $Q$ pada garis $BD$ (titik yang membagi garis $BD$).

Misalkan panjang $DO = x$, maka panjang $OB = 4\sqrt{2} - x$. Tinggi segitiga $QO$ (sebut saja $y$) adalah jarak yang kita cari. Dengan menggunakan dua segitiga siku-siku yang terbentuk, kita peroleh persamaan:

Substitusikan nilai sisi-sisinya:

Setelah mendapatkan nilai $x = 3\sqrt{2}$, kita substitusikan kembali untuk mencari $y$:

Jadi, jarak dari titik $Q$ ke garis $BD$ adalah $3\sqrt{2}$ satuan panjang.