Set 3

Pembahasan

Analisis Periode Pengiriman

Bulan April $2023$ memiliki total $30$ hari. Pengiriman pertama dilakukan pada tanggal $1$ April, yang berarti hari ke-$1$. Kita perlu menghitung berapa kali pemasok A dan B mengirim barang dalam rentang $30$ hari tersebut.

Jadwal pengiriman mengikuti pola Barisan Aritmatika dengan suku pertama $a = 1$ (tanggal pengiriman pertama) dan beda $b$ sesuai interval hari masing-masing pemasok. Syarat tanggal pengiriman adalah $U_n \le 30$.

Volume Minyak Goreng A

Pemasok A mengirim setiap $3$ hari sekali.

Jadi, pemasok A mengirim sebanyak $10$ kali.

Total volume A:

Volume Minyak Goreng B

Pemasok B mengirim setiap $4$ hari sekali.

Jadi, pemasok B mengirim sebanyak $8$ kali.

Total volume B:

Total Keseluruhan

Jadi, total volume minyak goreng merk A dan B yang diterima adalah $220$ liter.

Pembahasan

Menghitung Berat Bersih (Netto)

Kita perlu mengetahui berapa banyak beras yang sebenarnya bisa dijual. Netto adalah berat kotor dikurangi berat kemasan (tara).

Menghitung Kerugian

Pedagang mengalami kerugian karena harga jual total lebih rendah dari harga beli.

Jadi, pedagang tersebut mengalami kerugian sebesar $\text{Rp}155.000,00$.

Pembahasan

Analisis Berat Bersih (Netto)

Pertama, kita hitung berapa banyak semangka yang sebenarnya dijual dengan mengurangi tara (berat kemasan) dari bruto (berat kotor).

Total Pendapatan (Harga Jual)

Selanjutnya, kita hitung total pendapatan dari penjualan semangka tersebut. Berat sisa semangka adalah $95 - 60 - 20 = 15 \text{ kg}$.

Menghitung Harga Beli

Pedagang mendapat untung $70\%$, artinya Harga Jual adalah $170\%$ dari Harga Beli.

Jadi, harga beli satu peti semangka adalah $\text{Rp}250.000,00$.

Pembahasan

Identifikasi Hubungan Geometris

Diketahui bahwa jari-jari ($r$) kemasan adalah setengah dari tingginya ($t$), sehingga kita dapat menuliskan $r = \frac{1}{2}t$. Volume kemasan silindris diberikan sebagai $V = \frac{729\pi}{4} \text{ cm}^3$.

Menghitung Tinggi Kemasan

Dengan menggunakan rumus volume silinder, kita substitusikan nilai $r$ untuk mencari nilai $t$.

Jadi, tinggi kemasan tersebut adalah $9 \text{ cm}$.

Pembahasan

Analisis Rumus

Selimut silinder merupakan persegi panjang dengan panjang $2\pi r$ dan tinggi $t$. Dengan demikian rumus luas selimut silinder adalah $L_S = 2\pi r t$.

Kita akan membandingkan volume ($V = \pi r^2 t$) dengan luas selimut silinder ($L_S$).

Menghitung Perbandingan

Pada soal sebelumnya (Nomor 4), telah ditentukan bahwa tinggi kemasan $t = 9 \text{ cm}$. Karena $r = \frac{1}{2}t$, maka $r = \frac{9}{2}$.

Substitusikan nilai $r$ ke dalam persamaan perbandingan:

Maka perbandingannya adalah $9:4$.

Pembahasan

Analisis Tawaran Pertama

Supri mendapatkan gaji tetap sebesar $\text{Rp}75.000,00$ per hari selama $7$ hari.

Analisis Tawaran Kedua

Supri mendapatkan gaji $\text{Rp}10.000,00$ di hari pertama dan bertambah dua kali lipat setiap harinya. Ini merupakan deret geometri dengan $a = 10.000$, $r = 2$, dan $n = 7$.

Kesimpulan

Kita bandingkan total pendapatan dari kedua tawaran:

Karena total pendapatan tawaran kedua jauh lebih besar, maka pilihan terbaik adalah Tawaran kedua.

Pembahasan

Membentuk Persamaan

Keuntungan bertambah secara tetap, sehingga ini adalah barisan aritmetika. Total keuntungan sampai hari ke-$n$ dinyatakan sebagai $S_n$.

Diketahui:

1. Total keuntungan sampai hari ke-$4$ ($S_4$) adalah $\text{Rp}700.000,00$.
2. Total keuntungan sampai hari ke-$10$ ($S_{10}$) adalah $\text{Rp}2.200.000,00$.

Rumus jumlah suku ke-$n$:

Dari $S_4 = 700.000$:

Dari $S_{10} = 2.200.000$:

Eliminasi dan Substitusi

Eliminasi persamaan $(1)$ dan $(2)$:

Substitusi $b = 15.000$ ke persamaan $(1)$:

Menghitung Total Keuntungan Hari ke-$20$

Kita hitung $S_{20}$:

Jadi, total keuntungan sampai hari ke-$20$ adalah $\text{Rp}5.900.000,00$.

Pembahasan

Konsep Titik Balik Pokok

Titik balik pokok (Break-Even Point) adalah kondisi di mana tidak ada keuntungan maupun kerugian, artinya total pendapatan sama dengan total biaya.

Menyelesaikan Persamaan

Substitusikan fungsi yang diketahui:

Agar lebih mudah dihitung, kita kalikan kedua ruas dengan $10$:

Menentukan Nilai x

Kita gunakan pemfaktoran persamaan kuadrat. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $3600$ dan jika dijumlahkan hasilnya $-200$. Bilangan tersebut adalah $-180$ dan $-20$.

Maka akar-akarnya adalah:

Jadi, titik balik pokok terjadi saat jumlah produk $180$ unit dan $20$ unit.

Pembahasan

Menyamakan Volume Air Masuk dan Keluar

Kondisi yang diminta adalah saat volume air yang masuk sama dengan volume air yang keluar.

Substitusikan fungsi yang diketahui:

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Pindahkan semua suku ke ruas kiri untuk mendapatkan bentuk umum persamaan kuadrat:

Sederhanakan persamaan dengan membagi kedua ruas dengan $2$:

Faktorkan persamaan tersebut. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $2100$ dan jika dijumlahkan hasilnya $-100$. Bilangan tersebut adalah $-70$ dan $-30$.

Maka diperoleh solusi:

Jadi, volume air yang masuk sama dengan yang keluar terjadi saat $70$ menit atau $30$ menit.

Pembahasan

Menghitung Total Bola

Dalam kantong terdapat $4$ bola hijau dan $5$ bola hitam.

Peluang Pengambilan Bola Hijau Pertama

Peluang terambilnya bola hijau pada pengambilan pertama adalah jumlah bola hijau dibagi total bola.

Peluang Pengambilan Bola Hijau Kedua

Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola hijau berkurang menjadi $3$ dan total bola berkurang menjadi $8$.

Menghitung Peluang Total

Peluang terambilnya kedua bola berwarna hijau adalah hasil kali dari kedua peluang tersebut:

Jadi, peluang terambilnya kedua bola berwarna hijau adalah $\frac{1}{6}$.

Pembahasan

Metode Filling Slots (Pengisian Tempat)

Kita memiliki $7$ bendera dengan syarat khusus: Armenia dan Belgia wajib berada di ujung barisan. Kita dapat memvisualisasikan penyusunannya menggunakan kotak-kotak (slot) berikut.

Langkah 1: Tentukan Posisi Ujung

Hanya ada $2$ kemungkinan untuk posisi ujung: Armenia di kiri dan Belgia di kanan, atau sebaliknya. Maka, kita tulis angka $2$ pada kotak pertama sebagai faktor pengali untuk variasi ujung.

Langkah 2: Isi Posisi Tengah

Tersisa $5$ bendera (China, Denmark, Ekuador, Finlandia, Ghana) untuk mengisi $5$ posisi di tengah. Kita isi slot sisanya secara menurun ($5, 4, 3, 2, 1$) sesuai prinsip permutasi.

Visualisasi pengisian kotaknya adalah sebagai berikut:

Angka $2$ mewakili cara menyusun posisi ujung.

Angka $5, 4, 3, 2, 1$ mewakili cara menyusun $5$ bendera di tengah ($5!$).

Perhitungan Akhir

Total cara adalah hasil perkalian dari semua angka dalam kotak tersebut.

Jadi, terdapat $2(5!)$ cara mengatur bendera tersebut.

Pembahasan

Analisis Perbandingan

Diketahui perbandingan pengunjung Senin, Selasa, dan Rabu adalah $3 : 4 : 5$. Total pengunjung ketiga hari tersebut adalah $144$ orang.

Kita dapat menghitung jumlah bagian (unit) dari perbandingan tersebut:

Artinya, $12$ unit setara dengan $144$ orang.

Menghitung Pengunjung Hari Senin

Hari Senin memiliki porsi $3$ unit. Kita gunakan metode pecahan untuk mencari jumlah pengunjungnya.

Sederhanakan pecahan $\frac{3}{12}$ menjadi $\frac{1}{4}$.

Jadi, banyaknya pengunjung pada hari Senin adalah $36$ orang.

Pembahasan

Analisis Proporsi

Kita memiliki data perbandingan pengunjung Kamis, Jumat, dan Sabtu sebagai berikut:

Diketahui bahwa hari Jumat memiliki porsi $x$ dari total rasio tersebut. Jumlah pengunjung Jumat adalah $24$ orang dari total $120$ orang.

Menghitung Nilai x

Kita dapat menyusun persamaan menggunakan konsep pecahan bagian:

Sederhanakan persamaan dengan membagi kedua ruas dengan $24$ (karena $120 \div 24 = 5$):

Jadi, nilai $x$ adalah $2$.

Pembahasan

Model Matematika

Misalkan uang Amri, Beni, dan Dimas masing-masing adalah $A, B,$ dan $D$. Berdasarkan informasi soal, kita dapat menyusun sistem persamaan:

Penyelesaian Sistem Persamaan

Kita akan mencari nilai $A$. Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):

Selanjutnya, kita eliminasi $B$ menggunakan persamaan (3) dan (4). Kalikan persamaan (3) dengan $2$ agar koefisien $B$ sama:

Kurangkan kedua persamaan tersebut:

Substitusikan nilai $D = 14.000$ ke persamaan (3) untuk mencari $B$:

Terakhir, substitusikan nilai $B$ dan $D$ ke persamaan (1) untuk mendapatkan $A$:

Jadi, uang Amri adalah $\text{Rp}67.000,00$.

Pembahasan

Analisis Kecepatan Kerja

Kecepatan kerja adalah bagian pekerjaan yang dapat diselesaikan dalam satuan waktu (1 menit). Berdasarkan informasi soal:

Perhitungan Kerja Bersama

Jika ketiga mesin bekerja bersama selama $6$ menit, total pekerjaan yang selesai adalah jumlah kecepatan dikalikan waktu:

Sederhanakan pecahan $\frac{4}{32}$ menjadi $\frac{1}{8}$:

Dalam bentuk desimal, $\frac{3}{4}$ sama dengan $0,75$.

Jadi, pekerjaan yang selesai adalah $0,75$ bagian.

Pembahasan

Kita definisikan variabel berdasarkan informasi yang diberikan:

• $n_A = 20$ (Jumlah agen makanan)
• $n_B = 40$ (Jumlah agen minuman)
• $\bar{x}_A$ (Rata-rata keuntungan agen makanan)
• $\bar{x}_B$ (Rata-rata keuntungan agen minuman)

Diketahui bahwa rata-rata keuntungan agen makanan adalah dua kali agen minuman, sehingga kita memiliki hubungan:

Kita substitusikan hubungan tersebut ke dalam persamaan total keuntungan untuk mencari nilai $\bar{x}_A$ secara langsung:

Maka, rata-rata keuntungan agen makanan adalah:

Jadi, rata-rata keuntungan agen yang menjual produk makanan adalah Rp9.000.000,00.

Pembahasan

Kita misalkan keempat bilangan asli yang telah diurutkan sebagai $x_1, x_2, x_3, x_4$ dengan $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4$.

Berdasarkan informasi soal, kita dapat menyusun persamaan-persamaan berikut:

1. Median: Karena data berjumlah genap (4), median adalah rata-rata dari dua data tengah.

   $$\frac{x_2 + x_3}{2} = 8 \implies x_2 + x_3 = 16$$

2. Jangkauan (Range): Selisih datum terbesar dan terkecil adalah 10.

   $$x_4 - x_1 = 10 \implies x_1 = x_4 - 10$$

3. Mean (Rata-rata): Jumlah seluruh data dibagi 4 adalah 8.

   $$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = 8 \implies x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 32$$

Kita substitusikan nilai $x_2 + x_3 = 16$ ke dalam persamaan rata-rata untuk mencari hubungan antara $x_1$ dan $x_4$:

Sekarang kita memiliki sistem persamaan dua variabel untuk $x_1$ dan $x_4$:

Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut, kita dapatkan:

Substitusi nilai $x_4$ untuk mendapatkan $x_1$:

Terakhir, kita tentukan nilai $x_2$ dan $x_3$. Kita tahu $x_2 + x_3 = 16$ dan $3 \le x_2 \le x_3 \le 13$. Karena modusnya tunggal, maka harus ada satu nilai yang muncul lebih dari sekali. Satu-satunya kemungkinan yang memenuhi syarat median dan urutan adalah jika $x_2$ dan $x_3$ bernilai sama.

Data lengkapnya adalah: $3, 8, 8, 13$. Modus dari data ini adalah $8$ (tunggal), yang sesuai dengan syarat soal.

Maka, hasil kali datum kedua dan datum keempat adalah:

Pembahasan

Kita akan mencari tinggi helikopter dari helipad ($DC$) dengan memanfaatkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Perhatikan sketsa solusi berikut:

Diketahui:

• $AD = 16$ m (tinggi gedung).
• $AB$ adalah jarak dari gedung ke ujung bayangan.
• Sudut elevasi ke puncak gedung $30^\circ$ dan ke helikopter $45^\circ$.

Pertama, kita hitung jarak $AB$ menggunakan $\tan(30^\circ)$ pada segitiga $ABD$.

Selanjutnya, gunakan jarak $AB$ tersebut untuk mencari tinggi total helikopter dari tanah ($AC$) menggunakan $\tan(45^\circ)$ pada segitiga $ABC$.

Tinggi helikopter dari helipad adalah selisih tinggi total dengan tinggi gedung.

Jadi, tinggi helikopter dari helipad adalah $16(\sqrt{3} - 1)$ meter.