Set 4

Pembahasan

Kita akan membandingkan total volume minyak $A$ yang diterima pada bulan April (30 hari) dan Mei (31 hari). Perhatikan bahwa jadwal pengiriman minyak $A$ adalah setiap $3$ hari sekali.

Berikut adalah perbandingan detailnya:

Perhatikan bahwa di bulan Mei, pengiriman terjadi sebanyak $11$ kali karena tanggal $31$ juga termasuk jadwal pengiriman (selisih 3 hari dari tanggal 28).

Maka, selisih volume minyak $A$ adalah:

Jadi, selisih volume minyak goreng merk $A$ yang diterima adalah $65$ liter.

Pembahasan

Pertama, kita identifikasi batasan masalahnya:

1. Total budget: Rp$400.000,00$.
2. Total barang: $4$ buah.
3. Wajib beli: Minimal $1$ Snack Bouquet (Rp$70.000,00$).

Langkah pertama adalah mengurangi total budget dengan harga barang wajib untuk mengetahui sisa uang yang tersedia.

Sekarang kita memiliki sisa budget Rp$330.000,00$ untuk membeli $3$ buah bouquet lagi (karena total yang diinginkan adalah $4$ buah, dan $1$ sudah dibeli).

Mari kita cek kombinasi yang mungkin untuk menghabiskan Rp$330.000,00$ dengan $3$ barang. Jika kita melihat daftar harga, Money Bouquet berharga Rp$130.000,00$.

Jika kita membeli $2$ Money Bouquet:

Sisa uang setelah membeli 2 Money Bouquet adalah:

Sisa Rp$70.000,00$ ini pas untuk membeli $1$ Snack Bouquet lagi.

Jadi, rincian total pembelian kita adalah:

Total item yang dibeli adalah:

Kombinasi ini sesuai dengan budget dan jumlah barang yang diminta.

Pembahasan

Kita fokus pada produk "Minyak mu" yang memiliki harga awal Rp$80.000,00$ per $5$ liter. Kita diminta mencari selisih harga setelah diskon di dua swalayan: Indoapril dan Betamidi.

Berikut adalah perbandingan perhitungan harga akhirnya:

Dari tabel di atas, terlihat jelas harga "Minyak mu" di Indoapril adalah Rp$60.000,00$ dan di Betamidi adalah Rp$56.000,00$.

Selisih harga keduanya dapat dihitung dengan mudah:

Jadi, selisih harga "Minyak mu" di kedua swalayan tersebut adalah Rp$4.000,00$.

Pembahasan

Visualisasi Masalah

Analisis Dimensi

Diketahui balok memiliki hubungan dimensi:

• Panjang $p = 2l$
• Tinggi $t = l$
• Lebar $l$
• Diagonal ruang $DF = 9$ cm

Perhitungan Lebar Balok

Kita gunakan rumus diagonal ruang balok $d^2 = p^2 + l^2 + t^2$.

Substitusikan nilai yang diketahui:

Selesaikan persamaan untuk $l$:

Rasionalkan penyebut:

Jadi, lebar balok adalah $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ cm.

Pembahasan

Visualisasi Masalah

Menentukan Lebar Balok

Gunakan diagonal ruang $DF$ untuk menentukan $l$ dengan rumus $d^2 = p^2 + l^2 + t^2$.

Menentukan Luas Bidang $ADFG$

Bidang $ADFG$ berbentuk persegi panjang dengan sisi $AD = l$ dan diagonal sisi depan $AF$.

Panjang $AF$ didapat dari segitiga siku-siku pada sisi depan:

Luas bidangnya:

Jadi, luas bidang $ADFG$ adalah $\frac{27\sqrt{5}}{2}$ cm².

Pembahasan

Kita dapat memodelkan masalah ini menggunakan konsep Deret Geometri. THR yang diterima Bima setiap tahunnya membentuk barisan geometri karena setiap tahunnya jumlah THR menjadi dua kali lipat dari tahun sebelumnya.

Diketahui gaji bulanan Bima adalah $Rp3.000.000,00$. Langkah pertama adalah menentukan nilai suku pertama ($a$), yaitu besar THR pada tahun pertama:

Karena THR selalu menjadi dua kali lipat dari tahun sebelumnya, maka rasio ($r$) dari barisan ini adalah $2$. Kita diminta untuk mencari jumlah total THR selama $5$ tahun, yang berarti kita mencari jumlah $5$ suku pertama ($S_5$) dari deret geometri ini.

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$. Substitusikan nilai $a = 300.000$, $r = 2$, dan $n = 5$ ke dalam rumus tersebut:

Jadi, total THR yang diterima Bima selama $5$ tahun bekerja adalah $Rp9.300.000,00$.

Pembahasan

Pola latihan lari Yanuar membentuk barisan geometri karena jarak tempuhnya selalu meningkat dua kali lipat setiap minggunya. Ini berarti rasio ($r$) barisan tersebut adalah $2$.

Informasi kunci yang kita miliki adalah jarak pada minggu ke-$3$ ($U_3$) sebesar $4\text{ km}$. Dengan menggunakan rumus suku ke-$n$ barisan geometri, $U_n = ar^{n-1}$, kita dapat melacak balik untuk menemukan jarak awal pada minggu pertama ($a$):

Setelah mengetahui bahwa Yanuar mulai berlari sejauh $1\text{ km}$ pada minggu pertama, kita dapat menghitung total jarak selama $5$ minggu ($S_5$) menggunakan rumus jumlah deret geometri $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$:

Jadi, total jarak yang ditempuh Yanuar selama latihan adalah $31\text{ km}$.

Pembahasan

Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep Fungsi Linear atau Barisan Aritmatika, karena kenaikan harga tanah terjadi secara konstan (tetap) setiap tahunnya.

Diketahui harga awal tanah ($a$) adalah $10.000.000$ dan kenaikan harga per tahun ($b$) adalah $1.200.000$. Kita ingin mencari harga tanah setelah $5$ tahun ($U_6$ atau $y$ saat $x=5$).

Jika kita memodelkannya sebagai fungsi linear di mana $y$ adalah harga tanah dan $x$ adalah jumlah tahun, maka persamaannya adalah:

Substitusikan $x = 5$ untuk menghitung harga tanah setelah $5$ tahun:

Jadi, harga tanah $5$ tahun mendatang adalah $Rp16.000.000,00$ per meter persegi.

Pembahasan

Diketahui panjang total kawat adalah $20\text{ m}$. Panjang kawat ini akan menjadi keliling dari persegi panjang kandang ayam. Jika kita misalkan panjang kandang adalah $p$ dan lebarnya adalah $l$, maka kita dapat menuliskan persamaan kelilingnya:

Selanjutnya, kita ingin memaksimumkan luas kandang ($L$). Luas persegi panjang dirumuskan sebagai $L = p \times l$. Substitusikan persamaan $l = 10 - p$ ke dalam rumus luas:

Persamaan ini merupakan fungsi kuadrat yang kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah (karena koefisien $p^2$ negatif), sehingga memiliki nilai maksimum di titik puncaknya. Absis titik puncak ($p_{maks}$) dapat dicari dengan rumus $-\frac{b}{2a}$:

Setelah mendapatkan panjang $p = 5\text{ m}$, kita dapat mencari lebar $l$:

Jadi, agar luasnya maksimum, panjang dan lebar kandang haruslah masing-masing $5\text{ m}$ dan $5\text{ m}$.

Pembahasan

Karena setiap pasang suami istri harus berada dalam satu mobil, kita dapat menganggap setiap pasangan sebagai satu kesatuan unit. Terdapat total $5$ unit pasangan yang akan didistribusikan ke dalam $2$ mobil.

Kapasitas setiap mobil adalah $6$ orang, yang setara dengan $3$ pasang suami istri. Oleh karena itu, jumlah pasangan dalam satu mobil tidak boleh lebih dari $3$. Kombinasi distribusi jumlah pasangan yang mungkin untuk Mobil A dan Mobil B agar memenuhi kapasitas adalah:

1. Mobil A membawa $3$ pasang, Mobil B membawa $2$ pasang.
2. Mobil A membawa $2$ pasang, Mobil B membawa $3$ pasang.

Untuk kasus pertama, kita memilih $3$ pasang dari $5$ pasang yang tersedia untuk masuk ke Mobil A. Sisanya otomatis masuk ke Mobil B.

Untuk kasus kedua, kita memilih $2$ pasang dari $5$ pasang yang tersedia untuk masuk ke Mobil A.

Total cara pengaturan penumpang adalah jumlahan dari kedua kemungkinan tersebut.

Pembahasan

Peluang terpilihnya murid yang memakai jam tangan ditentukan oleh perbandingan antara jumlah murid yang memakai jam tangan dengan total seluruh murid. Kita hitung terlebih dahulu komponen-komponennya.

Murid laki-laki yang memakai jam tangan:

Murid perempuan yang memakai jam tangan:

Sehingga, total murid yang memakai jam tangan ($n(A)$) dan total seluruh murid ($n(S)$) adalah:

Peluang terpilihnya murid yang memakai jam tangan adalah:

Jadi, peluangnya adalah $\frac{1}{2}$.

Pembahasan

Langkah pertama adalah menentukan total anggaran uang saku harian untuk seluruh anak. Kita perlu menghitung total uang saku bulanan berdasarkan persentase gaji, lalu membaginya dengan jumlah hari efektif sekolah.

Total uang saku harian:

Selanjutnya, kita gunakan perbandingan proporsi uang saku. Diketahui anak $A$ mendapat Rp$4.000$ dengan proporsi $4$, sedangkan total uang saku adalah Rp$20.000$ dengan total proporsi $4 + 3 + x$.

Menentukan nilai $x$:

Jadi, nilai $x$ adalah $13$.

Pembahasan

Konsep yang digunakan adalah Gerak Lurus Beraturan (GLB). Karena kedua mobil bergerak saling mendekat untuk berpapasan, maka total jarak yang ditempuh oleh kedua mobil sama dengan jarak pisah awal mereka.

Hubungan jarak tempuh kedua mobil dapat dituliskan sebagai berikut:

Kita substitusikan nilai kelajuan masing-masing mobil untuk mencari waktu $t$:

Jadi, mereka akan berpapasan setelah $5$ detik.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini dengan efisien, kita gunakan konsep laju kerja (kecepatan menyelesaikan pekerjaan), di mana laju kerja berbanding terbalik dengan waktu. Misalkan kecepatan kerja masing-masing adalah $v_A$, $v_B$, dan $v_C$.

Berdasarkan informasi soal, kita dapat menyusun tiga persamaan laju gabungan sebagai berikut:

Alih-alih mencari nilai satu per satu, kita bisa menjumlahkan ketiga persamaan tersebut. Perhatikan bahwa setiap variabel muncul dua kali.

Dari persamaan di atas, kita dapatkan laju kerja total mereka bertiga:

Karena laju kerja total adalah $\frac{1}{10}$ pekerjaan per hari, maka waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan 1 pekerjaan penuh adalah kebalikannya.

Jadi, mereka membutuhkan waktu $10$ hari.

Pembahasan

Kita mulai dengan mendefinisikan variabel untuk kecepatan dan waktu. Misalkan $v_1$ adalah kecepatan mobil pertama, maka kecepatan mobil kedua adalah $v_2 = v_1 + 15$. Diketahui selisih waktu tempuh mereka adalah 1 jam.

Karena waktu adalah jarak dibagi kecepatan ($t = \frac{s}{v}$), kita dapat menyusun persamaan berdasarkan selisih waktu tersebut:

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan ini untuk mencari nilai $v_1$. Kalikan kedua ruas dengan $v_1(v_1 + 15)$ untuk menghilangkan penyebut:

Kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

Karena kecepatan tidak mungkin negatif, maka kita ambil $v_1 = 75$ km/jam. Dengan demikian, kecepatan mobil kedua adalah:

Terakhir, kita hitung rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut:

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini dengan mudah, kita gunakan prinsip Keseimbangan Jumlah Nilai. Total nilai gabungan harus sama dengan jumlah dari total nilai masing-masing kelompok.

Misalkan $n$ adalah banyak siswa mula-mula. Kita dapat menyusun persamaan berdasarkan total nilai sebagai berikut:

Selanjutnya, kita selesaikan persamaan linier sederhana ini. Perhatikan bagaimana kita mengelompokkan suku-suku yang mengandung $n$.

Jadi, banyak siswa sebelum digabung adalah $40$ orang.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami sifat statistik terkait perubahan data. Ingat prinsip utamanya:

1. Rata-rata (Mean) berubah mengikuti operasi hitung (kali, bagi, tambah, kurang).
2. Jangkauan (Range) hanya berubah jika dikali atau dibagi, tetapi tidak berubah jika ditambah atau dikurangi.

Pertama, kita cari nilai $p$ menggunakan informasi jangkauan. Karena jangkauan awal $6$ menjadi $9$ setelah dikali $p$, maka:

Selanjutnya, kita cari nilai $q$ menggunakan informasi rata-rata. Rata-rata dipengaruhi oleh perkalian $p$ dan pengurangan $q$.

Terakhir, kita substitusikan nilai $p$ dan $q$ ke persamaan yang ditanyakan.

Jadi, nilai dari $2p + q$ adalah $7$.

Pembahasan

Misalkan $A$ puncak bukit, $B$ kaki bukit, $C$ posisi awal kapal, dan $D$ posisi dermaga. Tinggi bukit adalah $AB = h$. Gunakan segitiga siku-siku $ABC$ dan sudut elevasi di $C$.

Dengan sudut elevasi di $D$, gunakan cosinus untuk mendapatkan $AD$.