# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/karakteristik-polinomial Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/characteristic-polynomial/id.mdx Pelajari polinomial karakteristik untuk mencari nilai eigen, memahami multiplisitas aljabar, dan melihat hubungan dengan jejak matriks. --- ## Definisi dan Konsep Dasar Untuk mencari nilai eigen suatu matriks, kita memerlukan alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan kita ingin mencari semua nilai $$\lambda$$ yang membuat matriks $$A - \lambda I$$ menjadi singular (tidak dapat diinversi). Visible text: Untuk mencari nilai eigen suatu matriks, kita memerlukan alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan kita ingin mencari semua nilai yang membuat matriks menjadi singular (tidak dapat diinversi). Misalkan $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$. Kita dapat membentuk fungsi khusus: Visible text: Misalkan . Kita dapat membentuk fungsi khusus: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) ``` ```math \chi_A(t) = a_n \cdot t^n + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 ``` Fungsi ini adalah polinomial berderajat $$n$$ dalam $$t \in \mathbb{K}$$, yang kita sebut **polinomial karakteristik** dari $$A$$. Visible text: Fungsi ini adalah polinomial berderajat dalam , yang kita sebut **polinomial karakteristik** dari . dengan koefisien $$a_0, \ldots, a_{n-1}, a_n \in \mathbb{K}$$. Visible text: dengan koefisien . Faktanya, $$\chi_A(t)$$ benar-benar merupakan polinomial berderajat $$n$$ untuk setiap matriks $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$. Visible text: Faktanya, benar-benar merupakan polinomial berderajat untuk setiap matriks . ## Jejak Matriks dan Koefisien Polinomial Misalkan $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ adalah matriks persegi. **Jejak** dari $$A$$ adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal: Visible text: Misalkan adalah matriks persegi. **Jejak** dari adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal: ```math \text{jejak} A = \sum_{i=1}^n a_{ii} ``` Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik. ### Hubungan Koefisien dengan Jejak dan Determinan Dalam polinomial karakteristik $$\chi_A(t)$$ dari $$A$$, koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus: Visible text: Dalam polinomial karakteristik dari , koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus: ```math a_n = (-1)^n, \quad a_{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot \text{jejak} A, \quad a_0 = \det A ``` Ini berarti: - Koefisien tertinggi selalu $$(-1)^n$$ - Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks - Suku konstanta adalah determinan matriks Visible text: - Koefisien tertinggi selalu - Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks - Suku konstanta adalah determinan matriks ## Nilai Eigen sebagai Akar Polinomial Konsep paling penting dari polinomial karakteristik adalah hubungannya dengan nilai eigen. Sekarang, mari kita lihat hubungan yang sangat penting: $$\lambda \in \mathbb{K}$$ adalah nilai eigen dari $$A$$ jika dan hanya jika $$\det(A - \lambda \cdot I) = 0$$. Visible text: Sekarang, mari kita lihat hubungan yang sangat penting: adalah nilai eigen dari jika dan hanya jika . Dengan kata lain, **nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik**. Persamaan untuk $$t \in \mathbb{K}$$: Visible text: Persamaan untuk : ```math \det(A - t \cdot I) = 0 ``` kita sebut **persamaan karakteristik** dari $$A$$. Visible text: kita sebut **persamaan karakteristik** dari . ## Multiplisitas Aljabar Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ dan $$\lambda \in \mathbb{K}$$. Multiplisitas dari akar $$t = \lambda$$ dari polinomial karakteristik $$\chi_A(t)$$ disebut **multiplisitas aljabar** $$\mu_A(\lambda)$$ dari nilai eigen $$\lambda$$ dari $$A$$. Kita katakan $$\lambda$$ adalah nilai eigen dengan multiplisitas $$\mu_A(\lambda)$$ dari $$A$$. Visible text: Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan dan . Multiplisitas dari akar dari polinomial karakteristik disebut **multiplisitas aljabar** dari nilai eigen dari . Kita katakan adalah nilai eigen dengan multiplisitas dari . ### Batasan Multiplisitas Untuk setiap nilai eigen $$\lambda$$, berlaku: Visible text: Untuk setiap nilai eigen , berlaku: ```math 0 \leq \mu_A(\lambda) \leq n ``` ## Hubungan Multiplisitas Geometrik dan Aljabar Salah satu hasil penting dalam teori nilai eigen adalah hubungan antara multiplisitas geometrik dan aljabar. Untuk setiap matriks $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ dan $$\lambda \in \mathbb{K}$$, kita memiliki hubungan yang menarik: Visible text: Untuk setiap matriks dan , kita memiliki hubungan yang menarik: ```math 0 \leq \dim \text{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n ``` > Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya. Mengapa ini terjadi? Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan transformasi basis dan bentuk blok Jordan. ## Contoh Perhitungan Polinomial Karakteristik Setelah memahami konsep-konsep dasar, mari kita lihat bagaimana menerapkannya dalam contoh konkret perhitungan polinomial karakteristik: ### Contoh Matriks Orde Tiga Misalkan $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}$$. Polinomial karakteristik dari $$A$$ adalah: Visible text: Misalkan . Polinomial karakteristik dari adalah: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (3-t) \cdot (-t) \cdot (1-t) - 2 \cdot (1 \cdot (1-t) + 3 \cdot 4) + 1 \cdot 3 \cdot t ``` ```math = -3t + 3t^2 + t^2 - t^3 - 2 + 2t - 24 - 3t ``` ```math = -t^3 + 4t^2 - 4t - 26 ``` Untuk $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$, $$\chi_A(t)$$ hanya memiliki akar $$\lambda_1 \approx -1.8003$$ dengan multiplisitas aljabar $$\mu_A(\lambda_1) = 1$$. Visible text: Untuk , hanya memiliki akar dengan multiplisitas aljabar . Untuk $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$, $$\chi_A(t)$$ memiliki akar $$\lambda_1 \approx -1.8003$$, $$\lambda_2 \approx 2.9001 + 2.4559i$$, dan $$\lambda_3 \approx 2.9001 - 2.4559i$$ dengan multiplisitas aljabar masing-masing $$\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$$. Visible text: Untuk , memiliki akar , , dan dengan multiplisitas aljabar masing-masing . ### Contoh Sederhana Polinomial karakteristik dari matriks $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ adalah: Visible text: Polinomial karakteristik dari matriks adalah: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (1-t) \cdot (1-t) - 0 \cdot 2 = (1-t)^2 ``` ```math = t^2 - 2 \cdot t + 1 ``` Matriks ini memiliki akar $$\lambda = 1$$ dengan multiplisitas aljabar $$\mu_A(1) = 2$$. $$\lambda = 1$$ adalah satu-satunya nilai eigen dari $$A$$. Kita telah menghitung bahwa $$\dim \text{Eig}_A(1) = 1$$. Visible text: Matriks ini memiliki akar dengan multiplisitas aljabar . adalah satu-satunya nilai eigen dari . Kita telah menghitung bahwa . ## Contoh Transformasi Geometrik Sekarang, mari kita jelajahi sesuatu yang menarik: bagaimana polinomial karakteristik bekerja pada transformasi geometrik yang sering kita temui di $$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$$: Visible text: Sekarang, mari kita jelajahi sesuatu yang menarik: bagaimana polinomial karakteristik bekerja pada transformasi geometrik yang sering kita temui di : ### Rotasi Rotasi dengan $$A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$$ memiliki polinomial karakteristik: Visible text: Rotasi dengan memiliki polinomial karakteristik: ```math \chi_A(t) = (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 = t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 ``` Ini memiliki akar real jika dan hanya jika $$\cos(\alpha)^2 - 1 \geq 0$$, yaitu $$\cos(\alpha)^2 = 1$$, sehingga $$\alpha = 0$$ atau $$\alpha = \pi$$. Visible text: Ini memiliki akar real jika dan hanya jika , yaitu , sehingga atau . ### Refleksi Refleksi pada sumbu dengan $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ memiliki polinomial karakteristik: Visible text: Refleksi pada sumbu dengan memiliki polinomial karakteristik: ```math \chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1 ``` Nilai eigen adalah $$\lambda_1 = 1$$ dan $$\lambda_2 = -1$$ dengan $$\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$$. Visible text: Nilai eigen adalah dan dengan . ### Peregangan Peregangan dengan $$A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}$$ memiliki polinomial karakteristik: Visible text: Peregangan dengan memiliki polinomial karakteristik: ```math \chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2 ``` Nilai eigen adalah $$\lambda = s$$ dengan $$\mu_A(s) = 2$$. Visible text: Nilai eigen adalah dengan . ### Geseran Geseran dengan $$A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ dengan $$s \neq 0$$ memiliki polinomial karakteristik: Visible text: Geseran dengan dengan memiliki polinomial karakteristik: ```math \chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1 ``` Nilai eigen adalah $$\lambda = 1$$ dengan $$\mu_A(1) = 2$$. Visible text: Nilai eigen adalah dengan . ## Sifat Matriks Serupa Matriks-matriks serupa memiliki sifat yang sangat menarik: mereka memiliki polinomial karakteristik yang sama, dan karena itu memiliki nilai eigen yang sama, jejak yang sama, dan determinan yang sama. Mari kita lihat mengapa hal ini benar. Misalkan $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ dapat diinversi dan $$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$. Maka: Visible text: Mari kita lihat mengapa hal ini benar. Misalkan dapat diinversi dan . Maka: Component: MathContainer Children: ```math \chi_B(t) = \det(B - t \cdot I) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) ``` ```math = \det(S^{-1} \cdot (A - t \cdot I) \cdot S) ``` ```math = \det S^{-1} \cdot \det(A - t \cdot I) \cdot \det S = \chi_A(t) ``` ### Sifat Vektor Eigen Matriks Serupa Sekarang, bagaimana dengan vektor eigen dari matriks serupa? Misalkan $$A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ adalah matriks serupa dengan $$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$ dan matriks invertible $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$. Jika $$\lambda \in \mathbb{K}$$ adalah nilai eigen dari $$A$$ dan $$B$$, dan $$v \in \mathbb{K}^n$$ adalah vektor eigen dari $$A$$ untuk nilai eigen $$\lambda$$, maka $$w = S^{-1} \cdot v$$ adalah vektor eigen dari $$B$$ untuk nilai eigen $$\lambda$$. Visible text: Sekarang, bagaimana dengan vektor eigen dari matriks serupa? Misalkan adalah matriks serupa dengan dan matriks invertible . Jika adalah nilai eigen dari dan , dan adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen , maka adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen . Mari kita lihat mengapa ini benar. Misalkan $$A \cdot v = \lambda \cdot v$$ dan $$w = S^{-1} \cdot v$$. Maka: Visible text: Mari kita lihat mengapa ini benar. Misalkan dan . Maka: Component: MathContainer Children: ```math B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v = S^{-1} \cdot A \cdot v ``` ```math = S^{-1} \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot S^{-1} \cdot v = \lambda \cdot w ``` Ini menunjukkan bahwa transformasi keserupaan tidak hanya mempertahankan nilai eigen, tetapi juga memberikan cara sistematis untuk mengubah vektor eigen.