# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/kesamaan-matriks
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/matrix-similarity/id.mdx

Pahami kesamaan matriks, transformasi basis, dan sifat invarian. Pelajari preservasi nilai eigen, perubahan koordinat, dan transformasi linear.

---

## Definisi Kesamaan Matriks

Dalam aljabar linear, konsep kesamaan atau kemiripan matriks sangat penting untuk memahami bagaimana dua matriks yang berbeda dapat menggambarkan transformasi linear yang sama pada ruang yang berbeda. Bayangkan seperti dua potret yang berbeda dari objek yang sama, tapi diambil dari sudut pandang yang berbeda.

Dua matriks $$A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ dikatakan **serupa** atau **mirip** jika terdapat matriks yang dapat dibalik $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ sehingga:

Visible text: Dua matriks dikatakan **serupa** atau **mirip** jika terdapat matriks yang dapat dibalik sehingga:

```math
B = S^{-1} \cdot A \cdot S
```

Matriks $$S$$ dalam hal ini disebut sebagai matriks transformasi kesamaan.

Visible text: Matriks dalam hal ini disebut sebagai matriks transformasi kesamaan.

## Transformasi Basis dan Representasi Koordinat

Untuk memahami mengapa kesamaan matriks begitu penting, kita perlu melihat hubungannya dengan transformasi basis. Misalkan $$e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$$ adalah basis kanonik dan $$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$$ adalah basis lain dari $$\mathbb{K}^n$$.

Visible text: Untuk memahami mengapa kesamaan matriks begitu penting, kita perlu melihat hubungannya dengan transformasi basis. Misalkan adalah basis kanonik dan adalah basis lain dari .

Jika $$S$$ adalah matriks yang dapat dibalik dengan kolom $$v_k$$:

Visible text: Jika adalah matriks yang dapat dibalik dengan kolom :

```math
S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) \in \mathbb{K}^{n \times n}
```

Maka berlaku $$v_k = S \cdot e_k$$ atau $$e_k = S^{-1} \cdot v_k$$ untuk $$k = 1, \ldots, n$$. Matriks $$S$$ menggambarkan **transformasi basis**.

Visible text: Maka berlaku atau untuk . Matriks menggambarkan **transformasi basis**.

Sebuah vektor $$x \in \mathbb{K}^n$$ dapat dinyatakan dalam basis kanonik melalui koordinat $$x_k$$ dan dalam basis $$v_1, \ldots, v_n$$ melalui koordinat $$\xi_k$$:

Visible text: Sebuah vektor dapat dinyatakan dalam basis kanonik melalui koordinat dan dalam basis melalui koordinat :

Component: MathContainer
Children:

```math
x = \sum_{k=1}^n x_k \cdot e_k
```

```math
= \sum_{k=1}^n \xi_k \cdot v_k = S \cdot \xi
```

```math
\xi = \begin{pmatrix} \xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot x
```

Matriks $$S^{-1}$$ menggambarkan **transformasi koordinat**.

Visible text: Matriks menggambarkan **transformasi koordinat**.

## Transformasi Linear dalam Basis Berbeda

Sekarang pertimbangkan transformasi linear $$y = A \cdot x$$. Dalam basis kanonik, $$y$$ dinyatakan melalui koordinat $$y_k$$, sedangkan dalam basis $$v_1, \ldots, v_n$$ melalui koordinat $$\eta_k$$:

Visible text: Sekarang pertimbangkan transformasi linear . Dalam basis kanonik, dinyatakan melalui koordinat , sedangkan dalam basis melalui koordinat :

Component: MathContainer
Children:

```math
y = \sum_{k=1}^n y_k \cdot e_k
```

```math
= \sum_{k=1}^n \eta_k \cdot v_k = S \cdot \eta
```

```math
\eta = \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} = S^{-1} \cdot y
```

Oleh karena itu:

Component: MathContainer
Children:

```math
S \cdot \eta = y = A \cdot x
```

```math
= A \cdot S \cdot \xi
```

atau dengan kata lain:

```math
\eta = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot \xi
```

Dalam basis $$v_1, \ldots, v_n$$, transformasi linear $$y = A \cdot x$$ digambarkan oleh $$\eta = B \cdot \xi$$ dengan matriks:

Visible text: Dalam basis , transformasi linear digambarkan oleh dengan matriks:

```math
B = S^{-1} \cdot A \cdot S
```

Inilah mengapa matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama namun dilihat dari basis yang berbeda. Matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama terhadap basis yang berbeda dari $$\mathbb{K}^n$$.

Visible text: Inilah mengapa matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama namun dilihat dari basis yang berbeda. Matriks serupa menggambarkan transformasi linear yang sama terhadap basis yang berbeda dari .

## Sifat Invarian Matriks Serupa

Matriks serupa memiliki beberapa sifat mendasar yang sangat berguna. Karena mereka menggambarkan transformasi linear yang sama pada ruang berbeda, matriks serupa mempertahankan karakteristik bawaan yang sama.

Berdasarkan teorema tentang matriks serupa, jika matriks $$A$$ dan $$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$ serupa, maka keduanya memiliki:

Visible text: Berdasarkan teorema tentang matriks serupa, jika matriks dan serupa, maka keduanya memiliki:

1. **Determinan yang sama**
2. **Polinomial karakteristik yang sama**
3. **Nilai eigen yang sama**
4. **Jejak yang sama**

### Pembuktian Kesamaan Determinan

Untuk determinan, kita dapat menunjukkan:

Component: MathContainer
Children:

```math
\det(B) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S)
```

```math
= \det(S^{-1}) \cdot \det(A) \cdot \det(S)
```

Karena $$\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$$, maka:

Visible text: Karena , maka:

Component: MathContainer
Children:

```math
\det(B) = \frac{1}{\det(S)} \cdot \det(A) \cdot \det(S)
```

```math
= \det(A)
```

### Kesamaan Nilai Eigen

Jika $$v \in \mathbb{K}^n$$ adalah vektor eigen dari $$A$$ dengan nilai eigen $$\lambda \in \mathbb{K}$$, sehingga $$A \cdot v = \lambda \cdot v$$, maka $$w = S^{-1} \cdot v$$ adalah vektor eigen dari $$B$$ dengan nilai eigen yang sama:

Visible text: Jika adalah vektor eigen dari dengan nilai eigen , sehingga , maka adalah vektor eigen dari dengan nilai eigen yang sama:

Component: MathContainer
Children:

```math
B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot w
```

```math
= S^{-1} \cdot A \cdot v
```

```math
= S^{-1} \cdot \lambda \cdot v
```

```math
= \lambda \cdot w
```

Ini menunjukkan bahwa kesamaan matriks mempertahankan spektrum atau kumpulan nilai eigen, yang merupakan karakteristik dasar dari transformasi linear.