# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/matriks-ortogonal-dan-uniter
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/orthogonal-unitary-matrix/id.mdx

Pelajari matriks ortogonal dan uniter melalui sifat determinan, nilai eigen, contoh rotasi, dan penggunaannya dalam aljabar linear.

---

## Mengenal Matriks Ortogonal dan Uniter

Matriks ortogonal dan uniter adalah jenis matriks yang sangat istimewa. Bayangkan mereka seperti transformasi yang sangat "bersih" yang tidak mengubah jarak dan sudut dalam ruang, hanya memutar atau memantulkan objek.

Perbedaannya sederhana. Matriks ortogonal bekerja dengan bilangan real, sedangkan matriks uniter bekerja dengan bilangan kompleks. Keduanya punya sifat yang sama, cuma versi yang berbeda saja.

## Definisi Matematis

### Matriks Ortogonal

Matriks kuadrat real $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ disebut **ortogonal** kalau:

Visible text: Matriks kuadrat real disebut **ortogonal** kalau:

```math
A^{-1} = A^T
```

Artinya, untuk mendapat invers matriks ini, kita cukup transpose saja. Sangat praktis kan?

Ini sama artinya dengan:

```math
A^T A = A A^T = I
```

### Matriks Uniter

Matriks kuadrat kompleks $$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$$ disebut **uniter** kalau:

Visible text: Matriks kuadrat kompleks disebut **uniter** kalau:

```math
A^{-1} = A^H
```

Di sini $$A^H$$ adalah conjugate transpose dari $$A$$. Konsepnya mirip, cuma untuk bilangan kompleks.

Visible text: Di sini adalah conjugate transpose dari . Konsepnya mirip, cuma untuk bilangan kompleks.

Ini juga ekuivalen dengan:

```math
A^H A = A A^H = I
```

> Matriks ortogonal real sebenarnya adalah kasus khusus dari matriks uniter, karena $$\mathbb{R}^{n \times n} \subset \mathbb{C}^{n \times n}$$.

Visible text: > Matriks ortogonal real sebenarnya adalah kasus khusus dari matriks uniter, karena .

## Sifat Determinan yang Menarik

Yang menarik dari matriks ortogonal dan uniter adalah determinannya selalu punya nilai absolut $$1$$. Kenapa bisa begitu?

Visible text: Yang menarik dari matriks ortogonal dan uniter adalah determinannya selalu punya nilai absolut . Kenapa bisa begitu?

Untuk matriks uniter $$A$$, kita punya $$A^H A = I$$. Kalau kita hitung determinannya:

Visible text: Untuk matriks uniter , kita punya . Kalau kita hitung determinannya:

Component: MathContainer
Children:

```math
1 = \det I = \det(A^H A) = \det A^H \cdot \det A = \overline{\det A} \cdot \det A = |\det A|^2
```

Jadi $$|\det A| = 1$$. Untuk matriks ortogonal, cara buktikannya sama, cuma pakai $$A^T A = I$$.

Visible text: Jadi . Untuk matriks ortogonal, cara buktikannya sama, cuma pakai .

## Nilai Eigen yang Istimewa

Nilai eigen dari matriks ortogonal dan uniter juga punya sifat khusus. Setiap nilai eigen $$\lambda$$ selalu memenuhi:

Visible text: Nilai eigen dari matriks ortogonal dan uniter juga punya sifat khusus. Setiap nilai eigen selalu memenuhi:

```math
|\lambda| = 1
```

Mengapa demikian? Misalkan $$A \cdot v = \lambda \cdot v$$ untuk vektor eigen $$v \neq 0$$. Untuk kasus kompleks, kita bisa hitung:

Visible text: Mengapa demikian? Misalkan untuk vektor eigen . Untuk kasus kompleks, kita bisa hitung:

Component: MathContainer
Children:

```math
v^H v = v^H A^H A v = (A \cdot v)^H (A \cdot v) = (\lambda \cdot v)^H (\lambda \cdot v)
```

```math
= \overline{\lambda} \cdot \lambda \cdot v^H v = |\lambda|^2 \cdot v^H v
```

Karena $$v^H v \neq 0$$, maka $$|\lambda|^2 = 1$$, sehingga $$|\lambda| = 1$$.

Visible text: Karena , maka , sehingga .

## Bentuk Nilai Eigen

Untuk matriks ortogonal real, nilai eigennya bisa $$1$$ atau $$-1$$ kalau real. Tapi kalau kompleks, bentuknya bisa ditulis sebagai:

Visible text: Untuk matriks ortogonal real, nilai eigennya bisa atau kalau real. Tapi kalau kompleks, bentuknya bisa ditulis sebagai:

```math
\lambda = \exp(i\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi
```

Ini artinya nilai eigen kompleks terletak di lingkaran unit di bidang kompleks.

## Contoh Konkret Matriks Rotasi

Mari lihat contoh yang familiar yaitu matriks rotasi:

```math
A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}
```

Kita bisa cek bahwa ini matriks ortogonal:

Component: MathContainer
Children:

```math
A^T A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha(-\sin \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha \\ (-\sin \alpha) \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & (-\sin \alpha)(-\sin \alpha) + \cos^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
```

### Mencari Nilai Eigen

Polinomial karakteristiknya adalah:

Component: MathContainer
Children:

```math
\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} \cos \alpha - t & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha - t \end{pmatrix}
```

```math
= (\cos \alpha - t)^2 + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2t \cos \alpha + t^2
```

```math
= 1 - 2t \cos \alpha + t^2
```

Nilai eigennya adalah:

```math
\lambda_{1,2} = \cos \alpha \pm \sqrt{\cos^2 \alpha - 1} = \cos \alpha \pm \sqrt{-\sin^2 \alpha} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha
```

Hasilnya adalah $$\lambda_{1,2} = e^{\pm i\alpha}$$.

Visible text: Hasilnya adalah .

Transformasi $$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : x \mapsto A \cdot x$$ menggambarkan rotasi sebesar sudut $$\alpha$$. Untuk $$\alpha \neq 0$$ dan $$\alpha \neq \pi$$, matriks ini tidak punya nilai eigen real, tapi punya dua nilai eigen kompleks.

Visible text: Transformasi menggambarkan rotasi sebesar sudut . Untuk dan , matriks ini tidak punya nilai eigen real, tapi punya dua nilai eigen kompleks.