# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/nilai-eigen-dari-matriks-diagonal-dan-segitiga Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-diagonal-matrix/id.mdx Temukan cara membaca nilai eigen langsung dari entri diagonal matriks diagonal dan segitiga, plus hubungan determinan-jejak. --- ## Matriks Diagonal dan Sifat Khususnya Untuk matriks diagonal, nilai eigen bisa langsung dibaca dari entri diagonal utamanya. Ini adalah salah satu keistimewaan paling menarik dalam aljabar linear. Nilai eigen dari matriks diagonal kuadrat atau matriks segitiga $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ Visible text: Nilai eigen dari matriks diagonal kuadrat atau matriks segitiga Component: MathContainer Children: ```math A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix} ``` ```math \text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & * \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix} ``` ```math \text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ * & & a_{nn} \end{pmatrix} ``` adalah entri diagonal utamanya: ```math \lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn} ``` Mengapa hal ini benar? Karena $$\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)$$ dengan akar-akar $$a_{11}, \ldots, a_{nn}$$. Visible text: Mengapa hal ini benar? Karena dengan akar-akar . Sifat ini sangat memudahkan kita karena tidak perlu menghitung determinan atau menyelesaikan persamaan karakteristik yang kompleks. ## Matriks Segitiga Atas dan Bawah Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama. Hal ini terjadi karena ketika kita menghitung $$\det(A - tI)$$, entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mempengaruhi hasil perhitungan determinan. Struktur segitiga membuat determinan bisa dihitung sebagai perkalian entri diagonal. Visible text: Hal ini terjadi karena ketika kita menghitung , entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mempengaruhi hasil perhitungan determinan. Struktur segitiga membuat determinan bisa dihitung sebagai perkalian entri diagonal. ## Contoh Perhitungan Langsung Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini dengan lebih baik. ### Nilai Eigen Kompleks Misalkan $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$. Polinomial karakteristiknya adalah: Visible text: Misalkan . Polinomial karakteristiknya adalah: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (1-t) \cdot (1-t) - 1 \cdot (-1) = t^2 - 2t + 2 ``` yang memiliki akar $$\lambda_1 = 1 + i$$ dan $$\lambda_2 = 1 - i$$. Visible text: yang memiliki akar dan . ### Nilai Eigen Nol Untuk $$A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$, polinomial karakteristiknya adalah: Visible text: Untuk , polinomial karakteristiknya adalah: Component: MathContainer Children: ```math \chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix} ``` ```math = (1-t) \cdot (1-t) - i \cdot (-i) = t^2 - 2t ``` dengan akar $$\lambda_1 = 2$$ dan $$\lambda_2 = 0$$. Visible text: dengan akar dan . ## Faktorisasi Polinomial Karakteristik Ketika matriks $$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$$ memiliki $$n$$ nilai eigen yang tidak harus berbeda $$\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}$$, polinomial karakteristik $$\chi_A(t)$$ bisa difaktorkan sebagai: Visible text: Ketika matriks memiliki nilai eigen yang tidak harus berbeda , polinomial karakteristik bisa difaktorkan sebagai: ```math \chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t) ``` Jumlah multiplisitas aljabar dari semua nilai eigen adalah $$n$$: Visible text: Jumlah multiplisitas aljabar dari semua nilai eigen adalah : ```math \sum_{\lambda \in \mathbb{C}} \mu_A(\lambda) = n ``` Dalam bentuk yang lebih kompak: ```math \chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \mathbb{C}} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)} ``` Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat. ## Hubungan Determinan dan Jejak Ada hubungan fundamental antara nilai eigen dengan determinan dan jejak matriks. Jika polinomial karakteristik $$\chi_A(t)$$ dapat difaktorkan secara linear di $$\mathbb{K}$$, yang berarti matriks $$A$$ memiliki $$n$$ nilai eigen $$\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$$, maka: Visible text: Ada hubungan fundamental antara nilai eigen dengan determinan dan jejak matriks. Jika polinomial karakteristik dapat difaktorkan secara linear di , yang berarti matriks memiliki nilai eigen , maka: Component: MathContainer Children: ```math \det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i ``` ```math \text{tr} A = \sum_{i=1}^n \lambda_i ``` **Determinan adalah hasil kali** semua nilai eigen, sementara **jejak adalah jumlah** semua nilai eigen. Mari kita verifikasi dengan contoh sebelumnya: Untuk $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ dengan $$\lambda_1 = 1 + i$$, $$\lambda_2 = 1 - i$$: Visible text: Untuk dengan , : Component: MathContainer Children: ```math \det A = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2 = \lambda_1 \cdot \lambda_2 ``` ```math \text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2 ``` Untuk $$A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$ dengan $$\lambda_1 = 2$$, $$\lambda_2 = 0$$: Visible text: Untuk dengan , : Component: MathContainer Children: ```math \det A = 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) = 0 = \lambda_1 \cdot \lambda_2 ``` ```math \text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2 ``` Hubungan ini sangat berguna untuk verifikasi perhitungan dan memberikan wawasan geometris tentang transformasi linear yang diwakili oleh matriks.