# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/perhitungan-nilai-eigen-individu Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/individual-eigenvalue-calculation/id.mdx Pelajari tiga metode perhitungan nilai eigen: iterasi invers dengan shift, von Mises untuk eigen dominan, dan teknik mencari eigen terkecil. --- ## Metode Iterasi Invers dengan Pergeseran Metode iterasi invers dengan pergeseran dirancang untuk menghitung nilai eigen spesifik yang mendekati tebakan awal. Algoritma ini menggunakan parameter pergeseran $$\mu$$ sebagai panduan pencarian menuju nilai eigen tertentu. Visible text: Metode iterasi invers dengan pergeseran dirancang untuk menghitung nilai eigen spesifik yang mendekati tebakan awal. Algoritma ini menggunakan parameter pergeseran sebagai panduan pencarian menuju nilai eigen tertentu. Bayangkan kamu mencari stasiun radio di tengah banyak frekuensi. Tanpa pergeseran, kamu mendengar semua stasiun sekaligus (tidak jelas). Dengan pergeseran, kamu mengarahkan dial ke frekuensi tertentu untuk mendapatkan satu stasiun yang jernih. Algoritma dimulai dengan matriks $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ dan parameter pergeseran $$\mu \in \mathbb{R}$$. Vektor awal $$w_0 \in \mathbb{R}^n$$ dinormalisasi menjadi $$\hat{w}_0 := w_0/\|w_0\|$$ dan iterasi dimulai dari $$k := 0$$. Visible text: Algoritma dimulai dengan matriks dan parameter pergeseran . Vektor awal dinormalisasi menjadi dan iterasi dimulai dari . ### Dekomposisi LU dan Iterasi Langkah pertama adalah menghitung dekomposisi LU dari matriks $$A - \mu \cdot I$$. Dekomposisi ini dilakukan sekali di awal dan digunakan berulang dalam setiap iterasi untuk efisiensi komputasi. Visible text: Langkah pertama adalah menghitung dekomposisi LU dari matriks . Dekomposisi ini dilakukan sekali di awal dan digunakan berulang dalam setiap iterasi untuk efisiensi komputasi. Component: MathContainer Children: ```math w_{k+1} := (A - \mu \cdot I)^{-1} \cdot \hat{w}_k ``` Praktiknya, alih-alih menghitung invers matriks langsung, kita menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan dekomposisi LU Component: MathContainer Children: ```math (A - \mu \cdot I) \cdot w_{k+1} = \hat{w}_k ``` ### Normalisasi dan Konvergensi Setelah memperoleh $$w_{k+1}$$, lakukan normalisasi untuk mencegah pertumbuhan tak terkendali Visible text: Setelah memperoleh , lakukan normalisasi untuk mencegah pertumbuhan tak terkendali Component: MathContainer Children: ```math \hat{w}_{k+1} := w_{k+1}/\|w_{k+1}\| ``` Estimasi nilai eigen menggunakan rasio komponen vektor. Untuk indeks $$j$$ dengan $$(\hat{w}_k)_j \neq 0$$ Visible text: Estimasi nilai eigen menggunakan rasio komponen vektor. Untuk indeks dengan Component: MathContainer Children: ```math \lambda := (w_{k+1})_j / (\hat{w}_k)_j ``` Iterasi berlanjut hingga memenuhi kriteria konvergensi $$|1/\lambda - 1/\lambda_{\text{lama}}| \leq \text{toleransi}$$. Parameter toleransi adalah nilai ambang batas yang menentukan seberapa akurat hasil yang diinginkan, misalnya $$10^{-6}$$ untuk akurasi enam digit desimal. Visible text: Iterasi berlanjut hingga memenuhi kriteria konvergensi . Parameter toleransi adalah nilai ambang batas yang menentukan seberapa akurat hasil yang diinginkan, misalnya untuk akurasi enam digit desimal. Bayangkan seperti mengukur tinggi badan dengan penggaris. Toleransi menentukan seberapa presisi pengukuran yang kamu terima (apakah cukup akurat sampai centimeter, atau perlu sampai milimeter). Semakin kecil nilai toleransi, semakin akurat hasilnya, tetapi memerlukan lebih banyak iterasi. Hasil akhir memberikan nilai eigen $$1/\lambda + \mu$$ dan vektor eigen $$\hat{w}_k$$. Visible text: Hasil akhir memberikan nilai eigen dan vektor eigen . ## Metode von Mises untuk Nilai Eigen Dominan Metode iterasi vektor von Mises menemukan nilai eigen dengan magnitudo terbesar (nilai eigen dominan). Algoritma ini menggunakan proses iterasi sederhana dengan perkalian matriks berulang. Algoritma dimulai dengan vektor awal $$w_0 \in \mathbb{R}^n$$ yang dinormalisasi $$\hat{w}_0 := w_0/\|w_0\|$$ dan iterasi dimulai dari $$k := 0$$. Visible text: Algoritma dimulai dengan vektor awal yang dinormalisasi dan iterasi dimulai dari . ### Iterasi dan Konvergensi Setiap iterasi melakukan dua operasi utama Component: MathContainer Children: ```math w_{k+1} := A \cdot \hat{w}_k ``` ```math \hat{w}_{k+1} := w_{k+1}/\|w_{k+1}\| ``` Estimasi nilai eigen menggunakan rasio komponen untuk indeks $$j$$ dengan $$(\hat{w}_k)_j \neq 0$$ Visible text: Estimasi nilai eigen menggunakan rasio komponen untuk indeks dengan Component: MathContainer Children: ```math \lambda := (w_{k+1})_j / (\hat{w}_k)_j ``` Iterasi berlanjut hingga $$|\lambda - \lambda_{\text{lama}}| \leq \text{toleransi}$$. Nilai toleransi menentukan tingkat ketelitian yang dibutuhkan, biasanya berkisar antara $$10^{-8}$$ hingga $$10^{-12}$$ untuk perhitungan presisi tinggi. Hasil akhir adalah nilai eigen dominan $$\lambda$$ dan vektor eigen $$\hat{w}_k$$. Visible text: Iterasi berlanjut hingga . Nilai toleransi menentukan tingkat ketelitian yang dibutuhkan, biasanya berkisar antara hingga untuk perhitungan presisi tinggi. Hasil akhir adalah nilai eigen dominan dan vektor eigen . Metode ini berhasil jika $$|\lambda_1| > |\lambda_2|$$ dan vektor awal $$w_0$$ memiliki komponen tidak nol dalam arah vektor eigen dominan. Dengan asumsi tersebut, iterasi konvergen ke nilai eigen dominan $$\lambda_1$$ dan vektor eigen terkait. Visible text: Metode ini berhasil jika dan vektor awal memiliki komponen tidak nol dalam arah vektor eigen dominan. Dengan asumsi tersebut, iterasi konvergen ke nilai eigen dominan dan vektor eigen terkait. ## Teknik Mencari Nilai Eigen Terkecil Untuk matriks yang dapat diinvertibel, terdapat hubungan penting antara nilai eigen matriks dan inversnya. Jika $$A \cdot v_n = \lambda_n \cdot v_n$$, maka berlaku Visible text: Untuk matriks yang dapat diinvertibel, terdapat hubungan penting antara nilai eigen matriks dan inversnya. Jika , maka berlaku Component: MathContainer Children: ```math A^{-1} \cdot v_n = \frac{1}{\lambda_n} \cdot v_n ``` Artinya, nilai eigen terkecil dari $$A$$ menjadi nilai eigen terbesar dari $$A^{-1}$$. Dengan menerapkan iterasi vektor pada $$A^{-1}$$, kita memperoleh nilai eigen terkecil dari matriks asli. Visible text: Artinya, nilai eigen terkecil dari menjadi nilai eigen terbesar dari . Dengan menerapkan iterasi vektor pada , kita memperoleh nilai eigen terkecil dari matriks asli. Praktiknya, setiap iterasi menyelesaikan sistem linear $$A \cdot w_{k+1} = \hat{w}_k$$ menggunakan dekomposisi LU, menghindari perhitungan invers eksplisit yang tidak efisien. Visible text: Praktiknya, setiap iterasi menyelesaikan sistem linear menggunakan dekomposisi LU, menghindari perhitungan invers eksplisit yang tidak efisien.