# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/proyeksi-ortogonal Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/orthogonal-projection/id.mdx Pelajari teori proyeksi ortogonal dengan teorema eksistensi, formula basis ortonormal, matriks Gram, dan metode pendekatan terbaik dalam ruang vektor. --- ## Teorema Eksistensi dan Keunikan Pertanyaan penting yang muncul adalah apakah pendekatan terbaik itu benar-benar ada dan apakah solusinya unik? Jawabannya adalah ya. Misalkan $$V$$ adalah ruang vektor euklidean dan $$S \subset V$$ adalah subruang vektor berdimensi hingga. Maka untuk setiap $$f \in V$$ terdapat pendekatan terbaik $$g \in S$$ yang tunggal dengan Visible text: Pertanyaan penting yang muncul adalah apakah pendekatan terbaik itu benar-benar ada dan apakah solusinya unik? Jawabannya adalah ya. Misalkan adalah ruang vektor euklidean dan adalah subruang vektor berdimensi hingga. Maka untuk setiap terdapat pendekatan terbaik yang tunggal dengan ```math \|f - g\| = \min_{\varphi \in S} \|f - \varphi\| ``` Teorema ini memberikan jaminan bahwa pendekatan terbaik selalu ada dan bersifat unik. Seperti mencari titik terdekat dari sebuah lokasi ke jalan raya, selalu ada satu titik yang memberikan jarak terpendek. Misalkan $$n$$ adalah dimensi dari $$S$$ dan $$\psi_1, \ldots, \psi_n$$ adalah basis dari $$S$$. Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt, kita dapat menghitung basis ortonormal $$\varphi_1, \ldots, \varphi_n$$ dari $$S$$ dengan $$\langle \varphi_i, \varphi_k \rangle = \delta_{ik}$$. Visible text: Misalkan adalah dimensi dari dan adalah basis dari . Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt, kita dapat menghitung basis ortonormal dari dengan . Setiap $$g \in S$$ memiliki representasi tunggal sebagai $$g = \sum_{i=1}^n \alpha_i \varphi_i$$. Kemudian berlaku Visible text: Setiap memiliki representasi tunggal sebagai . Kemudian berlaku Component: MathContainer Children: ```math \|f - g\|^2 = \langle f - g, f - g \rangle = \left\langle f - \sum_{i=1}^n \alpha_i \varphi_i, f - \sum_{k=1}^n \alpha_k \varphi_k \right\rangle ``` ```math = \langle f, f \rangle - 2 \sum_{i=1}^n \alpha_i \langle f, \varphi_i \rangle + \sum_{i,k=1}^n \alpha_i \alpha_k \langle \varphi_i, \varphi_k \rangle ``` ```math = \|f\|^2 - 2 \sum_{i=1}^n \alpha_i \langle f, \varphi_i \rangle + \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 ``` Dengan menggunakan identitas $$(\alpha_i - \langle f, \varphi_i \rangle)^2 = \alpha_i^2 - 2\alpha_i \langle f, \varphi_i \rangle + \langle f, \varphi_i \rangle^2$$, kita peroleh Visible text: Dengan menggunakan identitas , kita peroleh ```math \|f - g\|^2 = \|f\|^2 - \sum_{i=1}^n \langle f, \varphi_i \rangle^2 + \sum_{i=1}^n (\alpha_i - \langle f, \varphi_i \rangle)^2 ``` Fungsi $$g \in S$$ adalah pendekatan terbaik dari $$f$$ jika dan hanya jika $$\alpha_i = \langle f, \varphi_i \rangle$$ untuk $$i = 1, \ldots, n$$. Visible text: Fungsi adalah pendekatan terbaik dari jika dan hanya jika untuk . ## Formula Basis Ortonormal Untuk basis ortonormal $$\varphi_1, \ldots, \varphi_n$$ dari $$S$$, pendekatan terbaik diberikan oleh Visible text: Untuk basis ortonormal dari , pendekatan terbaik diberikan oleh ```math g = \sum_{i=1}^n \langle f, \varphi_i \rangle \varphi_i ``` Pendekatan terbaik memenuhi rumus jarak ```math \|f - g\| = \left( \|f\|^2 - \sum_{i=1}^n \langle f, \varphi_i \rangle^2 \right)^{\frac{1}{2}} ``` Pendekatan terbaik $$g$$ dari $$f$$ dalam $$S$$ adalah proyeksi ortogonal dari $$f$$ pada $$S$$. Hal ini berarti Visible text: Pendekatan terbaik dari dalam adalah proyeksi ortogonal dari pada . Hal ini berarti ```math \langle f - g, \varphi \rangle = 0 \text{ untuk semua } \varphi \in S ``` Secara geometris, vektor dari $$g$$ ke $$f$$ tegak lurus terhadap subruang $$S$$. Bayangkan seperti menjatuhkan bola dari udara ke lantai, titik jatuhnya adalah proyeksi ortogonal bola tersebut pada lantai. Visible text: Secara geometris, vektor dari ke tegak lurus terhadap subruang . Bayangkan seperti menjatuhkan bola dari udara ke lantai, titik jatuhnya adalah proyeksi ortogonal bola tersebut pada lantai. ## Konstruksi dengan Basis Sembarang Ketika basis ortonormal dari $$S$$ tidak diketahui, kita dapat menggunakan basis sembarang $$\psi_1, \ldots, \psi_n$$ dari $$S$$. Misalkan $$g = \sum_{i=1}^n \alpha_i \psi_i$$ adalah representasi unik dari $$g$$ terhadap basis ini. Visible text: Ketika basis ortonormal dari tidak diketahui, kita dapat menggunakan basis sembarang dari . Misalkan adalah representasi unik dari terhadap basis ini. Karena $$\psi_k \in S$$, maka kondisi ortogonalitas memberikan Visible text: Karena , maka kondisi ortogonalitas memberikan ```math \left\langle f - \sum_{i=1}^n \alpha_i \psi_i, \psi_k \right\rangle = 0, \quad k = 1, \ldots, n ``` Ini menghasilkan sistem persamaan linear ```math \sum_{i=1}^n \alpha_i \langle \psi_i, \psi_k \rangle = \langle f, \psi_k \rangle, \quad k = 1, \ldots, n ``` Matriks koefisien $$A = (\langle \psi_i, \psi_k \rangle)_{i=1,\ldots,n,k=1,\ldots,n}$$ disebut matriks Gram dari basis $$\psi_1, \ldots, \psi_n$$. Matriks ini bersifat simetris dan positif definit. Untuk $$\alpha \neq 0$$ berlaku Visible text: Matriks koefisien disebut matriks Gram dari basis . Matriks ini bersifat simetris dan positif definit. Untuk berlaku ```math \alpha^T A \alpha = \sum_{i,k=1}^n \langle \psi_i, \psi_k \rangle \alpha_i \alpha_k = \left\| \sum_{i=1}^n \alpha_i \psi_i \right\|^2 > 0 ``` Namun, matriks $$A$$ dapat menjadi sangat buruk kondisinya dalam praktik. Sebagai contoh, untuk basis monomial $$1, x, \ldots, x^n$$, matriks menjadi sangat tidak stabil sehingga perhitungan $$g$$ menjadi sulit dilakukan untuk $$n$$ yang besar. Visible text: Namun, matriks dapat menjadi sangat buruk kondisinya dalam praktik. Sebagai contoh, untuk basis monomial , matriks menjadi sangat tidak stabil sehingga perhitungan menjadi sulit dilakukan untuk yang besar. Pendekatan Gauss dengan basis ortonormal dari $$S$$ memiliki keunggulan karena kemudahan perhitungan pendekatan terbaik Visible text: Pendekatan Gauss dengan basis ortonormal dari memiliki keunggulan karena kemudahan perhitungan pendekatan terbaik Component: MathContainer Children: ```math g(x) = \sum_{k=1}^n \langle f, \varphi_k \rangle \varphi_k(x) ``` ```math = \sum_{k=1}^n \int_a^b f(t) \varphi_k(t) \, dt \, \varphi_k(x) ``` tanpa perlu menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan basis ortonormal, kita dapat langsung menghitung koefisien proyeksi seperti menggunakan sistem koordinat yang sudah tersusun rapi dan saling tegak lurus.