# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/sistem-persamaan-linear Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/system-linear-equation/id.mdx Selesaikan sistem linear berlebih dengan metode kuadrat terkecil. Pelajari curve fitting, model polinomial, dan solusi matriks untuk data nyata. --- ## Sistem Persamaan Linear Berlebih Bayangkan kita sedang mencoba mencocokkan sebuah kurva dengan sekumpulan data. Dalam banyak kasus praktis, kita memiliki lebih banyak data daripada parameter yang ingin kita cari. Situasi seperti ini menciptakan apa yang disebut **sistem persamaan linear berlebih**. Sistem ini memiliki karakteristik khusus. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang tidak diketahui. Secara matematis, jika kita punya $$m$$ persamaan dan $$n$$ variabel, maka kondisi $$m > n$$ membuat sistem ini "berlebih". Visible text: Sistem ini memiliki karakteristik khusus. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang tidak diketahui. Secara matematis, jika kita punya persamaan dan variabel, maka kondisi membuat sistem ini "berlebih". ## Contoh Nyata dengan Model Polinomial Kuadrat Mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita memiliki $$7$$ titik data yang ingin kita cocokkan dengan sebuah parabola atau kurva kuadrat. Visible text: Mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita memiliki titik data yang ingin kita cocokkan dengan sebuah parabola atau kurva kuadrat. Data yang kita miliki adalah sebagai berikut. | $$i$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ | $$7$$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $$t_i$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | | $$y_i$$ | $$-2.2$$ | $$-4.2$$ | $$-4.2$$ | $$-1.8$$ | $$1.8$$ | $$8.2$$ | $$15.8$$ | Visible text: | | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---|---| | | | | | | | | | | | | | | | | | | Kita ingin mencari sebuah parabola yang bentuknya seperti ini. ```math y = a_2 \cdot t^2 + a_1 \cdot t + a_0 ``` Di sini kita mencari $$3$$ parameter, yaitu $$a_2$$ (koefisien kuadrat), $$a_1$$ (koefisien linear), dan $$a_0$$ (konstanta). Visible text: Di sini kita mencari parameter, yaitu (koefisien kuadrat), (koefisien linear), dan (konstanta). ## Menyusun Sistem Persamaan Sekarang, bagaimana kita menggunakan data ini untuk mencari parameter parabola? Idenya sederhana. Untuk setiap titik data, kita bisa menuliskan satu persamaan. Dengan $$7$$ titik data, kita akan mendapatkan $$7$$ persamaan. Visible text: Sekarang, bagaimana kita menggunakan data ini untuk mencari parameter parabola? Idenya sederhana. Untuk setiap titik data, kita bisa menuliskan satu persamaan. Dengan titik data, kita akan mendapatkan persamaan. Component: MathContainer Children: ```math a_2 \cdot (-3)^2 + a_1 \cdot (-3) + a_0 = -2.2 ``` ```math a_2 \cdot (-2)^2 + a_1 \cdot (-2) + a_0 = -4.2 ``` ```math a_2 \cdot (-1)^2 + a_1 \cdot (-1) + a_0 = -4.2 ``` ```math a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = -1.8 ``` ```math a_2 \cdot 1^2 + a_1 \cdot 1 + a_0 = 1.8 ``` ```math a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2 + a_0 = 8.2 ``` ```math a_2 \cdot 3^2 + a_1 \cdot 3 + a_0 = 15.8 ``` Sekarang mari kita hitung nilai kuadrat untuk setiap $$t_i$$. Misalnya, untuk $$t_1 = -3$$, kita punya $$(-3)^2 = 9$$. Begitu juga dengan yang lain. Setelah dihitung semua, persamaan kita menjadi seperti ini. Visible text: Sekarang mari kita hitung nilai kuadrat untuk setiap . Misalnya, untuk , kita punya . Begitu juga dengan yang lain. Setelah dihitung semua, persamaan kita menjadi seperti ini. Component: MathContainer Children: ```math 9a_2 - 3a_1 + a_0 = -2.2 ``` ```math 4a_2 - 2a_1 + a_0 = -4.2 ``` ```math 1a_2 - 1a_1 + a_0 = -4.2 ``` ```math 0a_2 + 0a_1 + a_0 = -1.8 ``` ```math 1a_2 + 1a_1 + a_0 = 1.8 ``` ```math 4a_2 + 2a_1 + a_0 = 8.2 ``` ```math 9a_2 + 3a_1 + a_0 = 15.8 ``` ## Bentuk Matriks Sistem persamaan di atas bisa ditulis dalam bentuk matriks $$A \cdot x = b$$. Visible text: Sistem persamaan di atas bisa ditulis dalam bentuk matriks . Component: MathContainer Children: ```math \begin{pmatrix} 9 & -3 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.2 \\ -4.2 \\ -4.2 \\ -1.8 \\ 1.8 \\ 8.2 \\ 15.8 \end{pmatrix} ``` Secara umum, untuk model polinomial kuadrat dengan $$m$$ titik data, bentuk matriksnya adalah sebagai berikut. Visible text: Secara umum, untuk model polinomial kuadrat dengan titik data, bentuk matriksnya adalah sebagai berikut. Component: MathContainer Children: ```math \begin{pmatrix} t_1^2 & t_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ t_m^2 & t_m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} ``` ## Mengapa Tidak Ada Solusi Tepat Sekarang kita hadapi situasi yang menarik. Dalam contoh kita, matriks $$A$$ berukuran $$7 \times 3$$ dan vektor $$x$$ berukuran $$3 \times 1$$. Artinya, kita memiliki $$7$$ persamaan tetapi hanya $$3$$ variabel yang tidak diketahui. Visible text: Sekarang kita hadapi situasi yang menarik. Dalam contoh kita, matriks berukuran dan vektor berukuran . Artinya, kita memiliki persamaan tetapi hanya variabel yang tidak diketahui. Apakah ini berarti sistemnya tidak bisa diselesaikan? Mari kita periksa lebih teliti. Ketiga kolom matriks $$A$$ saling bebas linear, sehingga peringkat matriks $$A$$ adalah $$3$$. Namun ketika kita menambahkan vektor $$b$$ ke matriks $$A$$ untuk membentuk matriks diperluas $$(A|b)$$, peringkatnya menjadi $$4$$. Visible text: Ketiga kolom matriks saling bebas linear, sehingga peringkat matriks adalah . Namun ketika kita menambahkan vektor ke matriks untuk membentuk matriks diperluas , peringkatnya menjadi . Kondisi ini memberitahu kita sesuatu yang penting. Sistem ini **tidak memiliki solusi tepat**. Dalam bahasa sederhana, tidak ada parabola tunggal yang bisa melewati ke-$$7$$ titik data secara sempurna. Visible text: Kondisi ini memberitahu kita sesuatu yang penting. Sistem ini **tidak memiliki solusi tepat**. Dalam bahasa sederhana, tidak ada parabola tunggal yang bisa melewati ke- titik data secara sempurna. ## Solusi dengan Kuadrat Terkecil Lalu apa yang harus kita lakukan? Menyerah? Tentu tidak! Ketika sistem persamaan linear berlebih tidak memiliki solusi tepat, kita menggunakan pendekatan **kuadrat terkecil**. Ide dasarnya sangat masuk akal. Jika kita tidak bisa menemukan parabola yang melewati semua titik, mari kita cari parabola yang "paling dekat" dengan semua titik. Secara matematis, metode ini mencari parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat selisih antara nilai prediksi dan nilai observasi. Bayangkan kita menggambar parabola, lalu mengukur jarak vertikal dari setiap titik data ke parabola tersebut. Metode kuadrat terkecil mencari parabola yang membuat total kuadrat jarak-jarak ini paling kecil. > Sistem persamaan linear berlebih sangat umum dalam dunia nyata, > terutama ketika kita memiliki banyak data pengukuran tetapi model yang relatif sederhana. Pendekatan kuadrat terkecil memberikan solusi yang optimal dalam arti meminimalkan kesalahan secara keseluruhan, sehingga sangat praktis untuk aplikasi rekayasa dan sains.