# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/transformasi-sumbu-nyata
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/real-axis-transformation/id.mdx

Pelajari bentuk kuadrat dengan matriks simetris, transformasi koordinat berbasis nilai eigen, dan klasifikasi irisan kerucut meliputi elips, hiperbola, dan parabola.

---

## Bentuk Kuadrat dengan Matriks Simetris

Ketika kamu menghadapi persamaan kuadrat umum, cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan melihat strukturnya dalam bentuk matriks. Bayangkan kamu memiliki matriks simetris $$A$$ dengan elemen-elemen:

Visible text: Ketika kamu menghadapi persamaan kuadrat umum, cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan melihat strukturnya dalam bentuk matriks. Bayangkan kamu memiliki matriks simetris dengan elemen-elemen:

Component: MathContainer
Children:

```math
A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}
```

Matriks ini memiliki nilai eigen $$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$$ dan vektor eigen ortonormal yang sesuai $$v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$$. Hal yang menarik terjadi ketika kita menggunakan transformasi koordinat melalui matriks $$S = (v_1 \quad v_2) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$.

Visible text: Matriks ini memiliki nilai eigen dan vektor eigen ortonormal yang sesuai . Hal yang menarik terjadi ketika kita menggunakan transformasi koordinat melalui matriks .

Untuk transformasi koordinat, kita menggunakan $$\begin{pmatrix} \delta \\ \epsilon \end{pmatrix} = S^T \begin{pmatrix} d \\ e \end{pmatrix}$$. Dalam koordinat baru $$\xi = S^T x$$, persamaan berubah menjadi:

Visible text: Untuk transformasi koordinat, kita menggunakan . Dalam koordinat baru , persamaan berubah menjadi:

Component: MathContainer
Children:

```math
\lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + \delta \xi_1 + \epsilon \xi_2 + f = 0
```

## Proses Melengkapkan Kuadrat

Untuk kedua variabel dengan $$\lambda_1, \lambda_2 \neq 0$$, proses melengkapkan kuadrat dilakukan secara terpisah:

Visible text: Untuk kedua variabel dengan , proses melengkapkan kuadrat dilakukan secara terpisah:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{aligned} 0 &= \lambda_1 \left( \xi_1^2 + 2 \frac{\delta}{2\lambda_1} \xi_1 + \frac{\delta^2}{4\lambda_1^2} \right) - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} \\ &\quad + \lambda_2 \left( \xi_2^2 + 2 \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \xi_2 + \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2^2} \right) - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} + f \end{aligned}
```

Hasil dari proses ini memberikan bentuk yang lebih sederhana:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{aligned} &= \lambda_1 \left( \xi_1 + \frac{\delta}{2\lambda_1} \right)^2 + \lambda_2 \left( \xi_2 + \frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)^2 \\ &\quad + \left( f - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} - \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} \right) \end{aligned}
```

Dengan menentukan titik pusat $$(m_1, m_2) = \left( -\frac{\delta}{2\lambda_1}, -\frac{\epsilon}{2\lambda_2} \right)$$ dan konstanta $$\gamma = \frac{\delta^2}{4\lambda_1} + \frac{\epsilon^2}{4\lambda_2} - f$$, kita memperoleh:

Visible text: Dengan menentukan titik pusat dan konstanta , kita memperoleh:

Component: MathContainer
Children:

```math
\lambda_1 (\xi_1 - m_1)^2 + \lambda_2 (\xi_2 - m_2)^2 - \gamma = 0
```

Untuk $$\gamma > 0$$, berbagai bentuk kurva dapat muncul tergantung tanda nilai eigen.

Visible text: Untuk , berbagai bentuk kurva dapat muncul tergantung tanda nilai eigen.

## Klasifikasi Kurva

### Kedua Nilai Eigen Positif

Jika $$\lambda_1 > 0$$ dan $$\lambda_2 > 0$$, maka irisan kerucut yang terbentuk adalah **elips**:

Visible text: Jika dan , maka irisan kerucut yang terbentuk adalah **elips**:

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} + \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1
```

Dengan panjang sumbu setengah $$r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$$ dalam arah $$v_1$$ dan $$r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_2}}$$ dalam arah $$v_2$$.

Visible text: Dengan panjang sumbu setengah dalam arah dan dalam arah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Elips dalam Koordinat $$\xi_1, \xi_2$$
  Visible text: Visualisasi Elips dalam Koordinat
- description: Kurva elips dengan kedua nilai eigen positif dan sumbu utama sesuai arah vektor eigen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const t = (i / 99) * 2 * Math.PI;
const lambda1 = 2; // λ₁ > 0
const lambda2 = 1; // λ₂ > 0
const gamma = 16; // γ > 0
const m1 = 0; // δ/(2λ₁) = 0
const m2 = 0; // ε/(2λ₂) = 0
const r1 = Math.sqrt(gamma / lambda1);
const r2 = Math.sqrt(gamma / lambda2);
const x = Math.cos(t) * r1 + m1;
const y = Math.sin(t) * r2 + m2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("CYAN"),
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: [
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: "ξ₁",
at: 1,
offset: [0.3, -0.3, 0]
}
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: -3, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 }
],
color: getColor("EMERALD"),
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: "ξ₂",
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0]
}
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("ROSE"),
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [
{
text: "Pusat (m₁, m₂)",
at: 0,
offset: [0.4, 0.4, 0]
}
]
}
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

### Nilai Eigen Berlawanan Tanda

Ketika $$\lambda_1 > 0$$ dan $$\lambda_2 < 0$$, irisan kerucut yang terbentuk adalah **hiperbola**:

Visible text: Ketika dan , irisan kerucut yang terbentuk adalah **hiperbola**:

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{(\xi_1 - m_1)^2}{r_1^2} - \frac{(\xi_2 - m_2)^2}{r_2^2} = 1
```

Dengan panjang sumbu setengah $$r_1 = \sqrt{\frac{\gamma}{\lambda_1}}$$ dalam arah $$v_1$$ dan $$r_2 = \sqrt{\frac{\gamma}{-\lambda_2}}$$ dalam arah $$v_2$$.

Visible text: Dengan panjang sumbu setengah dalam arah dan dalam arah .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Hiperbola dalam Koordinat $$\xi_1, \xi_2$$
  Visible text: Visualisasi Hiperbola dalam Koordinat
- description: Kurva hiperbola dengan sumbu utama sesuai arah vektor eigen dan pusat transformasi.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 60 }, (_, i) => {
const t = (i / 29 - 1) * 2.5;
const lambda1 = 2; // λ₁ > 0
const lambda2 = -1; // λ₂ < 0
const gamma = 3; // γ > 0
const r1 = Math.sqrt(gamma / lambda1);
const r2 = Math.sqrt(gamma / (-lambda2));
const x = Math.cosh(t) * r1;
const y = Math.sinh(t) * r2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: Array.from({ length: 60 }, (_, i) => {
const t = (i / 29 - 1) * 2.5;
const lambda1 = 2;
const lambda2 = -1;
const gamma = 3;
const r1 = Math.sqrt(gamma / lambda1);
const r2 = Math.sqrt(gamma / (-lambda2));
const x = -Math.cosh(t) * r1;
const y = Math.sinh(t) * r2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("ORANGE"),
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
const lambda1 = 2;
const lambda2 = -1;
const gamma = 3;
const r1 = Math.sqrt(gamma / lambda1);
const r2 = Math.sqrt(gamma / (-lambda2));
const slope = r2 / r1; // slope asimptot
const x = (i - 0.5) * 6; // dari -3 ke 3
const y = slope * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("SKY"),
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: "r₁",
at: 1,
offset: [0.5, -0.5, 0]
}
]
},
{
points ... [truncated; 1997 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

### Salah Satu Nilai Eigen Nol

Kondisi khusus terjadi ketika $$\lambda_1 \neq 0$$ dan $$\lambda_2 = 0$$. Melengkapkan kuadrat memberikan:

Visible text: Kondisi khusus terjadi ketika dan . Melengkapkan kuadrat memberikan:

Component: MathContainer
Children:

```math
0 = \lambda_1 \left( \xi_1^2 + 2 \frac{\delta}{2\lambda_1} \xi_1 + \frac{\delta^2}{4\lambda_1^2} \right) - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} + \epsilon \xi_2 + f
```

```math
= \lambda_1 \left( \xi_1 + \frac{\delta}{2\lambda_1} \right)^2 + \epsilon \xi_2 + \left( f - \frac{\delta^2}{4\lambda_1} \right)
```

```math
= \lambda_1 (\xi_1 - m_1)^2 + \epsilon \xi_2 - \gamma
```

Irisan kerucut yang terbentuk adalah **parabola**:

Component: MathContainer
Children:

```math
\xi_2 = -\frac{\lambda_1}{\epsilon} (\xi_1 - m_1)^2 + \frac{\gamma}{\epsilon}
```

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisasi Parabola dalam Koordinat $$\xi_1, \xi_2$$
  Visible text: Visualisasi Parabola dalam Koordinat
- description: Kurva parabola dengan satu nilai eigen nol dan transformasi sumbu koordinat sesuai vektor eigen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const t = (i / 49 - 0.5) * 6;
const lambda1 = 1; // λ₁ ≠ 0
const epsilon = -2; // ε ≠ 0
const gamma = 2; // γ
const m1 = 0; // δ/(2λ₁) = 0
const x = t;
const y = -(lambda1 / epsilon) * Math.pow(x - m1, 2) + (gamma / epsilon);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: getColor("PURPLE"),
smooth: true,
showPoints: false
},
{
points: [
{ x: -3.5, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 0 }
],
color: getColor("CYAN"),
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: "ξ₁",
at: 1,
offset: [0.3, -0.3, 0]
}
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: -0.5, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 }
],
color: getColor("CYAN"),
smooth: false,
showPoints: false,
labels: [
{
text: "ξ₂",
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0]
}
]
}
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Contoh Dua Dimensi

Irisan kerucut dalam $$\mathbb{R}^2$$ memenuhi persamaan kuadrat umum:

Visible text: Irisan kerucut dalam memenuhi persamaan kuadrat umum:

Component: MathContainer
Children:

```math
ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1 + ex_2 + f = 0
```

Yang dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d \\ e \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + f = 0
```

## Permukaan Kuadrat dan Transformasi

Untuk matriks simetris $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$, vektor $$b \in \mathbb{R}^n$$, dan skalar $$c \in \mathbb{R}$$, **permukaan kuadrat** $$Q$$ didefinisikan sebagai himpunan solusi persamaan kuadrat umum:

Visible text: Untuk matriks simetris , vektor , dan skalar , **permukaan kuadrat** didefinisikan sebagai himpunan solusi persamaan kuadrat umum:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^T A x + b^T x + c = 0
```

Yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit:

Component: MathContainer
Children:

```math
Q = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : x^T A x + b^T x + c = 0 \right\}
```

```math
= \left\{ x \in \mathbb{R}^n : \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n x_j a_{jk} x_k + \sum_{j=1}^n b_j x_j + c = 0 \right\}
```

Jika $$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$$ simetris dan $$v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$$ adalah basis ortonormal dari vektor eigen dengan $$A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$$, maka matriks ortonormal $$S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)$$ memungkinkan diagonalisasi $$A \cdot S = S \cdot \Lambda$$ atau $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S = S^T \cdot A \cdot S$$.

Visible text: Jika simetris dan adalah basis ortonormal dari vektor eigen dengan , maka matriks ortonormal memungkinkan diagonalisasi atau .

Dalam basis koordinat baru $$\xi = S^T x$$ dan $$\mu = S^T b$$, permukaan kuadrat memiliki bentuk diagonal:

Visible text: Dalam basis koordinat baru dan , permukaan kuadrat memiliki bentuk diagonal:

Component: MathContainer
Children:

```math
Q = \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n : \xi^T S^T A S \xi + b^T S \xi + c = 0 \right\}
```

```math
= \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n : \xi^T \Lambda \xi + \mu^T \xi + c = 0 \right\}
```

```math
= \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n : \sum_{j=1}^n \lambda_j \xi_j^2 + \sum_{j=1}^n \mu_j \xi_j + c = 0 \right\}
```

```math
= \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n : \sum_{j=1}^n (\lambda_j \xi_j^2 + \mu_j \xi_j) = -c \right\}
```

Dalam basis ortonormal vektor eigen, bentuk kuadrat memiliki struktur diagonal. Transformasi ini disebut **transformasi sumbu utama** karena sumbu koordinat baru sejajar dengan arah vektor eigen matriks.