# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/ai-ds/metode-linear-ai/trigonalisasi-dan-bentuk-normal-jordan
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/ai-ds/linear-methods/jordan-normal-form/id.mdx

Pelajari Bentuk Normal Jordan dan trigonalisasi matriks: dekomposisi kanonik untuk matriks tak dapat didiagonalisasi dengan blok Jordan dan nilai eigen.

---

## Trigonalisasi Matriks

Meskipun matriks $$A$$ tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.

Visible text: Meskipun matriks tidak dapat didiagonalisasi, masih berlaku teorema berikut ini.

Untuk matriks $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$, jika polinomial karakteristik dari $$A$$ dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka $$A$$ serupa dengan matriks segitiga atas $$R \in \mathbb{K}^{n \times n}$$. Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari $$A$$.

Visible text: Untuk matriks , jika polinomial karakteristik dari dapat dipecah menjadi faktor-faktor linear, maka serupa dengan matriks segitiga atas . Entri-entri pada diagonal matriks segitiga atas ini adalah semua nilai eigen dari .

Hubungan keserupaan ini dinyatakan dengan:

Component: MathContainer
Children:

```math
R = S^{-1} \cdot A \cdot S
```

dengan $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ adalah matriks yang dapat diinverskan.

Visible text: dengan adalah matriks yang dapat diinverskan.

Bentuk segitiga atas ini dapat dijelaskan secara lebih tepat melalui Bentuk Normal Jordan.

## Bentuk Normal Jordan

Misalkan $$A \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ dengan polinomial karakteristik:

Visible text: Misalkan dengan polinomial karakteristik:

Component: MathContainer
Children:

```math
\chi_A(t) = (\lambda_1 - t)^{r_1} \cdot \ldots \cdot (\lambda_k - t)^{r_k}
```

dengan nilai eigen yang saling berbeda $$\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$$. Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan $$S \in \mathbb{K}^{n \times n}$$ sedemikian sehingga:

Visible text: dengan nilai eigen yang saling berbeda . Maka terdapat matriks yang dapat diinverskan sedemikian sehingga:

Component: MathContainer
Children:

```math
S^{-1} \cdot A \cdot S = \begin{pmatrix} \lambda_1 \cdot I_{r_1} + N_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_k \cdot I_{r_k} + N_k \end{pmatrix}
```

Bentuk ini menunjukkan bagaimana matriks dapat diorganisasi menjadi blok-blok yang lebih sederhana, dimana setiap blok dikaitkan dengan satu nilai eigen tertentu.

## Struktur Blok Jordan

Untuk setiap $$i = 1, \ldots, k$$, blok Jordan $$\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i$$ memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen $$\lambda_i$$), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka $$1$$ di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.

Visible text: Untuk setiap , blok Jordan memiliki struktur yang sangat khas. Bayangkan seperti tangga yang hampir sempurna, dimana setiap anak tangga memiliki nilai yang sama (yaitu nilai eigen ), tetapi terdapat "penghubung" berupa angka di posisi tertentu yang membuat struktur ini unik.

Component: MathContainer
Children:

```math
\lambda_i \cdot I_{r_i} + N_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 & \\ & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & \lambda_i & 1 \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & \ddots & 1 \\ & & & & & & & \lambda_i & 0 \\ & & & & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & & & & \ddots & 0 \\ & & & & & & & & & & \lambda_i \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{r_i \times r_i}
```

Dalam struktur ini, nilai eigen $$\lambda_i$$ mendominasi diagonal utama, sementara angka $$1$$ muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka $$0$$ dan $$1$$ pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.

Visible text: Dalam struktur ini, nilai eigen mendominasi diagonal utama, sementara angka muncul pada posisi tertentu di atas diagonal (disebut superdiagonal). Posisi angka dan pada superdiagonal menentukan bagaimana blok Jordan terbagi menjadi sub-blok yang lebih kecil. Struktur ini memberikan informasi lengkap tentang bagaimana transformasi linear bekerja pada ruang vektor yang terkait dengan nilai eigen tersebut.