Ketidakpastian pada Pengukuran Berulang

Variasi pada Pengukuran Berulang

Saat satu benda diukur beberapa kali, hasilnya bisa sedikit berbeda. Perbedaan kecil dapat muncul karena tekanan tangan, sudut pandang saat membaca skala, atau posisi benda yang berubah.

Ketidakpastian pengukuran adalah angka nol atau positif yang menunjukkan seberapa lebar hasil ukur dapat menyebar berdasarkan data dan informasi yang tersedia. Pada pengukuran berulang, evaluasi Tipe A menghitung salah satu komponen ketidakpastian dari hasil pengamatan.

Simpangan baku sampel $s$ menunjukkan seberapa jauh hasil bacaan tersebar dari rata-rata. Ketidakpastian baku nilai rata-rata menunjukkan ketidakpastian nilai rata-rata yang dihitung dari hasil bacaan tersebut.

Pengukuran berulang menunjukkan variasi acak melalui perubahan kecil antarpembacaan. Galat sistematis, misalnya alat tidak menunjukkan nol sebelum digunakan atau skala alat rusak, harus diperiksa melalui kalibrasi.

Rata-rata Pengukuran

Diameter satu tutup botol diukur $5$ kali dengan jangka sorong. Semua pembacaan memakai satuan yang sama, yaitu $\text{cm}$ .

Data	Diameter
$d_1$	$3{,}12 \text{ cm}$
$d_2$	$3{,}14 \text{ cm}$
$d_3$	$3{,}15 \text{ cm}$
$d_4$	$3{,}11 \text{ cm}$
$d_5$	$3{,}14 \text{ cm}$

Untuk data berulang yang menyebar simetris tanpa pencilan yang jelas, rata-rata menjadi nilai wakil yang sesuai.

\bar d=\frac{\sum_{i=1}^{N} d_i}{N}

Untuk data di atas:

Jumlahkan dahulu nilai pembacaan dalam sentimeter:

\begin{aligned} S &=3{,}12+3{,}14+3{,}15 \\ &\quad{}+3{,}11+3{,}14 \\ &=15{,}66 \end{aligned}

Nilai rata-rata menunjukkan pusat data, tetapi belum menunjukkan seberapa jauh hasil pengukuran menyebar. Untuk melihat penyebaran itu, kita menghitung simpangan baku.

Sebaran Data di Sekitar Rata-rata

Untuk data berulang, sebaran sampel dapat dihitung dari jarak setiap data terhadap nilai rata-rata.

s_d=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(d_i-\bar d)^2}{N-1}}

Penyebut $N-1$ dipakai karena rata-rata sampel $\bar d$ dihitung dari data yang sama. Jumlah semua selisih terhadap rata-rata harus sama dengan nol, sehingga hanya $N-1$ selisih yang dapat berubah secara bebas.

Jumlahkan dahulu kuadrat nilai simpangannya:

\begin{aligned} V &=(-0{,}012)^2+(0{,}008)^2 \\ &\quad{}+(0{,}018)^2+(-0{,}022)^2 \\ &\quad{}+(0{,}008)^2 \\ &=0{,}00108 \end{aligned}

Jika kita menulis hasil diameter dengan ketidakpastian sebaran data, bentuknya menjadi:

d=(3{,}13 \pm 0{,}02)\text{ cm}

Angka $3{,}13 \text{ cm}$ adalah nilai wakil data. Angka $0{,}02 \text{ cm}$ menunjukkan bahwa hasil pengukuran berulang tidak persis sama.

Sebaran Data dan Ketidakpastian Rata-rata

Beberapa soal pengukuran berulang memakai bentuk aljabar ringkas berikut.

Singkat kedua jumlah tanpa mengubah rumus:

S_1=\sum_{i=1}^N x_i,\quad S_2=\sum_{i=1}^N x_i^2

Rumus itu setara dengan simpangan baku sampel:

\Delta x=s_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar x)^2}{N-1}}

Jadi, tanda $\frac{1}{\sqrt N}$ pada bentuk ringkas bukan berarti hasilnya otomatis menjadi ketidakpastian rata-rata formal.

Dalam metrologi formal, NIST dan JCGM GUM menyebut ketidakpastian baku nilai rata-rata sebagai:

u(\bar x)=\frac{s_x}{\sqrt N}

Ikuti notasi yang ditetapkan pada soal pengukuran. Jika $\Delta x$ menyatakan rumus ringkas di atas, maka $\Delta x$ adalah simpangan baku sampel dari setiap hasil ukur. Jangan samakan sebaran ini dengan ketidakpastian baku nilai rata-rata $u(\bar x)=s_x/\sqrt N$ .

Luas dari Data Diameter

Kadang data yang diukur adalah diameter, tetapi yang diminta adalah luas permukaan tutup botol. Untuk lingkaran, luasnya:

A=\frac{1}{4}\pi d^2

Karena luas bergantung pada diameter, setiap pembacaan diameter menghasilkan luas yang sedikit berbeda. Pakai nilai $\pi$ dari kalkulator dan pertahankan nilai luas yang belum dibulatkan selama menghitung. Tabel hanya menampilkan $4$ tempat desimal agar mudah dibaca.

Data	Diameter	Luas dari diameter
$1$	$3{,}12 \text{ cm}$	$7{,}6454 \text{ cm}^2$
$2$	$3{,}14 \text{ cm}$	$7{,}7437 \text{ cm}^2$
$3$	$3{,}15 \text{ cm}$	$7{,}7931 \text{ cm}^2$
$4$	$3{,}11 \text{ cm}$	$7{,}5964 \text{ cm}^2$
$5$	$3{,}14 \text{ cm}$	$7{,}7437 \text{ cm}^2$

Rata-rata dari kelima nilai luas adalah:

\bar A=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}A_i=7{,}7045 \text{ cm}^2

Simpangan baku dari kelima nilai luas adalah:

s_A=0{,}0808 \text{ cm}^2

Dengan memakai sebaran sampel sebagai konvensi ketidakpastian dalam soal ini, luas tutup botol dapat ditulis dalam bentuk berikut.

A=(7{,}70 \pm 0{,}08)\text{ cm}^2

Perhitungan rata-rata dan simpangan baku memakai nilai luas yang belum dibulatkan. Angka dalam tabel hanya ditampilkan dalam bentuk yang sudah dibulatkan.

Persentase Menunjukkan Besar Relatif

Sebaran relatif membandingkan simpangan baku sampel dengan besar nilai rata-rata.

\varepsilon_r=\frac{s_x}{|\bar x|}\times 100\,\%

Untuk luas tutup botol:

\varepsilon_r=\frac{0{,}0808}{7{,}7045}\times 100\,\%\approx 1{,}05\,\%

Artinya, sebaran sampel sekitar $1{,}05\,\%$ dari rata-rata luas. Apakah sebaran ini cukup kecil bergantung pada tujuan penggunaan dan batas ketidakpastian yang ditetapkan. Tanpa persyaratan tersebut, kita belum dapat menyebut sebaran $1{,}05\,\%$ cukup kecil.

Ketidakpastian Tipe A dihitung dari data pengukuran berulang, sedangkan hasil akhirnya perlu menyebut nilai ukur dan ketidakpastiannya dengan jelas.