# Nakafa Learning Content > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/barisan-dan-deret/barisan-geometri Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/sequence-series/geometric-sequence/id.mdx Pelajari barisan geometri dengan rasio tetap. Pelajari rumus, selesaikan soal pertumbuhan bakteri, dan temukan penerapan dalam kehidupan nyata. --- ## Pengertian Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap (konstan) antara dua suku berurutan. Rasio ini dilambangkan dengan huruf $$r$$. Visible text: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap (konstan) antara dua suku berurutan. Rasio ini dilambangkan dengan huruf . Jika kita memiliki barisan geometri $$U_1, U_2, U_3, ..., U_n$$, maka: Visible text: Jika kita memiliki barisan geometri , maka: ```math \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ... = r ``` Dengan kata lain, setiap suku dalam barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio $$r$$. Visible text: Dengan kata lain, setiap suku dalam barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio . ## Eksplorasi Melipat Kertas Mari kita lakukan eksplorasi sederhana untuk memahami konsep barisan geometri. Siapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu lipat beberapa kali. Jika kertas dilipat $$1 \text{ kali}$$, maka kertas akan terbagi menjadi $$2 \text{ bagian}$$ sama besar. Jika dilipat lagi ($$2 \text{ kali}$$), akan terbentuk $$4 \text{ bagian}$$ sama besar. Berikut pola yang terbentuk: Visible text: Jika kertas dilipat , maka kertas akan terbagi menjadi sama besar. Jika dilipat lagi (), akan terbentuk sama besar. Berikut pola yang terbentuk: | Jumlah melipat kertas | Banyaknya bagian sama besar | | --------------------- | --------------------------- | | $$1 \text{ kali}$$ | $$2 \text{ bagian}$$ | | $$2 \text{ kali}$$ | $$4 \text{ bagian}$$ | | $$3 \text{ kali}$$ | $$8 \text{ bagian}$$ | | $$4 \text{ kali}$$ | $$16 \text{ bagian}$$ | Visible text: | Jumlah melipat kertas | Banyaknya bagian sama besar | | --------------------- | --------------------------- | | | | | | | | | | | | | Perhatikan bahwa banyaknya bagian yang terbentuk membentuk barisan bilangan: $$2, 4, 8, 16, \ldots$$ Visible text: Perhatikan bahwa banyaknya bagian yang terbentuk membentuk barisan bilangan: Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan $$2$$. Dengan kata lain, rasionya adalah $$2$$. Visible text: Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan . Dengan kata lain, rasionya adalah . ## Rumus Umum Barisan Geometri Barisan geometri memiliki rumus umum: ```math U_n = a \cdot r^{n-1} ``` Dimana: - $$U_n$$ = suku umum - $$a$$ = suku pertama - $$r$$ = rasio - $$n$$ = nomor suku Visible text: - = suku umum - = suku pertama - = rasio - = nomor suku ## Pembelahan Bakteri Bakteri berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah menjadi $$3 \text{ bagian}$$. Visible text: Bakteri berkembang biak dengan cara membelah diri. Dalam waktu dua jam, satu sel bakteri membelah menjadi . Jika jumlah awal bakteri adalah $$2 \text{ sel}$$, maka: Visible text: Jika jumlah awal bakteri adalah , maka: - Suku pertama ($$U_1$$) $$= 2$$ - Rasio ($$r$$) $$= 3$$ Visible text: - Suku pertama () - Rasio () Dalam $$20 \text{ jam}$$, terjadi pembelahan sebanyak $$10 \text{ kali}$$ ($$20 \div 2 = 10$$). Visible text: Dalam , terjadi pembelahan sebanyak (). Untuk menentukan jumlah bakteri setelah $$20 \text{ jam}$$ (suku ke-$$10$$), kita gunakan rumus: Visible text: Untuk menentukan jumlah bakteri setelah (suku ke-), kita gunakan rumus: ```math U_{10} = 2 \cdot 3^{10-1} = 2 \cdot 3^9 = 2 \cdot 19.683 = 39.366 ``` Jadi, setelah $$20 \text{ jam}$$, terdapat $$39.366 \text{ sel}$$ bakteri. Visible text: Jadi, setelah , terdapat bakteri. Component: BacterialGrowth Props: - formulaType: geometric - ratio: 3 - initialCount: 2 - maxGenerations: 3 - timeInterval: 2 - timeUnit: jam - labels: { title: "Pembelahan Bakteri", bacterial: "Bakteri", initialBacteria: "Bakteri Awal", } ## Sifat-Sifat Barisan Geometri ### Rasio Barisan Geometri Rasio ($$r$$) pada barisan geometri selalu tetap dan dapat dihitung dengan membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya: Visible text: Rasio () pada barisan geometri selalu tetap dan dapat dihitung dengan membagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya: ```math r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = ... ``` ### Menentukan Suku Umum Untuk mencari suku umum dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus: ```math U_n = a \cdot r^{n-1} ``` ## Penerapan Barisan Geometri Barisan geometri banyak diterapkan dalam berbagai bidang, seperti: 1. Pertumbuhan populasi (seperti pada contoh bakteri) 2. Bunga majemuk dalam ekonomi 3. Peluruhan radioaktif dalam fisika 4. Pertumbuhan sel dalam biologi Dengan memahami konsep barisan geometri, kita dapat memodelkan dan memprediksi berbagai fenomena yang melibatkan pertumbuhan atau penurunan dengan rasio tetap. ## Contoh Soal ### Mencari Rasio Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah $$4$$ dan suku ke-$$4$$ adalah $$108$$. Tentukan rasio dari barisan tersebut. Visible text: Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah dan suku ke- adalah . Tentukan rasio dari barisan tersebut. **Penyelesaian**: Diketahui: - $$a = 4$$ (suku pertama) - $$U_4 = 108$$ (suku ke-$$4$$) Visible text: - (suku pertama) - (suku ke-) Dengan menggunakan rumus umum barisan geometri: Component: MathContainer Children: ```math U_4 = a \cdot r^{4-1} ``` ```math 108 = 4 \cdot r^3 ``` ```math r^3 = \frac{108}{4} = 27 ``` ```math r = \sqrt[3]{27} = 3 ``` Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $$3$$. Visible text: Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah . ### Panjang Potongan Tali Seutas tali dibagi menjadi $$5 \text{ bagian}$$ dengan ukuran panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah $$16 \text{ cm}$$ dan tali yang paling panjang adalah $$81 \text{ cm}$$, maka tentukan panjang tali pada potongan ketiga. Visible text: Seutas tali dibagi menjadi dengan ukuran panjang membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah dan tali yang paling panjang adalah , maka tentukan panjang tali pada potongan ketiga. **Penyelesaian**: Diketahui: - $$a = 16$$ (tali paling pendek) - $$U_5 = 81$$ (tali paling panjang) Visible text: - (tali paling pendek) - (tali paling panjang) Langkah pertama, menentukan rasio: Component: MathContainer Children: ```math U_5 = a \cdot r^{5-1} ``` ```math 81 = 16 \cdot r^4 ``` ```math r^4 = \frac{81}{16} ``` ```math r = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2} ``` Kemudian, mencari panjang tali ketiga ($$U_3$$): Visible text: Kemudian, mencari panjang tali ketiga (): Component: MathContainer Children: ```math U_3 = a \cdot r^{3-1} ``` ```math U_3 = 16 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 ``` ```math U_3 = 16 \cdot \frac{9}{4} ``` ```math U_3 = 36 ``` Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah $$36 \text{ cm}$$. Visible text: Jadi, panjang tali pada potongan ketiga adalah .