# Nakafa Learning Content
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/barisan-dan-deret/deret-aritmetika
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/sequence-series/arithmetic-series/id.mdx
Temukan metode cemerlang Gauss untuk menghitung jumlah deret aritmetika. Pelajari rumus, selesaikan soal, dan pelajari perhitungan jumlah deret.
---
## Pengertian Deret Aritmetika
Pernah dengar cerita tentang Carl Friedrich Gauss, si jenius matematika? Saat masih SD, gurunya memberi tugas menjumlahkan semua bilangan dari $$1$$ sampai $$100$$: $$1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$$. Gurunya berharap murid-muridnya akan sibuk lama.
Visible text: Pernah dengar cerita tentang Carl Friedrich Gauss, si jenius matematika? Saat masih SD, gurunya memberi tugas menjumlahkan semua bilangan dari sampai : . Gurunya berharap murid-muridnya akan sibuk lama.
Tapi Gauss punya ide cemerlang! Dia tidak menjumlahkan satu per satu. Penjumlahan berurutan dari suku-suku suatu _barisan aritmetika_ (barisan yang punya selisih tetap antar sukunya) inilah yang kita sebut **Deret Aritmetika**.
Contohnya, $$1, 2, 3, \dots, 100$$ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $$a=1$$ dan beda $$b=1$$. Deret aritmetikanya adalah $$1 + 2 + 3 + \dots + 100$$.
Visible text: Contohnya, adalah barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda . Deret aritmetikanya adalah .
### Bagaimana Cara Gauss Menghitungnya
Gauss memperhatikan pola yang menarik:
- Jika suku pertama $$(1)$$ dijumlahkan dengan suku terakhir $$(100)$$, hasilnya $$101$$.
- Jika suku kedua $$(2)$$ dijumlahkan dengan suku kedua terakhir $$(99)$$, hasilnya juga $$101$$.
- Jika suku ketiga $$(3)$$ dijumlahkan dengan suku ketiga terakhir $$(98)$$, hasilnya tetap $$101$$.
- Pola ini berlanjut terus!
Visible text: - Jika suku pertama dijumlahkan dengan suku terakhir , hasilnya .
- Jika suku kedua dijumlahkan dengan suku kedua terakhir , hasilnya juga .
- Jika suku ketiga dijumlahkan dengan suku ketiga terakhir , hasilnya tetap .
- Pola ini berlanjut terus!
Component: MathContainer
Children:
```math
\underbrace{1+100}_{101}, \underbrace{2+99}_{101}, \underbrace{3+98}_{101}, \dots, \underbrace{50+51}_{101}
```
Ternyata, ada $$50$$ pasang bilangan yang masing-masing jumlahnya $$101$$. Jadi, total jumlahnya adalah $$50 \times 101 = 5050$$. Cerdik, kan?
Visible text: Ternyata, ada pasang bilangan yang masing-masing jumlahnya . Jadi, total jumlahnya adalah . Cerdik, kan?
## Menemukan Rumus Umum
Cara Gauss tadi bisa kita pakai untuk membuat rumus umum jumlah $$n$$ suku pertama deret aritmetika, yang biasa disimbolkan dengan $$S_n$$.
Visible text: Cara Gauss tadi bisa kita pakai untuk membuat rumus umum jumlah suku pertama deret aritmetika, yang biasa disimbolkan dengan .
Misalkan kita punya deret aritmetika:
```math
S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_{n-1} + U_n
```
Kalau ditulis lengkap dengan suku pertama $$(a)$$ dan beda $$(b)$$:
Visible text: Kalau ditulis lengkap dengan suku pertama dan beda :
```math
S_n = a + (a+b) + (a+2b) + \dots + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)
```
Sekarang, kita tulis ulang deret $$S_n$$ tapi urutannya dibalik, dari suku terakhir ke suku pertama:
Visible text: Sekarang, kita tulis ulang deret tapi urutannya dibalik, dari suku terakhir ke suku pertama:
```math
S_n = U_n + U_{n-1} + \dots + U_2 + U_1
```
Atau:
```math
S_n = (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) + \dots + (a+b) + a
```
Selanjutnya, kita jumlahkan kedua versi $$S_n$$ tersebut, suku demi suku:
Visible text: Selanjutnya, kita jumlahkan kedua versi tersebut, suku demi suku:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = a + (a+b) + \dots + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)
```
```math
S_n = (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) + \dots + (a+b) + a
```
```math
2S_n = [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b] + \dots + [2a+(n-1)b] + [2a+(n-1)b]
```
Perhatikan! Setiap pasang suku (atas dan bawah) jika dijumlahkan hasilnya selalu
sama, yaitu $$2a + (n-1)b$$. Karena ada $$n$$ suku,
berarti ada $$n$$ pasang penjumlahan yang sama.
Visible text: Perhatikan! Setiap pasang suku (atas dan bawah) jika dijumlahkan hasilnya selalu
sama, yaitu . Karena ada suku,
berarti ada pasang penjumlahan yang sama.
Jadi, kita dapatkan:
```math
2S_n = n \times (2a + (n-1)b)
```
Dengan membagi kedua sisi dengan $$2$$, kita peroleh rumus jumlah $$n$$ suku pertama deret aritmetika:
Visible text: Dengan membagi kedua sisi dengan , kita peroleh rumus jumlah suku pertama deret aritmetika:
```math
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)
```
## Rumus Praktis Deret Aritmetika
Ada dua bentuk rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung $$S_n$$:
Visible text: Ada dua bentuk rumus yang paling sering digunakan untuk menghitung :
1. Jika diketahui **suku pertama $$(a)$$** dan **beda $$(b)$$**:
```math
S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)
```
2. Jika diketahui **suku pertama $$(a)$$** dan **suku ke-$$(n)$$ $$(U_n)$$**:
Ingat rumus suku ke-$$n$$ adalah $$U_n = a + (n-1)b$$. Substitusi ini ke rumus pertama:
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + a + (n - 1)b)
```
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)
```
Rumus kedua ini mirip cara Gauss: jumlah suku pertama dan terakhir,
dikalikan banyaknya pasangan $$(\frac{n}{2})$$.
Visible text: 1. Jika diketahui **suku pertama ** dan **beda **:
2. Jika diketahui **suku pertama ** dan **suku ke- **:
Ingat rumus suku ke- adalah . Substitusi ini ke rumus pertama:
Rumus kedua ini mirip cara Gauss: jumlah suku pertama dan terakhir,
dikalikan banyaknya pasangan .
**Keterangan:**
- $$S_n$$ = Jumlah $$n$$ suku pertama
- $$n$$ = Banyaknya suku
- $$a$$ = Suku pertama ($$U_1$$)
- $$b$$ = Beda (selisih antar suku)
- $$U_n$$ = Suku ke-
$$n$$
Visible text: - = Jumlah suku pertama
- = Banyaknya suku
- = Suku pertama ()
- = Beda (selisih antar suku)
- = Suku ke-
## Contoh Soal
### Soal Pertama
Hitung kembali jumlah deret $$1 + 2 + 3 + \dots + 98 + 99 + 100$$.
Visible text: Hitung kembali jumlah deret .
Diketahui:
- Suku pertama $$a = 1$$
- Suku terakhir $$U_n = U_{100} = 100$$
- Banyaknya suku $$n = 100$$
Visible text: - Suku pertama
- Suku terakhir
- Banyaknya suku
Karena $$a$$ dan $$U_n$$ diketahui, kita pakai rumus kedua:
Visible text: Karena dan diketahui, kita pakai rumus kedua:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)
```
```math
S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100)
```
```math
S_{100} = 50(101)
```
```math
S_{100} = 5050
```
Hasilnya sama persis dengan cara Gauss!
### Soal Kedua
Diketahui deret aritmetika: $$13 + 16 + 19 + 22 + \dots$$. Hitunglah jumlah $$30$$ suku pertama $$(S_{30})$$!
Visible text: Diketahui deret aritmetika: . Hitunglah jumlah suku pertama !
Diketahui:
- Suku pertama $$a = 13$$
- Beda $$b = 16 - 13 = 3$$
- Banyaknya suku yang dicari $$n = 30$$
Visible text: - Suku pertama
- Beda
- Banyaknya suku yang dicari
Karena $$a$$ dan $$b$$ diketahui, kita pakai rumus pertama:
Visible text: Karena dan diketahui, kita pakai rumus pertama:
Component: MathContainer
Children:
```math
S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)
```
```math
S_{30} = \frac{30}{2}[2(13) + (30 - 1)(3)]
```
```math
S_{30} = 15[26 + (29)(3)]
```
```math
S_{30} = 15(26 + 87)
```
```math
S_{30} = 15(113)
```
```math
S_{30} = 1695
```
Jadi, jumlah $$30$$ suku pertama deret tersebut adalah $$1695$$.
Visible text: Jadi, jumlah suku pertama deret tersebut adalah .