# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/barisan-dan-deret/deret-geometri-tak-hingga
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/sequence-series/infinite-geometric-series/id.mdx

Temukan deret geometri tak hingga dengan contoh bola memantul. Pelajari konvergen, divergen, dan hitung jumlah tak hingga menggunakan rumus praktis.

---

## Bola Memantul

Bayangkan kamu melempar sebuah bola tenis dari ketinggian $$1 \text{ meter}$$. Bola itu akan memantul, tapi setiap pantulan tingginya hanya $$\frac{1}{4}$$ dari tinggi pantulan sebelumnya.

Visible text: Bayangkan kamu melempar sebuah bola tenis dari ketinggian . Bola itu akan memantul, tapi setiap pantulan tingginya hanya dari tinggi pantulan sebelumnya.

Ketinggian pantulan bola ini membentuk sebuah **barisan geometri**:

Component: MathContainer
Children:

```math
1, \quad 1 \times \frac{1}{4}, \quad (1 \times \frac{1}{4}) \times \frac{1}{4}, \quad \dots
```

```math
1, \quad \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{16}, \quad \frac{1}{64}, \quad \dots
```

Dengan suku pertama ($$a$$) adalah $$1$$ dan rasio ($$r$$) adalah $$\frac{1}{4}$$.

Visible text: Dengan suku pertama () adalah dan rasio () adalah .

Sekarang, coba pikirkan: berapa _total panjang lintasan_ yang ditempuh bola itu dari awal dilempar sampai akhirnya berhenti?

Bola bergerak turun, lalu naik, turun lagi, naik lagi, dan seterusnya, sampai berhenti. Panjang lintasannya adalah jumlah dari semua lintasan turun dan semua lintasan naik. Karena bola terus memantul (meskipun makin rendah), kita menjumlahkan tak hingga banyaknya lintasan. Inilah yang disebut **Deret Geometri Tak Hingga**.

### Kapan Deretnya Berhenti?

Secara logika, bola akhirnya akan berhenti memantul, kan? Ini terjadi karena tinggi pantulannya semakin kecil dan mendekati nol. Dalam matematika, ini terjadi jika nilai mutlak dari rasio ($$r$$) kurang dari $$1$$.

Visible text: Secara logika, bola akhirnya akan berhenti memantul, kan? Ini terjadi karena tinggi pantulannya semakin kecil dan mendekati nol. Dalam matematika, ini terjadi jika nilai mutlak dari rasio () kurang dari .

```math
|r| < 1 \quad \text{atau} \quad -1 < r < 1
```

Deret seperti ini disebut **konvergen**, artinya jumlahnya menuju suatu nilai tertentu
(tidak tak hingga). Dalam contoh bola, $$r = \frac{1}{4}$$,
dan karena $$-1 < \frac{1}{4} < 1$$, deretnya konvergen. Bola itu
akan berhenti dan total lintasannya bisa dihitung.

Visible text: Deret seperti ini disebut **konvergen**, artinya jumlahnya menuju suatu nilai tertentu
(tidak tak hingga). Dalam contoh bola, ,
dan karena , deretnya konvergen. Bola itu
akan berhenti dan total lintasannya bisa dihitung.

Jika $$|r| \ge 1$$ (yaitu $$r \ge 1$$ atau $$r \le -1$$), tinggi pantulan tidak akan mengecil atau malah membesar. Deretnya disebut **divergen**, dan jumlahnya tak hingga ($$\pm \infty$$).

Visible text: Jika (yaitu atau ), tinggi pantulan tidak akan mengecil atau malah membesar. Deretnya disebut **divergen**, dan jumlahnya tak hingga ().

## Menghitung Jumlah Deret Tak Hingga

Bagaimana cara menghitung jumlah deret tak hingga yang konvergen? Kita mulai dari rumus jumlah $$n$$ suku pertama deret geometri:

Visible text: Bagaimana cara menghitung jumlah deret tak hingga yang konvergen? Kita mulai dari rumus jumlah suku pertama deret geometri:

```math
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
```

Untuk deret tak hingga, kita mencari nilai $$S_n$$ saat $$n$$ sangat
besar (mendekati tak hingga). Jika deretnya konvergen ($$-1 < r < 1$$
), maka nilai $$r^n$$ akan mendekati 0 saat $$n$$ mendekati
tak hingga. Contoh: $$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$, $$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$$
, $$(\frac{1}{4})^{10} \approx 0.00000095$$. Semakin besar $$n$$
, $$(\frac{1}{4})^n$$ semakin dekat ke $$0$$.

Visible text: Untuk deret tak hingga, kita mencari nilai saat sangat
besar (mendekati tak hingga). Jika deretnya konvergen (
), maka nilai akan mendekati 0 saat mendekati
tak hingga. Contoh: , 
, . Semakin besar 
, semakin dekat ke .

Jadi, untuk $$n \to \infty$$ dan $$-1 < r < 1$$, kita punya $$r^n \to 0$$. Rumusnya menjadi:

Visible text: Jadi, untuk dan , kita punya . Rumusnya menjadi:

```math
S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(1 - 0)}{1 - r}
```

Sehingga, rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah:

```math
S_\infty = \frac{a}{1 - r}
```

Dimana: * $$S_\infty$$ = Jumlah deret tak hingga * $$a$$ =
Suku pertama * $$r$$ = Rasio ($$-1 < r < 1$$)

Visible text: Dimana: * = Jumlah deret tak hingga * =
Suku pertama * = Rasio ()

## Menghitung Total Lintasan

Kita bisa menghitung total lintasan bola menggunakan rumus $$S_\infty$$. Ada dua bagian lintasan:

Visible text: Kita bisa menghitung total lintasan bola menggunakan rumus . Ada dua bagian lintasan:

1.  **Lintasan Turun:** Bola jatuh dari ketinggian $$a$$, lalu jatuh lagi setelah pantulan pertama ($$ar$$), jatuh lagi setelah pantulan kedua ($$ar^2$$), dan seterusnya.

    - Deret turun: $$a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$
    - Suku pertama ($$a_d$$) adalah $$a$$
    - Rasio ($$r_d$$) adalah $$r$$
    - Jumlah lintasan turun: $$S_{\text{turun}} = \frac{a_d}{1 - r_d} = \frac{a}{1 - r}$$

2.  **Lintasan Naik:** Bola naik setelah pantulan pertama ($$ar$$), naik lagi setelah pantulan kedua ($$ar^2$$), dan seterusnya.
    - Deret naik: $$ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$
    - Suku pertama ($$a_n$$) adalah $$ar$$
    - Rasio ($$r_n$$) adalah $$r$$
    - Jumlah lintasan naik: $$S_{\text{naik}} = \frac{a_n}{1 - r_n} = \frac{ar}{1 - r}$$

Visible text: 1. **Lintasan Turun:** Bola jatuh dari ketinggian , lalu jatuh lagi setelah pantulan pertama (), jatuh lagi setelah pantulan kedua (), dan seterusnya.

 - Deret turun: 
 - Suku pertama () adalah 
 - Rasio () adalah 
 - Jumlah lintasan turun: 

2. **Lintasan Naik:** Bola naik setelah pantulan pertama (), naik lagi setelah pantulan kedua (), dan seterusnya.
 - Deret naik: 
 - Suku pertama () adalah 
 - Rasio () adalah 
 - Jumlah lintasan naik:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Total Panjang Lintasan} = \text{Jumlah Lintasan Turun} + \text{Jumlah Lintasan Naik}
```

```math
\text{Total} = S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}} = \frac{a}{1 - r} + \frac{ar}{1 - r}
```

```math
\text{Total} = \frac{a(1 + r)}{1 - r}
```

Untuk contoh bola tenis dengan $$a = 1 \text{ meter}$$ dan $$r = \frac{1}{4}$$:

Visible text: Untuk contoh bola tenis dengan dan :

```math
\text{Total} = \frac{1(1 + \frac{1}{4})}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1(\frac{5}{4})}{\frac{3}{4}} = \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3}
```

Jadi, total panjang lintasan bola sampai berhenti adalah $$\frac{5}{3} \text{ meter}$$.

Visible text: Jadi, total panjang lintasan bola sampai berhenti adalah .

**Cara Lain (Mengikuti Hint):**
Total lintasan juga bisa dihitung sebagai: lintasan jatuh pertama ditambah $$2 \text{ kali}$$ jumlah semua lintasan naik.

Visible text: **Cara Lain (Mengikuti Hint):**
Total lintasan juga bisa dihitung sebagai: lintasan jatuh pertama ditambah jumlah semua lintasan naik.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Total} = a + 2 \times S_{\text{naik}} = a + 2 \times \left( \frac{ar}{1 - r} \right)
```

```math
\text{Total} = 1 + 2 \times \left( \frac{1 \times \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} \right) = 1 + 2 \times \left( \frac{1/4}{3/4} \right) = 1 + 2 \times \left( \frac{1}{3} \right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
```

Hasilnya sama!